Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(СIУl+ С2У2)' + а2(Х)' (СIУl + С2У2) ="= CIY~ +C2Y~ +аl(Х)' (CIY~= Сl (y~'+ аl (х). y~так как функции Уl и У2+ а2(Х)-+C2Y~) +а2(Х)' (СIУl +С2У2) =. У)+ C2(Y~ + аl (x)y~ + а2(Х)У2) == Сl . О + С2 . О = О,решения уравнения(49.13)и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.Таким образом, функция Ууравнения= СIУl + С2У2 также является решением(49.13).•Из теоремы49.2, как следствие, вытекает, что если Уl и У2 (49.13), то решениями его будут также функцииУ = Уl + У2 И У = С . У! .Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (49.13).
Может ли она являться общим решением уравнения (49.13)?решения уравнения350ДЛя ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.~Функции Уl = Yl(X) и У2 = У2(Х) называются Jtuиеtlио иезавuсuмими на интервале (а; Ь), если равенство(}:lYlгде (}:l, (}:2 Е~IR,+ (}:2У2= о,выполняется тогда и только тогда, когда (}:l(49.15)= (}:2 = о.Если хотя бы одно из чисел (}:l или (}:2 отлично от нуля и выполняется равенството функции Уl И У2 называются Jtuиеtlио(49.15),завuсuмимu на (а; Ь).Очевидно, что функции Уl И У2 линейно зависимы тогда и толькотогда, когда они пропорциональны, т. е. для всех Х Е (а; Ь) выполняетсяравенство 1I.l.У2= Л,или Уl= ЛУ2, Л = const.=1= 3 = constj функции Уl и Уз = е 2Х - линейно независимы: 1I.l.=~ =y2= 3е- f:. constj функции У4 = sin Х и У5 = cos Х являются линейноНапример, функции Уl = 3е Х и У2 = е Х линейно зависимы: 1I.l.У2еХнезависимыми: равенство·Х Е IR лишь при(}:l(}:l= (}:2 = Оsin Х + (}:2 cos Х = О выполняется(или '!ii = tgx f:.
const).для всехУ5Средством изучения линейной зависимости системы функций являетсятакназываемыйоnреде.л:ител'ЬВронс'/Согоиливронс'/Сиан(ю. Вронский ~ польский математик),Для двух дифференцируемых функций Уl = Yl(X) и У2 = У2(Х)вронскиан имеет видW(X)= Y~Уl1Имеют место следующие теоремы.Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции Уl (Х) И У2 (Х) линейно зависимы на (а; Ь), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равеннулю.о Так как функции Уl и У2 линейно зависимы, то в равенствезначение(}:lили(}:2отлично от нуля.
Пусть(}:lf:.поэтому для любого Х Е (а; Ь)-1- ~Y2W( Х)-Теорема49.4.Q2.1"'1 У2(49.13)(}:lУ21_ о1-·У2Если функции Уl (Х) И У2 (Х)решения уравнения(49.15)о, тогда Уl = -Q2.Y2;-линейно независимыена (а; Ь), то определитель Вронского наэтом интервале нигде не обращается в нуль.351•Доказательство теоремы опустим.ИЗ теорем .49.3и49.4следует, что вро'Нсr;;иа'Н 'Не раве'Н 'Нулю 'Ни вод'Ной то'Чх:е и'Нтервала (а; Ь) тогда и тольr;;о тогда, r;;огда 'Част'Ныереше'Ния ли'Ней'Но 'Независи.м.ы.~Совокупность любых двух линейно независимых на интервале(а; Ь) частных решений Уl (х) и У2(Х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальнуюсистему решениii этого уравнения:любое произвольное решение может быть получено как комбинацияу= a:lYl(X) + а:2У2(Х)'Пример=и У449.4.5 cosx (ихЧастные решения Уlобразуют фундаментальную системуУ6= cos Х -= sin Х и У2 = cos Х, Уз = 2 sin Х+У = Орешений; решения же У5 = О Ибесчисленное множество!) уравнения У"не образуют.Теперь можно сказать, при каких условиях функцияобщим решением урав~ения (49.13).Теорема49.5(49.14)будет(структура о"бщего решения ЛОДУ второго порядка).
Если два частных решения Уl =Yl(X)и У2 = У2(Х) ЛОДУ(49.13)образуют на интервале (а; Ь) фундаментальную систему. то общим решением этого уравнения является функция(49.16)где СlQи С2-произвольные постоянные .Согласно теоременения(49.13) .49.2,функция(49.16)является решением уравОстается доказать , что это решение общее, т. е. что изнего можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющеезаданным начальным условиямуlх=жо=Уо,(49.17)где ХО Е (а; Ь).Подставив начальные условия(49.17)в решениесистему уравнений{ УО == CIYl(XO) ++ С2У2(ХО),УЬгде УоC~Y~(XO)C2Y~(XO),= У(Хо), УЬ = у'(Хо), с неизвестными Сlи С2·Определитель это" системыУ}(ХО) У;(ХО)IYl(XO)равен значению вронскианаУ2(ХО)W(x)1= W(xo)при Х = Ха.352(49.14),получимТак как решения Yl (х) и У2 (х) образуют фундаментальную системурешений на (а; Ь) и хо Е (а; Ь), то, согласно теореме49.4, W(xo):Jо.Поэтому система уравнений имеет единственное решение:Решение У= C~Yl (х) + 4У2(Х) является частным решениемным, в силу теоремы единственности) уравненияющим начальным условиям(49.17).(49.13),(единственудовлетворяТеорема доказана.•Пpu.мернения49.5.49.5.
На основании теоремы 49.5 общим решением уравy lI +у=о (см. пример 49.4) является функция У=Сl sin Х+С2 СОБХ.Линейные однородные ДУ п-го порядкаПолученные результаты . можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид(49.18)1. Если функции Уl = Yl(X),Y2 = У2(Х), ... ,Уn = Уn(Х) являются(49.18), то его решением является ичастными решениями уравненияфункция У2.= CIYl + С2У2 + ... + CnУn·Функции Yl, У2, ...
,Уn называются линеitно независu.мым;и на+ й2У2 + ... + аnуn = О(а; Ь), если равенство Q:IYlв случае, когда все числа а;=О(i= 1,2, ... , n);выполняется лишьв противном случае(если хотя бы одно из чисел Q:i не равно нулю) функции Yl , У2, ... ,Уn линеitно зависu.мы.3.Определитель Вронского имеет видW(x) =YlУ2Уny~y~'y~y~y~y~(n-l)Уl4.(n-l)У2(n-l)УnЧастные решения У!, У2, ... , Уn уравнения(49.18)образуют ФУНдаментальную систему решениi1 на (а; Ь), если ни в одной точке этогоинтервала вронскиан не обращается в нуль, т.
е.W(x):Jо для всехх Е (а; Ь).5. Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет вид У = CIYl +С2У2+·· . +CnУn,(i = 1, .. . , n) - произвольные постоянные, У; - частные решенияуравнения (49.18) , образующие фундаментальную систему.где С;12 Конспект лекцнА по 8ысшеА математике. ПоnRЪdi курс353Прu.м.ер 49.6. ПQказать, что функции Yl=~"', У2=х·е"', уз=х 2 ·е'"образуют фундаментальную систему решений некоторого ладу тре;тьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).а Решение: НайдемW(x) =W(x):е'"хе'"е'"+ 1)е'"+ 2)е'"(х(х"е'"1= е '" 11х 2 е'"(х + 2х)е'"2(х 2х2хЗ+ 2х = е '"+ 4х + 2хх+1х+2=+ 4х + 2)е'"х2З21хО12Ох22х4х= е 3 '" .
(4хЯсно, чтоW(x) ::j:.О для всех х ЕIR.+2+2-=4х) = 2е З "'.Следовательно, данные функцииобразуют фундаментальную систему решений ладу третьего порядка. В общем виде ладу третьего порядка выглядит так:+ аl (х)у" + а2(Х)У' + аз(х)у =y lIIПодставив функцииYl , У2, УзО.в это уравнение, получим систему из трехуравнений относительно функций al (х), а2(Х), аз(х). Решая ее, получим ладу ylII-Зу"+ Зу' -У= О; его общее решение:•§ 50.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКАС ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ50.1.Интегрирование ЛОДУ второго порядкас постоянными коэффициентамиЧастным случаемрассмотренных выше линейныходнородныхдифференциальных уравнений являются ЛОДУ с nосmоя'Г/:н:ы.м.u х:оэффu'Цuе'Нmа.м.u.Пусть дано ладу второго порядкаI У"где р иq+ р .
У' + q . У= о, I(50.1)постоянны.Для нахождения общего решения уравнения(50.1)достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему(см. теорему49.5).Будем искать частные решен~я уравненияУ= ek354"',(50.1)в видегде k -некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируяэту функцию два раза и подставляя выражения дл~ у, у' и у" В уравнение (50.1), получим: k 2 . e kx + р.
k . e kx + q. e kx = О, т. е.e kx • (k 2~+ pk + q)= О,илиk2+ pk + q =О (e kxi- О).(50.2)Уравнение(50.2) называется хара'll:mерuсmu'Чес'll:U.м уравнени(50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1)заменить у", у' И У соответственно на k 2 , k и 1).При решении характеристического уравнения (50.2) возможны слее.м ДУдующие три случая.Слу'ЧаiJ.личные:k11.Корниi- k2Иk2(D = ~ -qk1уравнения> о)(50.2)действительные и раз-.в этом случае частными решениями уравнения (50.1) являютсяфункции Уl= ek1Xи У2= ek2X • Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т. к. их вронскианСледовательно, общее решение уравнения(49.16),(50.1),согласно формулеимеет вид(50.3)Прu.мер 50.1.
Решить уравнение у"-5у'+ 6у =О.Q Решение: Составим характеристическое уравнение: k 2 - 5k + 6 = О.Решаем его: k1 = 2, k 2 = 3. Записываем общее решение данного уравнения: у = Сl е 2хмула+ С2еЗх,где Сl и С2-произвольные постоянные (фор(50.3)).Слу'ЧаiJ.2.•Корниk1ствительные и равные:Иk2характеристического уравненияk! = k 2(D = ~ -q=О, k!= k2 =(50.2)дей-~).в этом случае имеем лишь одно частное решение Уl = e k1 х •Покажем, что наряду с Уl решением уравнения(50.1)будет и У2== xe k1X •Действительно, подставим функцию У2 в уравнениеy~=+ py~ + qY2(50.1).Имеем:+ p(xe k1X )' + q(xe k1X ) == (2k 1 e k1X + xk;e k1X ) + p(e k1X + xk!e k1X ) + q(xe k1X ) =e k1X (2k! + k;x + Р + pxk 1 + qx) = e k1X (x(ki + pk 1 + q) + (р + 2k 1 )).= (xe k1X )"355Но k~+pkl +q = О,Т. K.k 1 есть корень уравнения (50.2); p+2k 1 =т О,т.
к . по условию k 1 = k 2 = -~..Поэтому y~+ py~ + qY2решением уравнения= О, т. е. функция У2 = xe k1Z является(50.1).==Частные решения Уlе k1Ж и У2xe k1Z образуют фундаментальную систему решений : W(x) = e2k1Z i- О. Следовательно, в этом случаеобщее решение ЛОДУ(50.1)имеет вид(50.4)Слу'Ч.аi13. Корниk2 = а -иk1уравненияk2(50.2)комплексные: k 1= а+(Зi,(Зi (D = ~ - q < О, а = -~, (З = Jq - ~ > О).В этом случае частными решениями уравненияфункции Уlявляются(50.1)= е(а+iJ3)ж и У2 = e(a-i,В)z.
По формулам Эйлера (см. п. 27.3)ei<p = cos ер + i sin ер, e-i<p = cos ер - i sin еримеем=еУlУ2=аж. еi,Вж = е аж cos (ЗХ+ ie az sin (Зх,е аж . e-i,Вж = е аж cos (ЗХ - iе аж sin (Зх.Найдем два действительных частных решения уравненияДля этого составим две линейные комбинации решенийYlФункции+2 У2=еажcos(Зх-= YlИУl - У22i=еаж ' (ЗsшYlх=(50.1).и У2:-У2 ·YlИ У2 являются решениями уравнения (50.1), что следуетиз свойств решений ЛОДУ второго порядка (см.
теорему 49.2).Эти решения Уl и У2 образуют фундаментальную систему решений, так какW(x)i-нения(50.1)о (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение уравзапишется в виде УIУПрu.м.ер50.2.=еаЖ= Сlеажсоs(Зх+ С2еаж sin (Зх,(Сl соs(Зх + С2 siп(Зх)· 1Решить уравнениеy lI-6у'+ 25у =Q Решение: Имеем: -k 2 - 6k + 25 = О, k 1 = 3 + 4i, k2формуле (50.5) получаем общее решение уравнения:У~= еЗЖ(Сl cos 4х + С2 sin 4х).(50.5)О.3 - 4i.По•Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентамикорней характеристического уравнениямулили(50.3)-(50.5)(50.1) сводится к нахождению(50.2) и использованию форобщего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).35650.2. Интегрирование ЛОДУ n-го'порядкас постоянными коэффициентамиЗадача нахождения общего решения ЛОДУ n-го nор,яд'ICа (n> 2)сnосто,я'Н:н.ЪtМU 'lCоэффu'Цuентамu+ Ply(n-l) + Р2у(n-2) + ...
+ РnУ =у(n)где Pi, i= г,n, -о,(50.б)числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.Частные решения уравнения (50.б) также ищем в виде у = e kx , гдеk-постоянное число.Характеристическим для уравнения (50.б) является алгебраическое уравнение n-го порядка видаn+ P1k n - 1 + P2k n - 2 + ... + Pn-lk + Рn = о.(50.7)n корней (в их числе могут бытьи комплексные). Обозначим их через k1 , k 2 , .•. , k n .Заме'Чанuе. Не все из корней уравнения (50.7) обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k - з)2 = О име~т дваравных корня: k1 = k 2 = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
