Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Пусть дан ряд (59.1) с положительными членамисуществует конечный или бесконечный предел lim Un+l = l.n~ ooТогда ряд сходится приl<1ирасходится приl> 1.и ·nо Так как Ет Н n + 1 = l , то по определению предела для любого еn~ ooНNнайдется натура.пьное числоNи>Оn > Nвыполняетсяl-e<--<l+e .(БО . Б)такое, что принеравенствоилиZtn+lиnПустьl+ е = q,Ztn+lиnl < 1. Можноq< 1.< q, илиподобрать е так , что числоl+e < 1. ОбозначимТогда из правой части неравенства (БО.Б) получаемUn+l<q. Н n , n> N. В силу свойства 3 числовых рядовможно считать, что и n +ln< q.
и nдля всехn= 1,2,3, ...Давая номеруэти значения, получим серию неравенств:< q. иl,< q . и2 < q2 u !,< q . Uз < qЗ u !,и2Uз1t4..................,+ Uз + и4 + ... + и n + . .. меньше соответствующих+ ... , который сходится какряд геометрической прогрессии со знаменателем О < q < 1. Но тогда,на основании признака сравнения, сходится ряд и2 + Uз + ... + и n + ... ,т. е. члены ряда и2членов рядаqu!+q2u~ +qЗ u ! + ...
+qn+1 U1следовательно, сходится и исходный ряд(59.1).Пусть 1> 1. В этом случае lim иnн = 1> 1. Отсюда следует, что,иnn~OOначиная с некоторого номера N, выполняется неравенство и n +!иnили и n +!>Поэтомуlimи n , т. е.n---+оока (см. п.иn59.3)=J.ряд> 1,члены ряда возрастают с увеличением номераn.О. На основании следствия из необходимого призна(59.1)расходится.•За.ме'Ч.а'Н:u,Я.1.Если1 = 1,то ряд(59.1)может быть как сходящимся, так ирасходящимся.2.Признак Даламбера целесообразно применять,член ряда содержит выражение видаПрuм,ерQ60.4.n!когда общийили а n .Исследовать на сходимость рядfn=1~.n.Решение: Находим,1lim и n +!n---tooТак как1=иОПрuм,ерnlim (n+!)!n---+оо--1nт< 1, то данныйlimn---+ооn.(n+ 1)!limn---+оо1n+1==ряд по признаку Даламбера сходится.60.5.
Исследовать сходимость рядаL00n=17зn:7'nО.•а Решение: Вычисляем[- lim (-n--4оо3nз n+ 1(n+3n .3: n 2. (n + 1)2= n--4ООlim n3. -)1)2 . n 2=3 limn--4ооТак какl = 3> 1,(_n_)2=3n +1limn--4оо(_1_1)2=3.+n1то данный ряд по признаку Даламбера расходится .•60.3. Радикальный признак КошиИногда удобно пользоваться радunал'Ь'Н,ы,м, nриз'Н,аnо,м, Коши дляисследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак вомногом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировкаи доказательство.Теорема60.4.Пусть дан ряд(59.1) с положительными членами иlim ~ = [.существует конечный или бесконечный пределТогда ряд СХОДИТСЯ при<1ln--4ООи расходится при>l1.Как и для признака Даламбера, в случае, когдаl= 1,вопрос осходимости ряда остается открытым.
Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Далам6ера. Поэтому опустим его.Прu.мер0060.6.Исследовать на сходимость ряд n~1 з2n · (n ~ 1)n2а Решение: Так как00Ln23n.n=1(n + 1)~= 2·00Ln13nn=1.~(n + 1) ,то применим радикальный признак Коши к ряду00n1L з n ' (n+ Jn2n=1Вычисляемl=~ r;;;,.n~~ 'tun = n~~1·00Ряд n~1 3~.(n ~ 1)согласно свойству12nn21 ( n )п1 ,.11 1зп ' n + 1= 3 n~тoo (1 + ~)n = з'; < 1.сходится, а значит, сходится и исходный ряд,числовых рядов.448•60.4.Интегральный признак Коши.Обобщенный гармонический РЯДТеоремаЕсли ЧЛЕ:!НЫ знакоположительного ряда60.5.00Lи n могутn=1быть представлеНbI как числовые значения некоторой непрерывноймонотонно убывающей на промежуткеиl[1; +00) функции J(x) так, что= f(l), и2 = f(2), ...
, и n = f(n), ... , то:1) если+00J f(x) dx сходится, то сходится и ряд (59.1);J f(x) dx расходится, то расходится также и ряд (59.1).12) если+00о сходимости несобственных интегралов см.§ 40.О Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции уот х= 1 дох= n= f(x),(см. рис.основанием которой служит отрезок оси Ох258).уy=f(x)о12n-l3Рис.nх258Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниямикоторых служат отрезки[1; 2], [2; З], ...Учитывая геометрическийсмысл определенного интеграла, запишем:nf(2)·1+f(З)·1+···+f(n)·1 <Jf(x)dx < f(1)·1+f(2)·1+···+f(n-1)·1,115Конспект лекциii по высшей матемзтщ.: ..' 11".1111.111 "УРСилиnJf(x) dx < иl + и2 + ... +5 - щ < J f(x) dx < 5 - и n ·""и2 + Uз + ... + и n <Un-l,1илиn(60.7)1+00J f(x) dxСлу'Чаi1 1. Несобственный интегралсходится, т.
е.1+00+00nJ f(x) dx = А. Поскольку Jf(x) dx < J f(x) dx = А, то с уче-11том неравенства(60.7)имеем:1иl5" -последовательность частичных суммчена сверху (числом иl+ А),<А, т. е.5n <монотонноиl+ А.возрастает иТак какогранито, по признаку существования предела,имеет предел. Следовательно, ряд(59.1)Слу'Чаi1 2. Несобственный интегралсходится.+00J f(x) dx расходится . Тогда1+00J f(x) dx =1nJf(x) dx неограниченно возрастаютУчитывая , что 5 > Jf(x) dx + и (см . (60.7)), получаем,""' +00и интегралы111при n ~00.1что5n~ 00 приn~ 00 .
Следовательно, данный ряд.J f(x) dx, гдеkЕ N,•J f(x)dx можно брать интеграл1kрасходится .+603а.ме'Ча'Н.uе. Вместо интеграла+00(59.1)> 1. Отбрасываниеkпервых членов рядаkв ряде(59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость)ряда.Прu,м,ер60.7.Исследовать на сходимость рядfn=2--11-'n· Il nQ Решение: Воспользуемся интегра~lЬНЫМ признаком Коши. Функцияf(x) = -11удовлетворяет условиям теоремы 60.5. Находимх nx+сюJ2dx-1х Il Х00= In IIIlXII 2 = 00.Значит, ряд с общим членом и n = -11- расходится.хnx•Ряд10011112: пр = 1 + 2 Р + 3 Р + 4Р + ...
+ пр + ... ,(60.8)n=1где р>о-действительное число, называется обобщен:ным гармо'Н.и'Чес-х;uм р.ядом. Для исследования ряда(60.8)на сходимость примениминтегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа осходимости не дают).' .Рассмотрим функцию f(x)= 1р .хЭта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке [1; +00) и f(n) - -\, = и n . При р i- 1nимеем:00!dа1-р~ = lim !x-Pdx = lim _x__ lха-->ооР1а-->оо1-aр 1=1l-p1. { 1(а ----) _р - 1'а-->оо 1 - р1- р 00,_ l'1т-kI~> 1,если р < 1.если рПри Р = 1 имеем гармонический ряд и n = 1, который расходится00n! d;: =(второй способ:00).
Итак, ряд (60.8) сходится при р1.расходится при р ~ 1. В частности, ряд 1сходится (полезно знать).> 1,111+ ~2+~+ ... + --,,+ ...3n~Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любогоположительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике.§ 61.ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯИ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ61.1.Знакочередующиеся РЯДЫ. Признак ЛейбницаРассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися.
З'Н.а-х;о'Чередующuмс.я р.ядом называется ряд вида00U 1 - и2+ Uз-и4+ ... + (-1) n+ 1 и n + ... = 2: (-1 уn+ I и n ,(61.1)п=1где и n>О для всехnЕN(т. е. ряд, положительные и отрицательныечлены которого следуют друг за другом поочередно).Для знакочередующихся рядов имеет место досmаmо'Ч'Н.ыU признаксходимости (установленный в1714нулли).451г. Лейбницем в письме к И. БерТеорема 61.1 (признак Лейбница). 3накочередующийся ряд (61.1)сходится, если:Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно1.>убывает, т. е.
Иl2.И2>ИЗ> ... >ИN> ... ;Общий член ряда стремится к нулю:Iimn--+ооПри этом суммарядаS(61.1)иn= О.удовлетворяет неравенствам0< S < Иl.(61.2)о Рассмотрим сначала ча(;тичную сумму четного числа (2т) членовряда(61.1).S2m = ИlИмеем-' И2+ Из- И4+ ... + И2m-l - И2m =- И2) + (из - И4) + ...
+ (И2m-l= (Иl- И2m).Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма S2m>ОИ возрастает с возрастаниемномера 2т.С другой стороны, S2m можно переписать так:S2m = Иl(И2 - Из) - (И4 - щ)-Легко видеть, что S2m(И2m-2 - И2m-l) - И2m·Таким образом, последовательность S2, S4,возрастает и ограничена сверху. Следовательно, онаS6,,'" S2m,'"имеет предел< Иl.- ... -Iim SZmn--+оо= S,причем О< S < Иl.Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2т+1) чле-нов ряда(61.1).Очевидно, что S2m+l = S2mчтоIim S2m+l =т~ooт.
к.Iim И2m+lт~ooкак при четномlim (S2mщ~оо+ И2m+l.+ И2m+l) = Iimт100S2mОтсюда следует,+О=S,= О В силу второго условия теоремы. Итак, n-700Iim Sn = Sn,сходится, причем Отак и при нечетномn.Следовательно, ряд< S < Иl'(61.1)•3а.ме'Чшн:u..я.1.Исследование знакочередующегося ряда вида(61.3)(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех егочленов наРяды(-1) к исследованию ряда (61.1).(61.1) и (61.3), для которых выполняютсяусловия теоремыЛейбница, называются леi1.б'Ни'Цевс'll:И.ми (или рядами Лейбница).~2.Соотношение(61.2)позволяет получить простую и удобнуюоценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя суммуSданного5n .ряда его частичной суммойОтброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд (_l)n+l (и n +l - и n +2сумма5n<которогопомодулюменьшепервогочленаэтого+ ...
),ряда,т. е.и n +l' Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенныхчленов.Прu.мер61.1.Вычислить приблизительно сумму рядаQ Решение: Данныйзаписать: 1 - ~ + -ь55=1-ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно- ... = 5. Взяв пять членов, т. е. заменив 5 на1111311122 + з3 - 44 + 55 = 4 + 27 - 256 + 3125 ~ 0,7834,сделаем ошибку, меньшую, чем-lo = 46~56 < 0,00003 . Итак, 5 ~ 0,7834 .•61.2.
Общий достаточный признак сходимостизнакопеременныхрядовЗнакочередующийся ряд является частным случаем знакопере(х)менного ряда. Числовой рядLи n , содержащий бесконечное мно-n=1жест во положительных и бесконечное множество отрицательных членов , называется зн.ах:оnере.мен.н.'Ы.м.Для знакопеременных рядов имеет место следующий общui1 достатО"ч'ныi1 nрuзнак сходимости.Теорема61.2.Пусть дан знакопеременный рядиl+ и2 + ... + и n + ...(61.4)Если схрдится ряд(61.5)составленный из модулейчленов данного ряда,знакопеременный ряд (61.4).то сходится и само Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов(61.4)и(61.5):00(щ +lu] 1) + (и2 + IU21) + ...
+ (и n + lunl) + ... = :l)un + lunl)·n=1Очевидно, что О ~ и n+ lunl~21u nl для00всех n1 числовыхСледовательно, на основании признака сравнения (п.00и рядL,,=1(и n+ lu"I).21u n lLn=1сходится В силу условия теоремы и свойства.EN. Но рядрядов (п.59.1)сходится59.3)Поскольку данный знакопеременный ряд(61.4)представляет собой разность двух сходящихся рядов00,,=1то, на основании свойства0000,,=1,,=12числовых рядов, он (ряд(61.4))сходится .•Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходитсяряд(61.4),то это не означает, что будет сходиться рядПример61.2.Исследовать сходимость ряда(61.5).f: (_1)n+l .1.nn=1QРешение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполненыусловия признака Лейбница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
