Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 65
Текст из файла (страница 65)
- это тоже сходящийПри х= -1 имеемряд -1 +признаку Лейбница.ся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходногоряда является отрезок [-1;Прu.мер63.3.:1].•Найти область сходимости рядаfn=1Q(хn· ~:~~.Решение: Находим радиус сходимости ряда по формулеR=limn .... ооI1n ·2 n -1:(n1+ 1) ·2 nI=nlim (n + 1) . 2n. 2n - 1n""оо(63.1):= 2.-2 < хСледовательно, ряд сходится приПри х= -4+ 2 < 2,т. е. при-4 < х < О.имеем ряд~(_2)n~ n·2 n -1=2~(-1)n~~n=1N'n=lкоторый сходится по признак)' Лейбница.При х=Оимеем расходящийся ряд00L2nn . 2n-100= 2Ln=l,,=11;:.Следовательно, областью сходимости исходного ряда является по-луотрезок[-4; О).•Свойства степенных рядов63.3.Сформулируем без доказательства ос1-tов1-tъtе сво11ства степенныхрядов.~1.СуммаS(x)степенного рядацией в интервале сходимости(62.3) является(-R; R).00~L2. Степенные ряды00а"х" иn=омости соответственнонепрерывной функRlLЬ"х n , имеющие радиусы сходи-n=оиR2 ,можно почленно складывать, вычи-тать и умножать.
Радиус сходимости произведения , суммы и разностиR, и R 2 .Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленнорядов не меньше , чем меньшее из чисел3.дифференцировать; при этом для рядаS(x)при- R<х<RS/(x)4.= ао + а,х + а2х2 + азхЗ + ... + апх + ...n(63.3)выполняется равенство= al + 2а2Х + 3азх2 + ... + n· а"хn-1+ ...(63.4)Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интеj'Jвала сходимости; при этом для ряда (63.3) при -Нс.<а<х <Rвыполняется равенство (см .
замечание 1,416)хххххjS(t)dt= jaodt+ ja 1 tdt+ ja 2 t 2 dt+ . . . + jantndt+ ... (63.5)аnаРяды(63.4)и(63.5)nаимеют тот же радиус сходимости , что и исходныйстепенной ряд.Перечисленные свойствапенных рядов вида1- 4остаются справедливыми и для сте(62.4).Свойства степенных рядов широко используются в теоретическихисследованиях и в приближенных вычислениях .462§ 64. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В CTErlEHHbIEРЯДЫ64.1.РЯДЫ Тейлора и МаклоренаДля приложений важно уметь данную функциюстепенной ряд, т. е. функциюf(x)f(x)разлагать впредставлять в виде суммы степен..~ Как известно (см.
T~opeMa 26.1), для любой функции ЛХ), опреного рядаделенной в окрестности точки ха и имеющей в ней производные до(n+ l)-гоf(x)порядка включительно, справедлива формула Тейлора:f'(xa)= f(xa) + -,-(х1.ха)г(х о )+ -,-(х 2.... +~где R.,(x) =f(n+l)(C)(n+ 1)!ха)f(n)(xa),(хn.2-+ ...ха)n(х - ха)nН, с Е (ха, х), -+ Rn(x), (64.1)остаточный член вформе Лагранжа. Число с можно записать в виде сгде О< В < 1.Формулу(64.1)I f(x)= Xa+B(X-Хо),кратко можно записать в виде= Рn(Х) + Rn(x), Iгде Р,,(х) = f(xo) + P~~o) (х - хо) + ... + f(n~\xo) (х - хо)n - многочленТейлора.Если функцияf(x)имеет производные любых порядков (т. е.
бесконечно дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный членR.,(x)стремится к нулю приn-t 00 (lim Rn(x)"--+00Тейлора получается разложение функцииf(x)= О),то из формулыпо степеням (х-хо),называемое рядом Теi1лора:f(x) = f(xo)f'(xa)+ --(х1!хо)00+ ... = ~~,,=0Если в ряде Тейлора положить ха=f(n)(xo)n(х - хо) .n!(64.2)О, то получим разложениефункции по степеням х в так называемый ряд Ма"к'лорена:f(x)= ЛО) +f'(O)1!х + f"(O) х 2 + ... = ~ f(n)(O) х".2!~,,=0n!(64.3)Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любойбесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) вокрестности точки ха.
Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функцииf(x); он может оказаться расходящимсяf(x). Так, например, функцияилисходиться, но не к функции= {е -;..,f(x)если х i О,О,если хО=имеет в точке х = О производные всех порядков, причем f(n)(O}при всяком(см. примерn0+19.5).О2Т Х+О2!ХО:Ряд Маклорена имеет вид2+ ... +Оn!хn+ ...Он сходится, но его суммаS(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x).f(x) составлен соответствующий ей ряд ТейПусть для функциилора.ТеоремаДля того чтобы ряд Тейлора (64.2) функциидился кточке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точ64.1.f(x) вf(x)схоке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при00, т.
е. чтобыn -+lim Rn(x) =n-tooо Пусть ряд ТейлораО.(64.2) сходится к функции f(x) внекоторойf(x) = lim Sn(x). Так как n-я частичнаяокрестности точки ха, т. е.суммаSn(x)Sn(x)ряда= рп(х),(64.2)n-tooсовпадает с многочленом Тейлора рп(х), т. е.находим:'lim Rn(x) = liт и(х) - рп(х)) = lim и(х) - Sn(x))п-400п--+ооn--+оо= f(x)Обратно, пусть liт Rn(х)n-too= О.- lim Sn(x)n-tooп--+ооп--+оо= f(x)- limn-tooЗа.м.е'Ча1iuе.
Если ряд Тейлорафункцииf(x),= f(x)- f(x)= О.Тогдаlim Sn(x) = lim рп(х) = lim и(х) - Rn(x))n--+оо=Rn(х)(64.2)== f(x) - 0= f(x).•сходится к порождающейто остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е.а тп(х)~Rn(x) = тп(х). (Напомним, что Rn(х) = f(x) - Sn(x),Sn(x), где S(x) - сумма ряда Тейлора.)..образом, задача разложения функции f(x) в степенной'= S(x) -Такимряд сведена по существу к определению значений х, при которыхR.,(x) ---+ о (при n ---+ 00).
Если сделать это не просто, то следует какимнибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.На практике часто пользуются следующей теоремой, которая даетпростое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.Теорема64.2. Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки хо одним и тем же числом Млюбого х из этой окрестности ряд Тейлора функциифункцииf(x),f(x)>О, то длясходится кт. е. имеет место разложение (64.2).о Согласно теореме64.1, достаточно показать, что lim R.,(x)n--+ооПо условию теоремы64.2для любогоnимеет= О.место неравенствоIf(n)(x)1 ~M.
Тогда имеем:lim 1R.,(x)1 = limn--+ооn--+оо~f(n+l)(c)I()' (х - xo)n+l ~n+1.I.I(х -11т М·n--+ооОсталось показать, что J~~(n(х - хII = М· 11т. I(х -хо)n+l+ 1)!n--+оо)n+ll+\)! = О.I(x _ хо)n+l1~ (n + 1)! .Р яд(n(nIхо)n+l .+ 1)!ДЛЯ этого рассмотрим00Так какиn+l., 1т-n--+оо и nn 2\.Ix- x ol + · (n+1)! = I= n--+оо(n + 2)! . Ix - xol n + l1тх-хоI . ,.1т1n--+оо--n+2= О < 1'то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси.
Нотогда, в силу необходимого признака сходимости,.li mn--+ооСледовательно,nиnlim Rn(x)n--+оо,. Ix - xol += n--+оо1т(n + l)!l=О.•= О.64.2. Разложение некоторых элементарных функцийв РЯД Тейлора (Маклорена)Для разложения функцииf(x)в ряд Маклорена(64.3)а) найти производные Г(х) , f"(x), ... , f(n)(x), ... ;б) вычислить з начения производных в точке хо = О;нужно:в) написать ряддля заданной функции и наЙТ~J его интервал(64.3)сходимости;г) найти интервалв котором остаточный член ряда Ма(-R; R),клорена Rn(х) --7.
О при n -+ 00. Если такой интервал существует, то внем функцияи сумма ряда Маклорена совпадают.f(x)3а.ме'Ч.анuе. В интервале сходимости степенного ряда остаточныйчлен стремится к нулю приn -+ 00.Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):еЖхх2хn1.2.n.= 1 + 1" + , + ... + f+ .. . ,х Е(-00; (0),(64.4)х3з.siпх=:t--,х5+ , _ . . . +(_1)n(5.х 2n + 1),+ . .. ,2n + 1 .ХЕ(-ОО;ОО),(64.5)Х Е(-00; (0) ,(64.6)(1+ Х)"'-1-~0'(0'-1)+1,х +2'..Х2+ ... +Х Е1--=l+х+х21-х'п(1+ х)arctgx=х -х2-2+ ...+хn[-1; 1],(-1: 1],если о' ~ О ,если-1(-1,1),если0' :::;+ ... ,х3хn+ 1+ - - ... + (_1)n _ _ + ...
,3n+1х5х3{0'(0'-1) .. . (0'-n+1) n,хn.х 2n + I= х - 3 +5 - ... + (_1)n 2n+ 1 ... ,arcsinx =... +1 х31 . 3 х51 . 3 . 5 х7.- + -- .2 32 ·4 52 · 4·6 71 . 3 . 5 . . . (2n - 1) х 2n +1( ) .2n-... ,2 . 4 . 6 . .. 2n++1х+ - .- + _х3х5х 2n + Ishx=x+,+,+ ... +()1+ ' '' '3.5.2n + 1 .+ ... ,< о' < О, (64.7)-1,ХЕ(-l;l),(64.8)Х Е(64.9)(-1; 1],Х Е [-1; 1] , (64.10)+...(64.11)XE[-l ; l], (64.12)ХЕ(-ОО ; ОО),(64 .13)х Е(-00;00).(64.14)Докажем формулу(64.4).Пустьf(x) =еХ •О Имеем:а) 1'(х) = е Х , f"(x) = е Х , •• • , f(n)(x) = е Х ,б) f(O) = 1, 1'(0)1, ...
, f(n)(O) 1, ... ;=liтп-+оо,.!(n+l)!!_n.,1 +-1'+-2'х х + . .. +,+х " . . . ', R- п,......1тоо !~!_- п .....1т..n.а п +1оо(n + 1) = 00, т. е. ряд сходится в интервале (-00; 00);в) е=•• • ;=2Х~г) для всех х Е (-R; R) имеем If(n)(x)1 = е Х<eR=М, т. е.все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числомМ = eR . Следовательно, по теореме 64.2 'im Rn(х) = О. Таким обрапзом, еХ..... оо•2= 1 + П + 2!+ ...Докажем формулу(64.5).Пустьf(x)= sinx.О Имеем :=а) 1'(х)cosx = sin(x+~), f"(x) = -siпх = sin(x+ 2·~) ,' (х +3 .
"27Г) ' ... , f(n)()-'7Г) ... ,.- cos х - sшх - sш (+хn '"2х f ll1()-О,б) f(n)(O).= sin 7Г2n =в) SШХ ~ Х-х33т+= О,{ n:-1,+1,х55т2, 4, 6, ... ,3,7, 11, .... 'n - 1, 5, 9, ... ,n- ... + (-1) n .х 2n + 1(2n + 1)! + ... Легко прове-рить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всехх Е(-00; 00);г) любая производная функцииf(x)=sinxвосходит единицы, и(11) (x)1 = ISin(x + n.~)! ~теореме64.2имеет место разложениеДокажем формулуо Формулу(64 .6)(64.6).3Пустьf(x)•= cosx.можно доказать так же, как и формулуcos х,(64.5).cos Х= 1-х22!Докажем формулы= sh х).х4+ - - ... ,4!х Е(64.13), (64.14).Однавоспользовавшись свойстепенных рядов. Продифференцировав почленно рядполучим:f(x)Следовательно, по(64.5).ко проще получить разложение функцииством1.по модулю не пре-(64.5),•(-00;00).Пустьf(x)= chx(илио Заменив в формуле(64.4)х на -х , получим разложение функциие- Х :е- ХХЗх2хх4хn= 1- _ + _ _ _ + _ - .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
