Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Следовательно, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е.ряд•расходится (гармонический ряд).61.3. Абсолютная И условная СХОДИМОСТИ числовыхРЯдОВ. Своиства абсолютно СХОАЯЩИХСЯ РЯдОВ~Знакопеременныйряд называетсяабсолютносход.я.щuмс.я.,если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.Знакопеременный ряд называется условно сход.я.щuмс.я., еслисам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.Так, ряд, показанный в примере(61.2),100'"'( _1)"-] .
~n!n=]4условно сходящиЙся. Рядабсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов,сходится (см . при мер60.4).Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без доказательства.~1.Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму5,то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет туже сумму2.5,что и исходный ряд (теорема Дирихле).Абсолютно сходящиеся ряды с суммами5]и52можно почленноскладывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд , сумма которого равна5]+ 52(или соответственноз.
Под произведением двух рядов и]+ и2 + . ..и Vl5] - 52).+ V2 + . ..понимают ряд вида(ЩVl)+ (VIV2 + U2Vl) + (UIVЗ + U2V2 + UЗV1) + ...... + (UIVn + U2Vn-l + .. . + UnVl) + ...Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммамиесть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна51и5251 ·52.Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов.В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.Так , переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 - ~ + ~ -! + ...условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна5 .
Перепишем е го члены так, что после одного положительного члена будутидти два отрицательных. Получим рядСумма уменьшилась вдвое!Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой илирасходящийся ряд (теорема Римана).Поэтому Д~йствия над рядами нельзя производить, не убедившисьв их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов,заменяя всюду общий член ряда его модулем.ГлаваСТЕПЕННЫЕ РЯДЫXIV.I Лекции 53-551§ 62.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ62.1.Основные понятияРяд, членами которого являются функции от х, называется ФУ'Н'/С'Цuо'Ндл Ь'Н 'ЫМ:00L 'иn(Х) = 'иl (хl) + 'и2(Х) + ... + 'иn(Х) + ...(62.1)n=lПридавая х определенное значение хо, мы получим числовой рядUJ (хо)+ 'и2(ХО) + ...
+ 'иn(Хо) + ... ,который может быть как сходящимся, так и расходящимся.§Если полученный числовой ряд сходится, то точка хо называется то'Ч.'II:ОU сходимости ряда(62.1);если же ряд расходится-то'Ч.'II:ОU pacxoдu,м,ocти функционального ряда.Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х:S = S(x).Определяется она в областисходимости равенствомS(x) = lim Sn(x),n-tooгдеSn(x) ='иl (х)+ 'и2(Х) + ...
+ 'иn(Х)-частичная сумма ряда.00Пример62.1.Найти область сходимости рядаLхn .n=оQРешение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессииq = х. Следовательно, этот ряд сходитсят.е. при всех х Е (-1; 1); сумма ряда равна - 11 :со знаменателемприIxl < 1,-х100S(x) = ""' х n = - ~1-х'n=оПример62.2.приIxl < 1.Исследовать сходимость функционального ряда00""'~n=l.')sш n-хn2·•QРешение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходногоряда:ISi;2 Х I + ISin ;2 x I + ... + ISinn~2x I + .
. .(62.2)2Так как при любом х ЕIRимеет место соотношение ISinn~2x I :::; ~,а ряд с общим членом А сходится (обобщенный гармонический ряд,р= 2> 1,nсм. п.60.4),то по признаку сравнения рядпри х Е(62.2)сходитсях ЕIR. Следовательно,IR = (-00; +(0).исходный ряд абсолютно сходится при всех~Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях осо•бую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.
е. так называемый стеnен:нои ряд:00L аnхn= ао + alx + а2х + ... + аnх + .. .2n(62.3)n=о~Действительные (или комплексные) числа ао, al, а2,· .. , а n , ... называются 1Соэффuцuенmамu ряда (62.3), х Е IR - действительная переменная.Ряд(62.3)расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням (х-хо), т. е. ряд вида00Lаn(х - Хо)"= ао + аl (х -хо)+ ... + аn(х -хо)n+ ... ,(62.4),,=0где хо-Ряднекоторое постоянное число.(62.4)легко приводится к виду(62.3),если положить х-хо= z.Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида§ 63.(62.3).СХОДИМОСТЬCTErlEHHbIXРЯДОВВыясним вопрос о сходимости степенного рядаОбласть сходимости степенного рядамере одну точку: х63.1.(62.3)(62.3).содержит по крайней= О (ряд (62.4) сходится в точке х = хо).Теорема Н. АбеляОб области сходимости степенного ряда можно судить, исходя изследующей теоремы.Теоремах=хо=f.63.1(Абель).Если степенной ряд (62.3) сходится приО; то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствуIxl < Ixo 1·400I:о По условию рядп=оапх о сходится.
Следовательно, по необходимому признаку сходимости= О.апхоlimп-->ооОтсюда следует, что величина1'11 >апх о ограничена, т. е. найдется такое числоО, что для всехn= 0,1,2, ...Пусть Ixl < Ixol, тогда величина q = I::0 I < 1 и, следовательно,выполняется неравенствоlanxnl=lanxol :::;1\1,nlanxol·I:; 1:::; М· qП,т. е. модуль каждого члена рядащего члена сходящегося(q < 1)(62.3)n = 0,1,2, ..
. ,не пр~восходит соответствуюряда геометрической прогрессии. ПоIxl < Ixolэтому по признаку сравнения приряд(62.3)абсолютно схо-•дящиЙся.Сл~ствие63.1.Если ряд (62.3) расходится при хходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству= xl,то он расIxl > IXll·о Действительно, если допустить сходимость ряда в точке Х2, дЛЯкоторойкоторыхвию.IX21 > IXll, то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, дляIxl < IX21, и, в частности, в точке Xl, что противоречит усло'63.2.Интервал И раАИУС СХОАИМОСТИ степенного РЯАаИз теоремы Абеля следует, что если хости степенного ряда, то интервалсходимости данного ряда;ряд•(62.3)при=j:.О есть точка сходимо(-Ixo 1; Ixo 1)весь состоит из точеквсех значениях хвне этого интерваларасходится.-RRряд сходитсяQ):.)X((IX(I)X.):I:I:((.:.))!(.):(((((r:.)))):(((((I:.:Q-Ixalряд расходитсяРис.§Интервал(-Ixol; Ixol)Ixalоряд расходится259и называют интерваломстепенного ряда.
ПоложивIxo 1= Н,сходимостиинтервал сходимости можнозаписать в виде (- Н; Н). Число R называют радиусом сходимостистепенного ряда, т. е.которыхIxl <R,рядрасходится (см. рис.R >О(62.3)259).--это такое число, что при всех х, дляабсолютно сходится, а приIxl >Rряд(62.3) сходится лишь в одной точке ха = о,= о. Если же ряд (62.3) сходится при всех значенияхХ Е IR (т.
е. во всех точках числовой оси), то считаем, что R = 00.Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R иВ частности, когда рядто считаем, чтопри х= - R)Rсходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда(62.3)можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членовданного степенного рядаlaal + lalxl + la2x21 + ... + lanxnl + ...и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует пределI IПо признаку Даламбера ряд сходится, если Ixl· n-+ооlim а n ±1 < 1, т.
е.аnряд сходится при тех значениях х, для которых<хI!limn~OOn11т. I-а_ .II1ап+l I = n-+ооа n ±1 'аnряд, составленный из модулей членов ряда(62.3),расходится при техзначениях х, для которых Ixl > lim I~I. Таким образом, для ряn-+оо а n ±1да(62.3)радиус абсолютной сходимостиR=n.. I-аnI11тn-+ооАналогично,а(63.1 )±1воспользовавшись радикальнымпризнакомКоши,можно установить, чтоR=1limn-+ооЗа.ме'Ч-ан:u.я.1. Если lim Iа n ±1n-+ооаn(63.2)----==y/!anl·I = о, то можно убедиться, что рядсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случаеnlimn-+ооla ±11 =2.аnто R=-ха!< R;R =00. Еслио.Интервал сходимости степенного рядавенства !х3.00,(62.3) абимеет вид (ха- R; Ха(62.4)находят из нера+ R).Если степенной ряд содержит не все степени х, т.
е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы4(63.1) и (63.2)), а непосредственноприменяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного измодулей членов данного ряда.Прu.мер 63.1. Найти область сходимости рядаQРешение: Воспользуемся формулойR= n""ООlim..L_n_!-р"'lII \n+l,)I=lim (nn ....
ооn002: ~.n=О n.(63.1):+ 1)! =n!lim (nn .... оо+ 1) = 00.Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси .•Прu.мерХQНайти область сходимости ряда63.2.Зх--3З2n1хх + -х - _.+... + (_l)n+l __ + ...7572n - 1Решение: Заданный ряд неполныЙ. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:Iunl =Ix2n - 1 12n - 1 'IUn+l1 =Ix2n + 1 12n + 1 'I и n +l I = lim Ix + 1· (2n2n- 1)1 = Ix 2 1· lim 2n - 1иnn .... оо (2n + 1) ·lx - 1n .... оо 2n + 12n 1limn .... ооРяд абсолютно сходится, если х 2< 1 или-1< х < 1.=х2 .Исследуемповедение ряда на концах интервала сходимости.! - g+ t -... ,который сходится поПри х = 1 имеем ряд +1 - ! + ~ - t + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
