Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 53
Текст из файла (страница 53)
fldx. хYl8flх8flх+ -8. f2 + .. . + -8 . fn ,У2уn369хили, коротко,d2Yl--2 = Р2 (х; Yl; У2;"'; Уп).dxПродифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значе-rJJn.dx ' ... , dyndxния производных3d Yl--3из системы(52 . ]). ,получим= FЗ (Х;Уl;У2; ... ;Уп)'dxПродолжая этот процесс (дифференцируемподставляем--получаем), находим:(52.3)d"Yldxn -- Fn (х ,' У 1,. У'2,···,. У n ) .Из первых... , упуравнений системы(n -1)через х,Ф ункциючим:{У2УlФ(52.3).ункцииУ -ф (Х ' У .у/.Уn'Уlолу-(52.4). . . , упподставим в последнее уравнение си-, ...,УI(n -l)= 'Рl (х; Cl; С2;"(n - 1).;его об щеесп).В уравнения системы(524).,на й демУ2 = 'Р2(Х; CI; С2;" '; cn), .
. . , Уп = 'Рп(Х ; Cl; С2;" ' ; сп).52.1.Решить систему уравнений{ ~~ = 2у~ = 4у - 3zdxрешениераз и подставив значения произ-··,уп :Пр'U,м,ер.'y(n-l))Ф( х; Yl; Yl;/ ... ; Уl(n-l)) . П устьУlУ2,УЗ", ...1)),-- .1.. y(n-l))'l-'n (Х', У 1,. у/'1"'"1.Продифференцировав егоУ!11-У!...Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомойYl: d"YIdx/YI'n/Yl'. ~ .~ ...з. .
.' .. ~ '.. ~ '..... '. '.. ~ ..... :естьводныхвыразим функции У2, уз;11(n-l) ПИ ее производные= Ф2(Х; Yl; y~; ... ; yiНайденные значения У2, уз ,стемы(52.3)'- 3z.Ф ункции<)у"= 4у' = 4у' - 3(2у -Решение: Продифференцируем первое уравнение: у"Подставляем-4у'= 2у -z'+ 6у =9z.в полученное равенство: у"3zСоставляем систему уравнений:{у'= 4у -у"-4у'3z,+ 6у = 9z.Из первого уравнения системы выражаемzчерез у и у':4у - у'z= --3-.Подставляем значениеzут. е.
у"-у'-= о.6у=3z'.3z),(52.5)во второе уравнение последней системы:" _4у' + 6у= 9( 4у - у')3'Получили одно ЛаДУ второго порядка. Решаем=-==его: k 2 - k - 6о, k j2, k 23иуСl е- 2х + С2еЗХ - общее решение2xуравнения. Находим функцию z. Значения у и у'(Cle+ С2е Зх )' =2x-2cje- + 3С2еЗх подставляем в выражение z через у и у' (форму==ла(52.5)).видПолучим:Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеету = Сl е- 2х С2еЗХ, z 2Сl е- 2Х !С2еЗХ.•=+3aMe"taHue.+Систему уравнений(52.1)можно решать методом Шtтегрируемых 'Комбинаи,иii.
Суть метода состоит в том, что посредствомарифметических операций из уравнений данной системы образуют такназываемые интегрируемые комбинации,т. е. легко интегрируемыеуравнения относительно новой неизвестной функции.Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.Прuм,ер52.2.Решить систему уравнений:~~={ QJLdt =<)у + 1,х+ 1.= х+у+2, или= (х+у)+2. Обозначим х+у = z.
Тогда имеем z' = z+2. РешаемРешение: Сложим почленно данные уравнения: х' +у'(х+у)'полученное уравнение:dz 2 = dt, ln(zz+tz + 2 = Сl e , или х + у = Сl et - 2.Получили так называемый nepBuii+ 2)- ln Сl = t, z+2~= et,интеграл системы. Из негоможно выразить одну из искомых функций через другую, тем самымуменьшить на единицу число искомых функций . Например, У- 2-= сl et -х. Тогда первое уравнение системы примет видx'=cle t -2-x+1,x'+x=cle t -1.Т.е.Найдя из него х (например, с помощью подстановки х= иv),найдеми У.Замечание. Данная система «позволяет» образовать еще одну интегрируемую комбинацию: х'Положив х-У'-=У- Х, т.
е . (х - у)'у = р, имеем: р' = -р, или С.!:Е. = -dt,Р=-(хlnp -lnc2-у).=-t,Р = C2e- t , или х - у = C2e- t . Имея два первых интеграла системы, т. е.х + у = сl e t - 2 и х - у = C2e- t , легко найти (складывая и вычитая пер-вые интегралы), что х= ~clet + !c2e- t -1, у= !Clet -!c 2e- t -1 . •52.3.
Системы линейных ДУ с постояннымикоэффициентамиРассмотрим еще один метод интегриров а ния нормальной системыуравненийв случае, когда она представляет собой систему .I1и(52.1)Hei1.Hblx однородных ДУ с nосто.яННЪtМU ?\'оэффu'Цuентамu, т. е . системувида:{:~HY' +а"у, +dx - аn lУl+а,nу.,+ а n 2У2 + ..
. + аnнУп'Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравне-ний с тремя неизвестными функциями Yl, У2 И Уз:~!= allYl+ a12Y2 + аlЗУЗ,~dx = a21Yl + а22У2 + а2ЗУЗ,~dx =где все коэффициенты aijаЗIУl(i, j+ аЗ2У2 + аззуз,= 1,2, З)-постоянные.Будем искать частное решение системыУlгде 0:,(3, /, k -функции(52.7)= О: .
e kX ,У2(52.6)= (3 . e kX ,уз(52.6)в виде= / . e kX ,С52.7)постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобыудовлетворяли системеПодставив эти функции в систему(52.6).(52.6) иe kx ::j:. О, получим:O:k = allO: + аl2fЗ + аlЗ/,(3k = a210: + а22,В + а2З/,{,k = аЗI Q + аЗ2(3 + азз/,сократив на множительили+ а12/3 + а1З'У = О,а21й + (а22 - k)/3 + а2З'У = О,{a31Q: + аЗ2/3 + (азз - k)'Y = О.(all - k)aСистему(52.8)(52.8)можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными й,/3,'У- Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:(52.9)~Уравнение(52.9) называется хара?Сmерuсmu'Чес?Сuм уравнени(52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно k.
Рассмотрим возможные случаи.Слу'Чаt1 1. Корни характеристического уравнения действительньt иразличны: k\, k 2 , k з . Для каждого корня k i (i = 1,2,З) напишем систему (52.8) и определим коэффициенты ai, /3i, 'Yi (один из коэффициентовем системыможно считать равным единице). Таким образом, получаем:для корня k\ частное решение системы (52.6): y~1)= й1 ek1X,y~1) =-/3e k1X ' 3y(l) --"",1 ek1X.,1для корня k 2 для корня k з -у;2)у;З)= a2ek2X, y~2) = /32ek2X, y~2) = 'Y2ek2X;= йз еkзх , у~З) = /3зеkзХ, уг) = 'Уз еkзХ .Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системыУIУ2узПрuмер52.3.(52 .6)записывается в виде= Clalek1X +C2D2ek2X +сзйзеkзХ,= CI/3leklX + C2/32ek2X + сз/3з= C1'Y1ek1x + C2'Y2ek2X + СЗ'Уз{*еkзХеkзХ,.(52.10)Решить систему уравнений:=УI -У2,~dx - -4УIQ+ У2·Решение: Характеристическое уравнение(52.9)даннойсистемыимеет вид=11- k-4-11- k1=О,= О, k 1 = -1, k 2 = З.
Частные решенияданной системы ищем в виде ур) = at eklX , y~l) = /3l ek1X и у;2) = Й2 еk2Х ,y~2) = /32ek2X. Найдем (xi и /31 (i = 1,2).или 1-2k+k 2 -4О, k 2 -2k-З373При{k1= -1 система (52.8)(1 - (-1»аl - fЗ1 = О,-4аl + (1- (-1»fЗ1 =имеет вид{т. е .О,2а1fЗ1 = О,-+ 2fЗ1 = О.-4аlЭта система имеет бесчисленное множество решений. Положим аlтогда fЗ1= 2.yi 1)Присистемаk2 = 3= е- Хи= 2е- Х •y~l)имеет вид(52.8){-2а2 - fЗ2-4а2= О,2fЗ2 = О.-= 1, тогда fЗ2 = -2.Положим а2= 1,Получаем частные решенияЗначит, корнюk2= 3 соответствуютчастные решения:yi 2) = е ЗZиy~2)= _2е ЗZ .Общее решение исходной системы, согласно формулешется в виде: Уl = Сl е- ХСЛУ'Ч,шtJ.2.+ С2еЗZ,У2 = 2Сl е- Х-(52.10),2С2е ЗZ .запи-•Корни характеристического уравнения различные, носреди них есть комплексные := а + ib,k\=а -k2ib,k з .
Вид частныхрешений в этой ситуации определяют так же , как и в случае1.За.ме'Ча'Нuе. Вместо полученных частных решений можно взять ихлинейные комбинации (п.50.1,случай3),прим еняя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащихфункции вида еах.е ах .cos Ьх,sin Ьх.Или, выделяя действительные имнимые части в найденных комплексных частных решениях, получимдва действительных частных решения (можно показать, что они тожеявляются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексносопряженный кореньk2=а-ibне даст новых линейно независимыхдействительных решений.Прu..мер52.4.Найти частное решение системыrf:1Jljdxdтх2= Уl + У2,= - Уl + У2-уз ,Q1&зdx = У2 + Уз,удовлетворяющее начальным условиям:Yl(O)= 7, У2(0) = 2, уз(О) = 1.о Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:1-k-11- k1-=-\ 1-1 ·1О(1 _ k)(1 - k)(k 2-.11 ; kДляk1= 1,(52 .8)) .k2~l1-=-\(1 - k)(k 2= 1 + 2i,kз=1--о,1=2k + 5)= О,2i.О, а1+ /31 + О '/'1 = О,-а1 + О .
/31 - /'1 = О,О . а1 + 3/31 + О . /'1 = ООтсюда находим:Частное решение системы: УР)Для k 2=0,= 1 получаем:{(см.= О,2k + 4) - (k - 1)k1О11-k3-1= 1 + 2i получаем-2iD2{Отсюда находим: а2/31==(см.y~1)=1 (положили), /'1= О, y~1) = -е"'.=-1.(52.8)):+ /32 = О,-а2 - ~i/323/32 - 2Z/'2=1О, а1еХ ,- /'2= О,= О.(положили) ,/32 = 2i, /'2= 3.Частное комплексное решение системы:y~2)= e(1+2i)"',y~2)= 2ie(1+2i)X,y~2)'= 3e(1+2i)"'.В найденных решениях выделим действительную(Re)и мнимую(1т) части:y~ 2 )= e(1+2i)'" = e"'(cos2x + isin2x),Re y~2) = е'" cos 2х,y~2)y~2 )= 2ie (1+2i)'" = e"'(2icos2x - 2sin2x) ,Rey~2) = -2e"'sin2x , Imy~2) = 2excos2x;= 3e(1+2i)'" = e"'(3cos2x + i3sin2x),Re y~2) = 3е'" cos 2х, 1т y~2) = 3е'" sin 2х.Как уже отмечено, корень k з =ниям.1т y~2) = е'" sin 2х;1 - 2iприведет к этим же самым решеТаким образом, общее решение системы имеет видУIУ2==Cl еХС\ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
