Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 57
Текст из файла (страница 57)
I cos <р sin() р cos <р cos ()+ р cos <р sш()-psin()cos=р sin <р sin ()( - р sin <р sin 2 () -I=р sin <р cos 2 ()) ++ р cos <р sin ()( -р cos <р sin 2 () -р cos <р cos 2())== - р2 sin 2 <р sin () . 1 _ р2 cos 2 <р sin () . 1 = _ р2 sin () . 1 = _ р2 sin (),то111vj(x;y;z)dxdydz==111f(p cos ({! sin 8; р sin ({! sil1 8; Р cos 8) . р2 sil1 8· dp d({! d8.(54.б)V·За.ме"tа'Нuе. Переходить к сферическим координатам удобно, когдаобласть интегрирования V есть шар (уравнение его границы х 2+ Z2= R)= R 2 В сферических координатах имеет вид рf(x 2 + у2а также если подынтегральная функция имеет видПрu.мер+ z2).Вычислить54.3.111dx . dy .
dz1 + (хvгде+ у2 +или его часть,I '+ у2 + z2)22V - шар х + у2 + z2 ~ 1.2Q Решение: Вычислим интеграл путем перехода к сферическим координатам: х = pcos({!sin8, у = psil1({!siI18, z = pcos8. ТогдаdVГраница области= dx dy dz = р2 sil1 8 dp d({! d8.сфера и ее .уравнение имеет вид рV -подынте= 1,гральная функция после замены переменных примет вид12 3/2'1 + (р )т. е.
~. Новые переменные изменяются в следующих пределах: р l+ротn до 1,({! -от О ДО 2п,8-от О до п. Таким образом, согласно формуле (54.б),111 1+ р3=11 d({!(з=3 111=1 11: р311 + Р 1) 10 = 113о = '3111'. / sin 8 dp d({! d8v11'оо111'211'1sil1 8 d8In3о211'=1112d({! =о2п11'sil1 8 d8 =In 2оdp1sil18d8о1211'2о11'1sin 8 d8 . ({!In 21d({!о1211'sil18d8=о2п111'= -ln2(-cos8)о34п= -ln2 .354.4. Некоторые приложения тройного интегралаОбъем телаОбъем области 11 выражается формулой VV=111v=111vdx dy dz -в декартовых координатах,dv или•J J J r dr dVJ dz - в цилиндрических координатах,vV = J J J р2 sin В dp dcp dB - в сферических координатах.v=vМасса телаМасса телаmпри заданной объемной плотности 'У вычисляется спомощью тройного интеграла как= JJJ 'Y (x; y; z )dx dydz,mvгде 'УС х ; у ; z) -М(х; У ;объемная плотность распределения массы в точкеz ).Статические моментыМоментыстей Оху ,Sxy, Sx z, Syz тела относ ительно координатныхOxz, Oyz вычисляются по формуламSxy = JJJ Z·'У(х ; у ; z) dv ,плоскоSy z = JJJ х .
'УСх; У; z ) dv,vv= JJJ Y· 'Y (x;y;z)dv.SxzvЦентр тяжести телаКоординаты центра тяжести телаSyzVSizХ с =-,Ус=-,mmнаходятся по формуламSxyzc=-'mМоменты инерции телаМоменты инерции тела относительно координатных плоскостейвычисляются по формуламlху= JJ! z2 ''Y(x ;y; z )dv,lyz= J J J х 2 . 'У(Х; у; z) dv,.vVlx z= J J J у2 . 'У(Х; у; z) dv,vа моменты инерции относительно координатных осей:lх= JJJCy2+z 2)''YCX;y; z )dv ,vlу= JJJCx2+ z2)''YCX ;y;z)dv,vlz2= JJJCx +у2 ) . 'Y (~;y;z)dv.vПримерz = х2+ у2И54.4.= 1.ZНайти объем тела, ограниченного поверхностямиQРешение: Данное тело ограничено сверху плоскостьюпараболоидом z=х2z = 1, снизу -+у2 (см.
рис. 231). Объем тела находим, используяцилиндрические координаты:V= JJJr . dr d<p dz =v2"1о2"1J d<p Jr . dr J dz =о1r212"11о2оПрu.м,ер=2'•оуРис.7г2"J d<p Jт(1 - т ) dr = J (2 - 4)d<p = 4<Р/ОуРис.23154.5. Найти массу шара х 2232+ у2 + Z2~ 2Rz, если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию отнее до начала координат (дополнительно: найти координаты центратяжести).Qх2=Решение : Уравнение сферы х 2 + у2 + z22Rz можно записать так:+ у2 + (z - R)2 R 2. Центр шара расположен в точке 01 (О; О ; R)=(см. рис .232) .Пусть М(х; у ;z) -произвольная точка шара. Тогда, поусловию , плотность , определяется формулойk, (X ; y ;z ) = JX 2 +y2+ 2'zгде k -коэффициент пропорциональности,J х 2 + у2 + z 2 -расстояние от точки М до начала координат.Итак, m = J'fJ,(x;y;z)dv = J'fJJ.J.VVJ х 2 +kу2 + z2 dv.Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнениесферы х 2+ у2 + z2 = 2Rzпримет вид р24= 2Rp· СOS(}, т.
е. р =2Rcos(}.Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пределах: р -от О до 2RcosB; В -гральная функция примет видот О до ~; t.p -от О до 27Г. Подынте-~ = !s.. Поэтомуv р2Р7гт27Г"2k=2RcosOJvJJ-.р2 sin В dp dt.p dB = k J dt.p J sin В dB Jрооо7г27Г"2=kJ dt.p J127ГsinBdB."2.4R2cos2B=-2R2kdt.p7г"2= О,k= 15 R.тJIJ z JV.2J Jcos Bd(cosB)Из соображений симметрии следует, что х синтеграл .l .р dp =х2+ у2 + z2ты центра тяжести (О; О; gR).dv, найдемZcус= О;=вычисливИ так, координа•ГлаваXII."'"КРИВОЛИНЕИНЫЕИ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫI Лекции 47-50 IОбобщением определенного интеграла на случай , когда область интегрирования есть некоторая кривая , является так называемый криволинейный интеграл .§ 55.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА55.1. Основные понятияПусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (илидлины[.Рассмотрим непрерывную функциюf(x ; у) ,L)определенную вточках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками МО= А, M 1 , М2 , • • •... ,Мn = В на n произвольных дуг M i - 1 M i С длинами 6.l i (i = 1,2, ... , n)(см. рис . 233). Выберем на каждой дуге Mi-1Mi произвольнуюточку (Xi; Yi) и составим суммуnL(55.1)f(Xi ;Yi)6.l i .;·:1хоРис.Ее называют u'H-mеграл'Ь'Н-оiJ.233cYMMOiJ.для фу'Н-'К:v,uuf(x;У) ПО 1СривоiJ. АВ.Пусть л=шахl :( i :( nпри Л -t О (тогдаn6.l i-наибольшая из длин дуг деления. Если-t 00) существует конечный предел интегральныхсуммто его называют х;рuволuне11н:ым uнтегралом от фунх;'Цuu(55.1),J f(x; у) dl (илиf(x; у) по длuн.е х;риво11 АВ (или 1 рода) и обозначают! f(x; у) dl).АВLТаким образом, по определению,nJАВf(x; у) dl = n~OO~lim "" f(xi; Yi)t:::..l i .(55.2)(Л-->О) ;=1Условие существования криволинейного интеграла1 рода (существования предела интегральной суммы (55.1) при n -+ 00 (л -+ О))представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.Теорема55.1.Если функцияf(x;у) непрерывна в каждой точкегладкой кривой (в каждой точке (х; у) ЕL существует касательнаяк данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существуети его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части,ни от выбора точек в них.Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функцииf(x;у;z)по пространственной кривойL.Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длинедугирода).(1J f(x; у) dl = J f(x; у) dl, т.
е. криволинейный интеграл1.АВ1 ро-ВАда не зависит от направления пути интегрирования.2.JС· f(x; у) dl = с· Jf(x; у) dl, с = const.LL3. !(!I(x;y)±f2(x;y))dl=! fl(x;y)dl±L4.Jf2(x;y)dl.LJf(x;y)dl = J f(x;y)dl + J f(x;y)dl, если путь интегрироваLнияLL,L2L разбит на части L 1 и L 2 такие, что Lединственную общую точку.4 3= L 1 UL 2ИL 1 И L 2 имеютЕсли для точек кривой5.~ f2(X;Y), товыполнено неравенство~длина, кривой АВ.71.-+00 .АВ(>'->0) ,=1Если функцияf(x;у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется точка (Хс;Ус) такая, чторема о среднем) .55.2.(Х; у)LJ dl = lim f= tll; = [, где l -6.f1J!l(x;y)dl ~ Jf2(X;y)dl.L7.LJ f(x;y)dl(тео-= f(xc;yc) · lАВВычисление криволинейного интегралаВычисление криволинейного интеграла1 родаIродаможет быть сведенок вычислению определенного интеграла.
Приведем без доказательстваправила вычисления криволинейного интегралакриваяL1 рода вслучаях, еслизадана параметрическим, полярным и явным образом.Параметрическое ПРej\ставление кривой интегрированияЕсли кривая АВ задана параметрическими уравнениями хУ= y(t),t Е [й;,8], где x(t) и y(t) -функции параметразначениеt= /3, тоt,= x(t),непрерывно дифференцируемыепричем точке А соответствуетt=й, точке В-rзJ f(x;y)dl= Jf(x(t);y(t)) ,)xl'+Yl'dt.(55 .3)АВ'"Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функцииf(x;уравнениями х= x(t), у = y(t), z = z(t),у;z)по пространственной кривой АВ, задаваемойй ~t~/3:rзJ f(x; у; z) dl Jf(x(t); y(t); z(t)) .
) x~' + yl' + zl' dt.=(55.4)АВ'"Явное ПРej\ставление кривой интегрированияЕсли кривая АВ задана уравнением у= <р(х), х Е[а; Ь], где <р(х)-непрерывно дифференцируемая функция, тоьJ f(x; у) dl = Jf(x ;<р(х)) . )1 + y~' dx.АВПодынтегральное выражение в правой части формулыется заменой в левой части у = <р(х) и dlдуги кривой-см. п .(55.5)а41.3).=(55.5)получа-)1 + y~' dx (дифференциалПрu.мер 55.1. ВblЧИСЛИТЬJху2dl, где L -отрезок прямой меLжду точками0(0; О)и А(4;3).ix, О ~ х ~ 4. СогласноQ Решение: Уравнение прямой ОА есть у =формуле(55.5),2RJ2(4)имеем:Jху2 dl = Jх4L.(;i3 X) '1+Jх dx = 45.454= 64dxо•ЗОПолярное представление кривой интегрированияЕсли плоская криваяL задана уравнением rПОЛЯРНblХ координатах, то dl=Jr 2о: ~ <р ~/3в+ (r~)2d<p и(3Jj(x;y)dl Jj(rcos<p;rsin<p)' Jr=L= Т(<р),2+r~2d<p.(55.6)с>Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в формулах(55.3)-(55.6)должен бblТЬ меньше верхнего.Прu.мер 55.2.
ВblЧИСЛИТЬJ(х +y)dl, где L -Lлепесток лемнискаТbI r1 координатномQ= Jsin 2<р ,расположенной вуглу.Решение: Кривая интегрирования изображена нарисунке234.Воспользуемся формулой(55 .6) .Так,какОРис.dl=sin 2<рcos 2 2<p+ .sш 2<рто, заметив, что О ~ <р ~d<pd<pd<pJ sin 2<рr= --::===р234I' получаем :7r7r22J(х + у) dl = J(Т cos <р + r sin <р) ~: = J(cos <р + sin <р) d<p = 2.LО•О55.3. Некоторые приложения криволинейногоинтеграла I родаКриволинеЙНblЙ интегралв математике и механике.1 родаимеет разнообразНblе приложенияДлина кривойДлинаlкривой АВ плоской или пространственной линии вычиJ dl .сляется по формуле l =АВПлощаДЬ цилиндрической поверхностиЕслическойАВ,направляющейповерхностилежащая вобразующая(см.
рис.ности,служиткриваяплоскостипараллельна235),zцилиндриОху,осиаOzто площадь поверхзадаваемойфункциейz= f(x; у), находится по формуле Q == f(x; у) dl.JохАвАВРис.Масса кривойМасса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос,ется формулой mJ "((М) dl, где"( = "((М)==235...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
