Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Можно показать справедливость равенств=где==dx dy cos r . ds, dx dz cos (3 . ds, dy dz cos о: . ds,ds - элемент площади поверхности S; COso:, cos(3, COSiвляющие косинусы нормалиnкПоверхностные интегралы!! Pdydz+Qdxdz+Rdxdy(58.7)-направыбранной стороне поверхности1 и IIS.рода связаны соотношением= !!(Pcoso:+ Q cos(3+Rcos r )ds. (58.8)SSПр'U.мер58.1.11Вычислить=!! -xdydz + zdzdx + 5dxdySпо верхней стороне части плоскости 2хоктанте.-Зу+z6,лежащей вIVQРешение: На рисунке253 изображена заданнаячасть плоскости. Нормальn,zсоответствующая ука6занной стороне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с осями Ох иострые.
В этом можноOz -убедиться, найдя направляющие косинусы нормального вектораn = (2; -3; 1)плоскости:Inl = V4 + 9 + 1 = VТ4,соs;З=-3;7-;у14< О,cos аcos 1 ==2;7-;v 141;7-;v 14> О,> О.Поэтому перед двойными интегралами в формулахследует брать знак «плюс», а в формуле(58.5) -и(58.4)(58.6)знак «минус». Следовательно,11=+11(-З-~У+ЛdУdZ~.о3у+611 dy-2О11 zdzdx+5 11 dxdy=~.31(-3- 2 Y+2 z )dz-~y6-2х31dx 1 zdz+5'~'2'3=-9.О•О58.3.
Формула Остроградского-ГауссаСвязь между поверхностным интеграломIIрода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает следующая теорема.Теорема58.1.Если функции Р(х; у;z), Q(x; у; z), R(x; у; z)непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка впространственной областито имеет место формулаV,111(~= + ~~ + ~~)dXdYdZ = # Pdydz+Qdxdz+Rdxdy,vгде(58.9)5граница области5 -Vи интегрирование по5 производится поее внешней стороне.Формула(58.9)называетсяфор.мулоi1ОсmроградС1Сого-Гаусса(является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п.О Пусть областькоторойz=Vzl (х; у);ограничена снизу поверхностьюсверху-поверхностью52,56.3).51, уравнениеуравнение которойz = Z2(X; у) (ФункцИJ1D - проекции VстиZj(х; у) иZ2(X; у)непрерывны в замкнутой облана плоскость Оху,Zj(х; у) ~Z2(X; у));сбоку-цилиндрической поверхностью Sз, образующие которой параллельныосиOz(см.
рис.254).Рассмотрим тройной интегралz~~ dxdydz =///vZ2(X;Y)= / / dx dy11D'~D-11R(x;Y;Zj(x;y))dxdy.Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интеграламиРис.R(X;y;Z2(Xiy))dxdy-DуIIIJRJz dz =ZI(X;Y)D=/254рода по внешней стороне поверхноIIстейиSjS2соответственно (см.(58.3)).Получаем:///v~~ dxdydz = // Rdxdy + /1 Rdxdy.5251JR dx dy по внешней стороне SЗДобавляя равный нулю интеграл /(см.
свойство5п.58.1),получим:5з111~~ dxdydz 1/ Rdxdy + 1/ Rdxdy + // Rdxdy,v=~или~111~~dxdYdZ ffv=S -(58.10)R(Xiy;z)dxdy,5где~поверхность, ограничивающая областьv.Аналогично доказываются формулы///v~Q dxdydz = ff Q(x; у; z) dxdz,у(58.11)5/1/~: dx dy dz ff Р(х; у; z) dy dz.v(58.12)=5Складывая почленно равенстваформулу(58.9)(58.10), (58.11)Остроградского-Гаусса.4и(58.12),получаем•За.ме'Ч,а'Н:uя.Формула1.(58.9)остается справедливой для любой областиV,которую можно разбить на конечное число областей рассмотренноговида.2.Формулу Остроградского--Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интеграловПрu,м,ер 58.2.11Вычислить 1рода по замкнутым поверхностям.# -xdydz + zdzdx + 5dxdy,=+Sгде5 -2х-ЗувнешняяQРешение: По формуле+z1== 6,х=///(-1vсторонаО, уО,=пирамиды,(58.9)ограниченнойнаходим:-~ ·3·6 =+O+O)dxdydz = - / / / dv =vЗаметим, что интеграл11плоскостямиО.z =(см.
пример58.1)•-6.zмож6Вно вычислить иначе:S3где поверхности52,5з,54есть соответственно тре-угольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис.-2-~4~~-y255).Имеем:11 = -6+ //5dxdy -//(О АС)zdzdx+Рис.1+ // (-О) dy dz = -6 + 5· 2" ·2· З - /(СОВ)= +9 -255(АОВ)6-2х3dxо1/3 (6 -2"22х) dx = 9 -о1 (1)2"' -2"'zdz =/о(6-2Х)33130=-9.58.4. Формула СтоксаСвязь между поверхностными и криволинейными интеграламирода устанавливает следующая теорема.11Теорема 58.2. Если функции Р(Х; У; Z), Q(Xi У; Z) и R(Xi У; Z) непрерывнывместе со своимичастнымипроизводнымипервого порядкавточках ориентированной поверхности В, то имеет место формулаjJ( -aQахs- -аР) dx dyауQ+ (aR- - -a ) dy dz + (аР- - -aR) dx dzауaz=ахazf Pdx + Qdy + Rdz,=(58.13)LгдеL --граница поверхности В и интегрирование вдоль кривойLпроизводится В положительном направлении (т.
е. при обходе границыLповерхность В должна оставаться все время слева).Формула(58.13)называется формуло11 Сmо-х;са (Д. Г. Стокс--английский математик, физик).Q Пусть z = f(Xi у) -- уравнение поверхности В, функции f(Xi у),fx'(XiY), fy'(XiY) непрерывны в замкнутой области D (проекции по__tZ!jверхности В на плоскость Оху),z_~ ~:f(X;Y)__ ' "I____граница областисчитать,чтоD(см.
рис. 256).поверхностьВпеной оси О z, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности В. Рассмотрим сначала интеграл видаf Р(Х; У; z) dx.IL1 --ресекается с любой прямой, параллельI:ILБудемIILЗначения функции Р(Х; У;z) на L равZ(Xi у)) наны значениям функции Р(Х; У;L1•~У256Применим56.3).к11Lэтомурода по контураминтегралуP(XiYiZ(Xiy))dx.L,формулуОстроградского-ГринаТогда получим:JР(Х; У; Z(Xi y))dx JJ( 0- :У (Р(Х; У; Z(Xi у) ))dx dy =az= - JJ (ау + az .
ay)dxdy .=L,Lсовпадают. Поэтомуf P(XiYiZ)dx = fj(см. п.L1и__ LРис.Интегральные суммы для криволи-нейных интегра.ПОВаРDDарПреобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверх~остный интегралIIрода (см. п.58.2).Для этого последнее равенствоперепишем в видеJР(х; у; z(x; у)) dxL,(см.58.7)= - j "!(aPJ а + дРazaZ). а cos'Y dsУsУи используем уравнение нормали к поверхностиТак как выбрана верхняя сторона поверхностиострый угол между нормальюn имеет проекции - g~,5,5(см.т. е. cos'y>(45.3)).О ('У-n к поверхности 5 и осью О z), то нормаль- g~, 1. Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим проекциям:COS о: : cos ,8 : COS'YОтсюда - azду_=-azazдх : - ду : 1.= cos(3.
Тогдаcos 'У/"!(дР + аР. aZ) COS~/dsJ ду az ауs= _/"!J аРsдуCOS'Y ds _= _J"!(ap _ аР. COS(3) cos 'У ds =J дуaz cos'YsдР cos (3 dsaz=/"!J аРaz dx dz _ аР dx dy.ауsСледовательно,fР(х; у; z) dx"!/= JLарарaz dx dz - aSУdx dy.Аналогично получаются при соответствующих условиях еще дваравенства:f Q(x;Lf R(x; у;LaQaQ/! dx dy - azdY dz,aRaRz) dz =/! ady dz - dx dz.у; z) dy=ахSSУахскладывяя почленно три последних равенства, получаем формулуСток са(58.13).Отметим, что формулу Стокса•(58.13)можно применить и для поверхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренноговыше типа).Формулу Сток са можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.Из формулы Стоке а вытекает, что если выполняются условия(см .
п .56.4),aQдРaRaQдРaRдхду'дуaz' azдхто криволинейный интеграл по произвольному пространf Р dx + Q dy + Р dz = О.ственному замкнутому контуру L равен нулю:LСледовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависитот вида пути интегрирования.Прu.мер 58.3. Вычислить 1 =турокружность х 2L -+fx2y 3 dx + dy + zdz, где кон-Lу2R2 j==ZО: а) непосредственно,б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферуz= +.JR2 -х2-у2 .QРешение : Поверхность интегрированияизображена на рисунке257.а) Запишем уравнение окружности впараметрической форме:х= Rcost, У = Rsint, z == О, t Е [Оj27Г].По формуле (56.7) имеем:211"1R1=Рис .2571cos 2 t· R 3 sin 3 t( -Rsin t) .
dt+о211"+2211"Rcostdt=-R6о1sin 4 tcos 2 tdt+0=о27Г=_R 6121R6("2sin2t) '"2.(1-cos2t)dt=-S·1о2sin 2tdt+оR6 27ГR6+Ssin 2 2t cos 2t dt = -}61о7ГR 6R61211"(1- cos 4t) dt + О = -}6 27Г = - -8-'об) По формуле Стокеа1=27Г111(0 - О) dy dz + (О(58.13)находим:- О) dx dz= -3s- 3х 2 у 2) dx dy =+ (О11 х у22dxdy= -3S11 х у 22dxdy .DПереходя к полярным координатам, получаем:1= -311 тD2".5sin2<р' cos 2 <pdr d<p = -31ОR22sin <p cos <pd<p'1тО5dr =3= - - R66! -.2"14о1sin 2 2<р d<p = - - R 681. -2! (1 2"cos 4<р) d<p6R12"7ГR-16·<р о + 0= --8-·6==о•58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла11 родас помощью поверхностного интегралатела, ограниченного сверху поверхностьюповерхностью51 (z= ZI (х; у)), сбоку -цилиндрической поверхностью5з, образующие которой параллельны осиv =~#хdy dzII рода можно найти объем52 (z = Z2(X; у)), снизу Oz:+ у dz dx + z dx dy,(58.14)s+ 52 + 5з.где 5 = 51Действительно, положив в формуле Остро градского-ГауссаР(х; у;z) =#х,Q(x; у; z) =xdydz =s!!!О,R(x; у; z) =т.
е.dxdydz,(58.9)О, находим:V =v#xdydz.(58.15)sАналогично, полагая Р= о, Q = у, R = О, находим еще однуформулу для нахождения объема тела с помощью поверхностного интегралаIIрода:V=#(58.16)ydxdz.sНаконец, положив Р= о,Q=третью формулуV =О,#R = z,по формуле(58.9)находим(58.17)zdxdy,sвыражающую объем тела через поверхностный интегралСложив почленно равенствалучим формулу(58.15)-(58.17)IIрода.и разделив на три, по(58.14).Другие применения поверхностного интегралав главе ХУI «Элементы теории поля».11рода рассмотримГлаваXIII.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫI Лекции 51-521§ 59.59.1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫОсновные понятияБесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практическиеприменения.~ЧиСЛО8'Ы,М, рядом (или просто рядом) называется выражениевидасоL и n = иl + и2 + ...
+ и n + ... ,(59.1 )n=1где иl, и2,...,и n , ... -действительные или комплексные числа, называемые 'Членами ряда, и n -Ряд(59.1)общим 'Членом ряда.считается заданным, если известен общий член ряда и n ,n: и n = f(n).(59.1) называется n-й 'Части'Чноiiчерез Sn, т. е. Sn = иl + и2 + ... + и n .выраженный как функция его номера~Сумма первых n членов рядаCYMMoii ряда и обозначаетсяРассмотрим частичные суммыw~Если существует конечный пределсти частичных сумм ряда(59.1),S = lim Snn---+оопоследовательно-то этот предел называют cYMMoiiсоряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают:Еслиlim Snне существует илиn~colim Snn~co= 00,S =Lиn .n=lто ряд(59.1)назы-вают расходящимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
