Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 58
Текст из файла (страница 58)
)определя-"((х; у) - плотностьАВкривой в точке М.О Разобьем кривую АВ на n элементарных дуг М-:;Мi (i = 1, n).Пусть (Xi; Yi) - произвольная точка дуги М-:;Мi. Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждойточке дуги такая же, как и в точке (Х;;Yi),найдем приближенное зна-чение массы т; дуги М-:;Мi:mi ~"((Xi; Yi)6.l i .Суммируя, находим приближенное значение массы т :(55.7)i=lЗа массу кривой АВ примем предел суммыmax6.l i -+О(n -+ 00),(55.7)при условии, чтот. е.т=limn--+оо(тах iJ.li--+О)"""((Xi; fj;)6.l i ,~i=lили, согласно формуле (55.2),т=J "((х; у) dl.АВ(Заметим , что предел существует, если кривая' АВ гладкая, а плотностьзадана непрерывной в каждой точке АВ функцией.)4 6•Статические моменты, центр тяжестиСтатические моменты относительно осей Ох и Оу и координатыцентра тяжести материальной кривой АВ определяются по формуламJ у·Т'{х;у)dl,Sx=J Х·Т'(х;у)dl,Sy=АВSy= -.'mхсАВУСSx=-.mМоменты инерцииДля материальной кривой АВ моменты [х, [у, [о инерции относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:J[х =2У ·Т'(Х; У)[уdl,=J2Х ·Т'(Х; У)АВАВJ(х +у2)·Т'(х; У) dl.[о =dl,2АВПрuмер 55.3.
Найти центр тяжести полуокружности х 2+ у2 = R 2 ,лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице=в каждой точке кривой (1'1).о Решение: Из соображений симметрии ясно,учто центр тяжести находится на оси Оу (см.рис.236).Поэтому х с= о. Ордината центра тя-RJ у. dlжестиАВ= J dlУС.Знаменатель дроби-J dl = 1г R.ПоэтомуоААВдлина полуокружности.Рис.вх236АВДЛЯвычислениячислителяуравнениями окружности х =J у.f~dlАВ=воспользуемсяR cos t,У= R sin t,параметрическимиО ~t~ 1Г. Имеем:J ю sin 2 t + Ю cos 2 t .
dt = R 2 Jsin t dt =~R sin t .О2R2•О_ 2R 2Следовательно, УС -2R-R -_ .1г1г_Итак, х с -_ 2RО, УС - - .1㕧 56. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА56.1. Основные понятияРешение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интегралаКриволинейный интеграли интегралIIIIрода.ро)щ определяется почти так же, как1 рода.7Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (илиL)ифункция Р(х; у), определенная в каждой точке кривой.
Разобьем кривую АВ точками МО = А, А1 1 , .•• , Мn = В в направленииточке В на n дуг ~; с длинами b..l i (i = 1,2, ... , n).НаУВкаждойот точки А к«элементарнойдуге»~; возьмем точку (Xi; Yi) и составим сумму видаУ;nt:.Yi(56.1)LP(Xi;Yi)· b..Xi,Yi-Ii=1А= Х; - Xi-1 - проекция дуги~i на ось Ох (см. рис. 237).Сумму (56.1) называют u'Н.тегралънои cYMMou для фуюсцuu Р(х; у) ПО nе-где ~xiОXi-IХ;ХРис. 237ре.м.ен'Н.ои х.
Таких сумм можно составить бесчисленное множество. (Отличие суммЕсли при л=тах1~i~nb..l; --*(56.1) очевидно.)сумма (56.1) имеет ко-(55.1)О интегральнаяи.нечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, НИот выбора точек(Xi; Yi), то его называют 'Х:рuволu'Н.еи'Н.'bI.М uнтеграло.м.11 рода) от фу'Н.'Х:цuu Р(х; У) по 'Х:рuвоu АВ иПО 'Х:оорди'Н.ате х (илиобозначаютJ Р(х; У) dx или JР(х; У) dx.АВLИтак,nJР(х; У) dxАВ=lim ' " P(Xi; Yi)b..xi.n-400 ~(.\--+0) i=1Аналогично вводится криволинейный интеграл от функцииQ(x; У)по координате у:nJАВгде ~Y; -Q(X; У) dy = n-toolim '~" Q(Xi; Yi)~Yi,(.\--+0) i=1проекция дуги ~i на ось Оу.КрuволuнеU'Н.'ЬtU uнтеграл11 родаобщего видаJ Р(х; У) dx + Q(x; У) dyАВопределяется равенствомJ P(x ;y)dx+Q(x;y)dy= J P(x ;y)dx+ J Q(x;y)dx.АВАВ4 8АВКриволинейный интеграл / Q(x; у; z) dx+Q(x; у; z) dy+R(x; у; z) dzLпо пространственной кривойТеорема56.1.Lопределяется аналогично.Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) иQ(x; у)непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл 11 -рода существует.ОтметимIIлишьнекоторые свойства криволинейного интеграларода.1.При изменении направления пути интегрирования криволинейный интегралII родаизменяет свой знак на противоположный, т.
е./ =- /АВВА(проекция дуги ~ i на оси Ох и Оу меняют знаки с изменениемнаправления) .2.Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, тоинтеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е./=/+/.АВАССВ3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох,то/ Р(х; y)dx= О (все ~X; = О);Lаналогичнодлякривой,лежащейвплоскости,перпендикулярнойоси Оу:/ Q(x; y)dy =О (все ~Y;=О).L4.
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначаетсяf ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направnления обхода кривой).а Действительно,fАтСnА(см. рис.238)./АтСС другой стороны,+ /СnАmРис_4238fТаким образом,J+ J=СnАтССnААтС•ffСп АтСАтСnА56.2. Вычисление криволинейного интеграла 11 родаВычисление криволинейного интегралаII рода,как и1 рода,можетбыть сведено к вычислению определенного интеграла.Параметрическое представление кривой интегрированияПусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями хи У= x(t)= y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производнымиx'(t)иy'(t)на отрезке [о:;jЗ], причем начальной точке Акривой соответствует значение параметразначениеt= jЗ.t= 0:, а конечной точке В -и пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ.Тогда, по определению,J Р(х; у) dx =АВnlim~ P(Xi; Yi) C1xi.n-+-оо ~('\-;0) i=1t.
Так какxi-l = X(ti) - X(ti-l)'(см. (25.2)) имеем: C1Xi = x'(Ci)C1ti, гдеПреобразуем интегральную сумму к переменнойC1Xi =Х; -то по формуле ЛагранжаЕ(ti-l; ti), C1ti= ti -Выберем точкуti-1·(Xi; Yi)так, чтобы,образованная интегральная суммаXi= X(Ci),Yi= y(Ci)'Тогда пре-n2: P(X(Ci); y(Ci))i=1Ci Е,, X'(Ci) . C1tiинтегральной суммой для функции одной переменнойбудетP(x(t); y(t)) ·х' (t)на промежутке [о:; fЗ], Поэтому(3J Р(х; у) dx = Jp(x(t); y(t) )х' (t) dt,АВАналогично получаем:(56.2)'"(3J Q(x; у) dy JQ(x(t); y(t))y'(t) dt,(56.3)=АВ'"Складывая почленно полученные равенства(56.2)и(56.3),полу-чаем:(3J Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = J(P(x(t); y(t))x'(t) + Q(x(t); y(t))y'(t)) dt.АВ'"(56.4)Явное представление кривой интегрированияЕсли кривая АВ задана уравнением у= <р(х),х Е [а; Ь], где функция <р(х) и ее производная <р'(х) непрерывны на отрезке [а; Ь], то изформулы(56.4),приняв х за параметр, имеем параметрические урав= х, у = <р(х),нения кривой АВ: хх Е [а; Ь], откуда получим:ь!P(x;y)dx+Q(x;y)dy = ![Р(х;<р(х)) +Q(x;<p(x))<p'(x)] dx.
(56.5)АВав частности,ьJ Р(х; у) dx JР(х; <р(х)) dx.(56.6)=АВЕсли АВ-агладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезкеz[0:;,8]функциями Х= z(t), то криволинейный интеграл= x(t),У= y(t)иJ Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z)dy + R(x; у; z) dzАВвычисляется по формулеjЗ! Pdx+Qdy+Rdz= ![P(x(t);y(t);z(t))x'(t)+АВа+Q (x(t); у( t); z(t)) у' (t)+ R(x( t); у( t); z(t)) z' (t)] dt.За.ме-чан,uе. Криволинейные интегралышением1 и 11(56.7)рода связаны соотноJ Pdx+Qdy= J (Рсоsо:+Qсоs,8)dl,гдео:и,8-углы,АВАВобразованные касательной к кривой АВ в точке М(х;у) с осями Ох иОу соответственно.Прu.мер 56.1. Вычислить 1=J(х - у)2 dx + (х + у)2 dy, L Lломаная ОАВ, гдеQ0(0; О),Решение: Так какрис.
239), то 1 =LА(2; О), В(4;= ОАВ = ОА + АВJ= J + ! .LОААВУравнение отрезка ОА есть ууравнение отрезка АВ: у=х -у2).(см.о=2,О, О ~ х ~х Е[2; 4].у=о242;Со-Рис.239хгласно формуле(56.5) ,имеем:241= ![(x-0)2+0]dx+ ![2 2 +(2x-2)2.J.]dx=о2= ~31: + 4XI: + ! . (2х ~ 2)31: = i + (16 Прu.м,ер 56.2. Вычислить 1=! у28)+ i(216 -8)= 1~6 .•dx+ (х 2 +z) dY+(X+y+z2) dz,Lотрезок прямой в пространстве от точки А(l; О;L В(3;Qдо точки2)1; 4).Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А иВ: х2" 1 = ! = z "2 2или в параметрической форме: хz = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке1. По формуле (56.7) находим, что= 2t + 1, у = t,В параметрtменяетсяот О до11=! [t2· 2+ ((2t+01)2 + 2t + 2) ·1+ (2t + 1 + t1=!+ (2t + 2)2) .2] dt =%2+ 28t + 13) dt = з.(14t•о56.3. Формула ОстрограАского-ГринаСвязь между двойным интегралом по областиным интегралом по границеLDи криволинейэтой области устанавливает формулаОстроградского-Грина, которая широко при меняется в математическом анализе.Пусть на плоскости Оху задана областьпересекающейся с прямыми,более чем в двух точках, т.
е . областьТеорема56.2.D,ограниченная кривой,параллельными координатным осям неD-Если функции Р(х; у) иправильная.Q(x; у)непрерывны вместесо своими частными производными ~~ и ~ в областиD,то имеетместо формула!! (~~ - ~:)где L -dxdy=f Fdx + Qdy,(56.8)граниt.8 области D и интегри р 6вание вдоль кривой L производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой,областьDостается слева).ФормулаО Пусть у(56.8)= <{!l (х)называется формулой Остроградского-Грина.= <{!2(Х)уравнение дуги АnВ, а у-дуги АтВ (см.
рис. 240). Найдем сначала11 ~~вычисления двойного интеграла, имеем:DдРь11 ду dx.dy = 1dx 1 ду dy =, <Р (Х) == 1dx·= 1Р(Х ; <{!2(Х») dx - JP(X;<{!l(X») dx.ЬDа<Р1(Х)Р(х;у)Ьаdx dy. По правилууУ<Р2(Х) дРВ'1'1 (х)Уо= 'Рl(Х)ЬхаРис.аИли, согласно формуле= 'Р2(Х)2Ьауравнение-240(56.6),11lla;dXdy=P(x;y)dxP(x;y)dx=DуАтВАnВ= -1 Р(х; у)1 Р(х; у)dx -ВтАf Р(х; у) dx.dx = -АnВ(56.9)LАналогично доказывается, что11 ~~dx dy=fDЕсли из равенстваформулуQ(x; у) dx.(56.10)L(56.10)вычесть равенство(56.9),то получим(56.8).•Замечание.
Формула(56.8)справедлива и для произвольной обла.сти, которую можно разбить на конечное число правильных областей.Прu.мер56.3.С помощью формулы Остроградского-Грина вычислить1=fJx 2 +y 2 dx+y.(xy+ln(x+Jx 2 +y2))dY,LгдеL -контур прямоугольника с вершинами А(З;1)(3;4).QРешение: На рисункесколькуaQлеимеем:(56.8)2),В(6;2),С(6;4),.дх= у . (У .241 изображен контур интегрирования. По2Jx + у2 +дР =у,по формуJ х 2 + у2дуJ х 2 + у21) ;I=!J(Y(YJxJ х ++ у +1)_ J х У+ у )~dY=2y22D22=2JJу62dx dy =D'4Jdx Jу32dy = 56.•2уу42~~~~~~0А:,о,,,:в36Рис.56.4.ОххРис.241242Условия независимости криволинейногоинтеграла~СDПустьРОАа от пути интегрирования11A(Xl; Yl) и В(Х2; У2) - две произвольные точки односвязD плоскости Оху (область D называется односвязной областиHOtL,если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области,ограниченная им часть плоскости целиком принадлежитD(областьбез «дыр»».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
