Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 66
Текст из файла (страница 66)
.. + (_1)n. - + ...1!2!3!4!n!'справедливое для всех х Е (- 00;(64.15)00 ) .Суммируя (и вычитая) почленно равенства(64.4)и(64.15) ,получим разложение гиперболического косинуса (синуса):сЬх=еХ+ е-Х2=1+х22Т+х44Т + ... ,ХЕ(-ОО;ОО),х Е (-00;00) .Формулы(64 .13)и(64.14)Докажем формулуО Имеем:доказаны .(64.7).•ПустьJ(x)= (1 + х)О', где а Е IItа(1 + x)O'-i, j"(x) = а(а - 1)(11) .. . (а - (n - 1))(1 + x) O' -n, ... , n Е N;б) j(O) = 1, 1'(0) = а , j"(O) = а(а - 1), ... ,j(n)(O) = а(а - 1) ...
(а - n + 1), ... ;0'а(а - 1) 2В) ( 1 + х)~ 1 + ах +2!х + ...а)I'(х)= а(а -j(n)(x)=+х)0'-2,... ,... + а(а - 1)(а - 2),'" (а - n + 1)хn + ... ;n.г) R-lim I~I-lim 1 а(а-1)(а-2) ... (а-(n-1)) · (n+1)!-n-+ОО а n +l -n-+ОО n!·а(а-1)(а-2) ... (а-(n-1))(а-n) -1-= limn-+оо1n+ 1 1 = 1, т. е. составленный для функции (1 +х)О' ряд сходитсяа-nв интервале(-1; 1).Можно показать, что и в данном случае, т. е.
при х Еточный членRn(x)стремится к нулю при(-1; 1),n --+ 00.•(64.7) называется бu1-tомuалыtъtМ. Если а = n Е N, то все чле(n + 1)-го номера равны О, так как содержат множитель- n = n - n = О. в этом случае ряд (64.7) представляет собой известРядны ряда саоста-ную формулу бинома Ньютона:n _(1 +х ) -1+!!:.1 .,х+n(n - 1) 22'х.+ .. . +Докажем формулу (64.8). Пусть j(x)О Формула1)n(n - 1) .
.. 1,n.nх .= 1~ х'(64.8) может быть полу чена разными способами:ПОJlЬЗУЯСЬ правилом разложения функции в ряд;2) рассматривая ряд 1 + х + х 2+ х 3 + ... + х п + . ..как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице и знаменательq = х; известно (см. пример 62.1), что данный ряд сходится прих Е (-1; 1) и его сумма равна - 11 ;-х3)воспользовавшись формулойзаменив х на -х, получим формулуДокажем формулуФормула(64.9)(64.7):(64.8).Пусть(64.9).положив в ней йf(x) = ln(l-1+ х).и•также может быть доказана разными способами.Приведем один из них.QРассмотрим равенство_1_ = 1 _l+хх + х2_справедливое для всех х Е (-1;х 3 + ...
+ (_l)П х П + ... ,1).Используя свойстворядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [О;х], х Еилиln(l+ х)=хх2- 2х3степенныхх п +!+ - - ... + (_1)П __ + ...3n +1Можно показать, что это равенство справедливо и для хДокажем формулу4(-1; 1):(64.10).ПустьJ(x)= 1.•= arctgx.о Положив в формуле (64.7) й = -1 и заменив х на х 2 , получимравенство12-l+х= 1 -х 2+х4- ...+ ( - 1)П·х2п + ... ,х Е(-1; 1).Тогдаилиarctg х=х -х33х5х 2п +!+ - - ...
+ (-1) n - - + ...52n + 1Можно показать, что равенство справедливо и при х=всех х Е [-1; 1].Докажем формулу±1,т. е. при•(64.12).Пустьf(x)= arcsinx.о Положив в формуле (64.7) а-! и заменив х на (_~2), получим=равенство1х21.3 41.3 .5 б~=1+2+2'4X +2.4.6 Х+ ... ,xE[-l;l].ТогдаХх1х=о1-tилиоdtХt2J ~dt J + J2'оdt+1.3J2.4о3arcsin хМожно показать,4t dt+ ... ,1· 3 х= х + -21 .
-х3 + -. - + ...2·4 55что полученное равенство справедливо при всехх Е [-1; 1].Ряды•(64.4)-(64.14)в комбинации с правилам и сложения, вычитания, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при разложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора).ПримерQРазложить в ряд Маклорена функцию64.1.3Х •Решение: Так как 3 Х = e1n 3' = е Х In 3, то, заменяя х на х lп 3 в разложении(64.4),получим:Хlп 3lп з 2 Iп 3 3 3Iп 3 n3 = l+l!x+~x +т!х + ... +~x2ПримерQf(x) =64.2.n+ ...
,Выписать ряд Маклоренафункциих Е (-00;00) . •f(x)= Iп(4-х),Решение: Так какf (х)= Iп( 4 - х) = lп 4(1 - ~)=Iп 4 + Iп [ 1 + ( - ~) ] ,то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим х на (-~),получим:илиlп(4если -1-х)< -~,= lп4 -1 х21x n+1- _. - _ ... - -n_1 . - - - ...442 24 +n+1'1-х~ 1, т. е. -4 ~ х< 4.47•Прu.мерРазложить в ряд Маклорена функцию64.3.f(x)2= -3- .-ХРешение : Воспользуемся формулойQ2f23-ХТак как2= - - = -~~f(x)ТО,заменив Х на(64 .8).:3.3·(1-~)11- ~'3в формуле (64.8), получим :_2 = ~ .
(1 + ~ + (~)3-Х3332+(~)32х33+ ... ),или23- Х2Х22х22х22хn= :3 + :3 . :3 + :3 . з2 + :3 . з2 + :3 . з3 + ... + :3 . 3" + ... ,f< 1, т.е. -3•где -1<< Х < 3.§ 65.НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХРЯДОВ65.1.Приближенное вычисление значении функцииПусть требуется вычислить значение функциизаданной точностью €Если функциюf(x)при Х= ХlС> о.f(x)в интервале(-R; R)можно разложить в степенной рядf(x)и Хl ЕХ=Xl,(-R;R) ,= ао + alX + а2 х2 + .. . + аnх + ...nто точное значениеf(Xl)равно сумме этого ряда прит.е.f(Xl)а приближенное-= ао + alxl + a2X~ + ... + аnх? + .. .
,частичной суммеf(Xl) ~ 8 n (Xl)Sn(Xl),т. е .= ао + alxl + a2xi + ... + anx~'.Точность этого равенства увеличивается с ростомn. Абсолютная погрешность этого приближ е нного равенства равна модулю остатка ряда,т. е .гдеТаким образом, ошибкуIf(xl) - Sn(xl)1можно найти, оценив остатокряда.Tn(Xl)Для рядов лейбницевского типа(см.= IUn+l (Xl) + U n +2(Xl) + Un+З(Хl) + .. ·1< IUn+l (Xl)1ITn(Xl)1п. 61.1).В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бысуммировался.
И в качестве оценкиITn(Xl)1берут величину остаткаэтого нового ряда.Прu,м,ерQНайти65.1.sin 1 сРешение: Согласно формуле3!5!0,001.(64.5),~ 1з + ~ 15 _sin 1 = 1 _точностью до... =~ ( -1) n+ 1L.Jn=l1.(2n - 1)!Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно).Так как ~ ~ 0,008(3) > 0,001, аsin 1 сточностью до0,001i! ~ 0,0002 < 0,001, то для нахождениядостаточно первых трех слагаемых:1sin 1 :;:::j 1 - 311=5!+-о'842.Допускаемая при этом ошибка меньше , чем первый отброшенный член(т. е. меньше, чемsin 1Прu,м,ерQ0,0002). Вычисленное0,84147.микрокалькулятором значениепримерно равно65.2.•Вычислить число е с точностью доРешение : Подставляя Х= 1 в формулу11е=1+,+,+1.2.(64.4),0,001.получим:1...
+,+...n.Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмемnслагаемых и оценим ошибку Тn(Х):Тn(Х)111= (n + 1)! + (n + 2)! + (n + 3)! + ... =~ 1)! (1 + n ~ 2 + (n + 2)1(n + 3) + ... ) << (n ~ 1)! (1 + n ~ 1 + (n ~ 1? + .. . ) = (n ~ 1)! С _ln-h)= (n1n! ·n'т.е. тn(х) < _,1_.
Остается подобрать наименьшее натуральное числоn. ·nn, чтобы выполнялось неравенство _,1_. < 0,001.n. ·nn ? 6.Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется приПоэтому имеем:1+1+e::::,j11111•5172! + з! + 4! + 5! + 51 = 2 720::::,j2,718.За.ме'Ча'Н,uе. Оценку остатка ряда можно производить с помощьюостаточного члена ряда Маклоренагде с находится между О и xl· В последнем примерееRn (1) = (n +1)! 'СО < с < 1. Так как е С < е 1 < 3, то R n (1) < (n ~ 1)! .-При nR6 (1)< ~ < 0,001, е::::,j1+1+ ~+ ... +J!::::,j= 6имеем:2,718.65.2. Приближенное вычисление определенныхинтеграловБесконечные ряды при меняются также для приближенного вычисления неопределенныхиопределенных интегралов в случаях,когдапервообразная не выражается в конечном виде через элементарныефункции (см.§ 34)либо нахождение первообразной сложно.ьJПусть требуется вычислитьf(x) dxс точностью до€> о.
Еслиаподынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степенямх и интервал сходимости(-R; R)включит в себя отрезок [а; Ь], то длявычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяюттак же, как и при вычислении значений функций.14"Пример€65.3.Вычислить интеграл= 0,001.QJе-х2dx с точностью дооРешение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена,заменяя х на '( _х 2 ) в формуле (64.4):е-х2х2х4х6= 1 -lТ + 2Т-ЗТ + -..
,47х Е(-00;00)_(65.1)Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке [о;!], лежащем внутри интервала сходимости(-00; 00),получим:j.Получили ряд лейбницевского типа. Так как 1!. 43 = 0,0052 ... >> 0,001, а 2! . 51 . 45 < 0,001, то с точностью до 0,001 имеем:14"Jе_х2dx~о11- - -4•= о ' 245.192Замечание. Первообразную Р(х) для функции f(x)х2легко(65.1)в пре= е-найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенстводелах от О до х:Р(х)Jх е=_t 2dt =оJхt21Т +(.1-42! - ...)dt=о2Функцииtf(x) =J-;e - Х2И Р(х)JХ=f(t) dtиграют очень важоную роль В теории вероятностей. Перваяго расnределенu.я.
веро.ятностеi1, втораяk Jех=t2-2 dt-nлотностъ стандартно-фунх:'Цu.я. Лапласа Р(х)-=(или интеграл веро.ятностеi1). Мы получили, чтоофункция Лапласа представляется рядомх -F(x) = -1- ( х - - х + - 2.,fj;2 . 3 2 2! . 5З5который сходится на всей числовой оси.474-3х72· 3! . 7+ ... ) ,Приближенное решение дифференциальных65.3.уравненииЕсли решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решенияслишком сложен, то для приближенного решения уравнения можновоспользоваться рядом Тейлора.Познакомимся с двумя способами решения дифференциальныхуравнений с помощью степенных рядов.Пусть, например, требуется решить уравнениеу"= f(x;y;y'),(65 .2)удовлетворяющее начальным условиям1у х=хо= Уо,У'х=хо1='Уо'(65.3)Способ последовательного дифференцированияРешение уУ= у(х)уравненияу'(Хо) (= У(Хо) + --,х 1.хо)ищем в виде ряда Тейлора:(65 .2)у"(хо)'+ --,-(х2...
. +при этомвийу'(65.3).хо)2+ .. .у<"} (хо),n.(хпервые два коэффициента находимПодставив в уравнение(65 .2)-хо)изn+ ... ,(65.4)начальных услозначения х=хо, у=уо,= УЬ, находим третий коэффициент: у"(Ха) = f(xa; уа; уЬ). Значенияу"'(Хо), у(4)(хо), ... находим путем последовательного дифференцирования уравнения(65.2)по х и вычисления производных при Х= Ха .Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенствонения(65.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
