Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Такой ряд суммы не имеет.Рассмотрим примеры.1. Ряд 2+ 17 - 3 ~ + 196 + . .. нельзя считать заданным, а ряд2 + 5 + 8 + ... - можно: его общий член задается формулой и n = 3n - 1.2. Ряд О + О + О + ... + о + ... сходится, его сумма равна О.3. Ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... расходится, Sn = n -+ 00 при n -+ 00.4. Ряд 1-1 +1-1 + 1-1 + ...
расходится, так как последовательностьчастичных суммпредела.1, 0,1, 0,1, О, ... (SI = 1, S2= О, SЗ= 1, ... ) не имеет005. Ряд n~1 n(n1+ 1)сходится. Действительно,11SI = 1.2 = 1 - 2"'~S2 = 1 2+ 2~3= (1 -~) + (~ - ~)= 1-~,................... ,1Sn111= ~ + 2.3 + 3·4 + ... + n(n + 1)(1 - ~) + (~ - ~) + (~ - ~) + ... + (~ -=n: 1) = 1- n:l'·Следовательно,lim Sn = lim (1 - _1_) = 1,n--toon +1его сумма равна 1.n--tooт. е. ряд сходится,Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.Сво11сmво1.Если рядсходится и его сумма равна(59.1)S, то ряд00L сиn = сиl + си2 + ... + сиn + ... ,(59.2)n=!где с-произвольное число, также сходится и его сумма равнаЕсли же ряд(59.1)расходится и с1- о,то и ряд(59.2)cS.расходится.О Обозначим n-ю частичную сумму ряда (59.2)через s~u). ТогдаS~u)= си} + си2 + ... + сиn = с(иl + и2 + ...
+ и n ) =С· Sn.Следовательно,lim S~u) = lim cSn = С· lim Sn = С· S,n-400n---700n-400т. е. ряд(59.2)сходится и имеет суммуПокажем теперь, что если рядряд(59.2) расходится. Допустимсумму SI' ТогдаSI = lim S~u)n---+ооcS.(59.1)расходится, спротивное: ряд(59.2)1-о, то исходится и имеет== lim cSn = с lim Sn.n---700n---+ооОтсюда получаем:lim S n -_ SIn--tooт. е. рядряда(59.1)(59.1).,Ссходится, что противоречит условию о расходимости•Сво11сmво2.Если сходится ряди сходится ряд(59.1)00(59.3)а их суммы равныи5152соответственно, то сходятся и ряды(59.4)причем сумма каждого равна соответственноО Обозначим n-е частичные суммы рядов51 ± 52.(59.1), (59.3)и(59.4)черезs~u), S~v) и Sn соответственно. Тогдаlim S = limn~OOn--+<Х>n(5(u)nт. е. каждый из рядов± S(v» = limn--toon(59.4)5(u)n± lim S(v) =n--+сюnсходится, и сумма его равна51± S2S1 ± 52ветственно.~,соот•Из свойства2вытекает, что сумма (разность) сходящегося и рас-ходящегося рядов есть расходящийся ряд.Е справедливости этого утверждения можно убедиться методом отпротивного.Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов можетбыть как сходящимся, так и расходящимся рядом.Сво11сmво3.Если к ряду(59.1)прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд(59.1)сходятся или расходятся одновременно.О Обозначим через5сумму отброшеI-lНЫХ членов, через k -наибольший из номеров этих членов.
Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (59.1), будем считать, что' на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при5~Sn -= 5, где S~ -n > kбудет выполняться равенствоэто n-я частичная сумма ряда, полученногоиз ряда(59.1) путем отбрасывания конечного числаlim Sn = 5 + lim 5~. Отсюда следует, что пределыn--+оочленов. Поэтомув левой и правойn--+оочастях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд(59.1)сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечногочисла членов.•00Ряди n+1 +и n +2+ ...
=LUk(59.5)k=n+1называется n-м осmаmх:о.м. рядаотбрасываниемn(59.1).Он получается из рядапервых его членов. Ряд(59.1)(59.1)получается из остаткадобавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству З,ряд(59.1)~Из свойстваи его остаток=остаток Т nn -t 00,т. е.limn-+(х)(59.5)одновременно сходятся или расходятся.также следует, что если ряд3S - SnТn=+ и n +2 + ...и n +l(59 .1)сходится, то егостремится к нулю приО.=РЯД геометрическоiii прогрессии59.2.Исследуем сходимость ряда+ aq + aq2 + ... + aqn-l + .
. .а(аf.О),(59.6)который называется рядо.м гео.меmрu-ч,еС1i:ОU nрогрессии. Ряд(59.6)часто используется при исследовании рядов на сходимость .Как известно, сумма первыхформуле Sn =f.a(i - qn) , q-q.11т Snn-+(х)1.Найдем предел этой суммы:а(1.- qn)1- q= n-+(х)11тчленов прогрессии находится поnа.qn=- -а n-+(х)11т -- о1- q1- qРассмотрим следующие случаи в зависимости от величины1. Если Iql < 1, то qn -t О при n -+ 00. Поэтому lim Snn-+(Х)q:= --а1q ,ряд (59.б) сходится, его сумма равна - а1 ;-q2.> 1,Если Iqlто qn-+00 приn -+00. Поэтомуlim Snn-+(х)= 00,ряд (59.б) расходится;З.аЕсли1,Iqlто+ а + а + ... + а + ...
, длярасходится; приqв этом случае Snтельно,приqнего Sn=1ряд(59.6)принимаетn-+(х)= -1 ряд (59. б) принимает вид а - а + а - а + ... = О при четном n и Sn = а при нечетном n. Следоваliill Sn не существует, ряд (59.б) расходится.n-+оо~вид= n· а и lim Sn = 00, т. е. ряд (59.6)Итак, ряд геометрической прогрессии сходится приходится приIql )Iql <1и рас-1..Прu,м,ер 59.1. П оказать,что ряд23+ 22 + 2 + 2"1 + ... + 2n1- 3 + ...сходится.QРешение: Данный ряд можно переписать так:32 .
1+ 2з1з1'"2 + 2з1. 22 + ... + 2 . 2n + ...Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии са= 23рядов .и q=~< 1. Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых•59.3. Необходимый признак СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГОряда. Гармонический рядНахождение n-й частичной суммыSnИ ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей .
Поэтому длявыяснения сходимости ряда устанавливают специальные nрuзнах;u сходимости . Первым из них, как правило, является необходимый признакс ходимо с ти.ТеоремаЕсли ряд (59 .1) сходится, то его общий член и n стре59.1.мится к нулю, т. е .limn-+ ооQПусть рядиn= О.сходится и(59.1)lim Sn = S .Тогда иlim Sn-l = Sn--i' ОО(приn~ 00 и(n - 1)n-+ оо~ 00). Учитывая , что и n =Sn - Sn-lприn > 1,пол у чаем :limn --+ 00иn= lim (Sn - Sn-l) = lim Sn n -+ ос>СЛЕ!Аствиеlimn-+ ооQиn:j;59.1n-t еюlim Sn-l = S - S =•(Аостаточное условие раСХОАИМОСТИ РЯАа). ЕслиО или этот предел не существует, то ряд расходится.Действительно, если бы ряд сходился, то (по теоре ме)limn-+ ооНо это противоречит условию.
Значит, ряд расходится.Прu.мерИсследовать сходимость ряда59.2.f:n=lQО.11-1> соРешение: Рядf:3:';52иn= О.•3n -52 .n+расходится, т. к.3 - 2lim и n = lim _n_ _ = 3:j; О,n-+ооn-+оо n + 5n=lт. е . выполня е тся достаточное условие расходимости ряда.Прu.мер59.3.•Исследовать сходимость ряда(1 + ~)l + (1 + ~)2 + .. . + (1 + ~)n + .. .QРешение : Данный ряд расходится , т. к.= е :j; О.limn-+ ооиnlimn-+ оо(1 + l)n=n•Теоремадает необходимое условие сходимости ряда, но не59.1достаточное: из условияlimn--+оо=иnО не следует, что ряд сходится.
Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которыхlimn--+ооиn=о.В качестве примера рассмотрим так называемый гар.мо'Нu'Чесх:ui1.ряд11111n234n002:-=1+-+-+-+ . . . +-+ . ..n=lОчевидно , чтоlimn--+ооиn(59.7)= О. Однако ряд (59.7) расходится. Покажемэто.l)n= е. Отсюда следует, чтоnпри любом n Е N имеет место неравенство (1 + ~) < е .
.zIогарифмируяО Как известно (см. (17.14)), lim (1 +n--+ооnэто неравенство по основанию е, получим:т. е.~ > ln n + 1,nn1- > ln{n + 1) - ln n.nПодставляя в полученное неравенство поочередноn= 1,2, ... , n -1, n,получим:1> ln2,12> lпЗ -ln 2'1- > ln4 -ln33'.............. . . .')1n- > 'П (n + 1) - ln n .Сложив почленно эти неравенства, получимкуНmln(nn--+ооряд(59.7)+ 1) =00, получаемlim Snn--+ооSn > ln(n + 1).=расходится.•в качестве второго примера можно взять рядЗдесь lim и nn-+-оо=limn---+ооПосколь00, т. е. гармоническийhn = О. Однако этот ряд расходится.V4о Действительно,Вn111111vn + vn + ...
vn1=1vп .n = Vп,= J1 + ,j2 + J3 + ... vn >т. е. Вn§ 60.> .,;n.Следовательно, Вn ~ 00 приn~ 00, ряд расходится.•ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИЗНАКОПОСТОЯННЫХ РЯДОВНеобходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость ирасходимостьрядавомногихслучаяхможно установить спомощьютак называемых досmаmо'Ч,'Н:ых nрuзн,а-к;ов.~Рассмотрим некоторые из них для З'На?СОnО.IUr.нсumелъ'НЪtх рядов, т.
е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательныйряд переходит в знакоположительный путем умножения его на(-1),что, как известно, не влияет на сходимость ряда).60.1.Признаки сравнения РЯАОВСходимость или расходимость знакоположительного ряда частоустанавливается путем сравнения его с другим «<эталонным») рядом,о котором известно, сходится он или нет.
В основе такого сравнениялежат следующие теоремы.Теорема60.1.Пусть даны два знакоположительных ряда00(60.1)n=lи00(60.2)n=lЕсли для всехnвыполняется неравенство(60.3)то из сходимости рядаходимости ряда(60.1)(60.2)следует сходимость рядаследует расходимость рядао Обозначим n-е частичные суммы рядов(60.1),(60.2).(60.1) и (60.2)но через B~и) и s~v). Из неравенства (60.3) следует, чтов(и) ~ S(v)n-.. .;: :n.Iиз рассоответствен(60.4)Пусть ряд (60.2) сходится и его сумма равна 52. Тогда lim 5~v)П-НХ)= 52 'Члены ряда (60.2) положительны, поэтому 5~V) < 52 и, следовательно,с учетом неравенства (60.4), 5~u) ~ 52' Таким образом, последовательность 5i U ), 5~U), 5~U) , . .. монотонно возрастает (и n > О) и ограничена сверху числом '52. По признаку существования предела (см.
теорема 15.3) последовательность {5~U)} имеет предел lim 5~n) = 51, т. е.ряд (60.1) сходится.Пусть теперь ряд (60.1) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем lim 5~U) = 00. Тогда, с учетом нерап-400П-400венства (60.4), получаем lim 5~V)п-400За.ме'Ч,аnие. Теоремавенство60.1ряд (60.2) расходится. •справедлива и в том случае, когда неравыполняется не для всех членов рядов(60.3)начиная с некоторого номерарядов (см.
п.= 00, т. е.N.(60.1) и (60.2), а3 числовыхЭто вытекает из свойства59.1).Теорема60.2 (пр~ельный признак сравнения). Пусть даны двазнакоположительных ряда (60 .1) и (60 .2) . Если существует конечный.отличный от О, предел lim ~ = А (О < А < (0). то ряды (60.1)n-400И(60.2)Vn,сходятся или расходятся одновременно.о По определению предела последовательности (см. п.n,15.2)для всех> О выполняетсякроме, возможно , конечного числа их, для любого €неравенство I~ - А I < Е, или(А - Е) . Vn,Если ряд(60.1)< и" <(А+ е)(60.5). V".сходится, то из левого неравенства(60.5)и тео-00ремы60.1вытекает, что рядL(Атакже сходится. Но тогда,- €)v nп=lсогласно свойствуЕсли рядремы60.1,1(60.1)свойствачисловых рядов (см. п.59.1),рядрасходится, то из правого неравенства1вытекает, что и рядАналогично, если ряд(60.2) сходится(60.1).(60.2)сходится.(60.2)(60.5),(расходится), то сходящимся(расходящимся) будет и рядПрu.мер 60.1.
Исследовать на сходимость ряд44теорасходится.•00Lп=13 12'"+QРешение: Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии~1~2""~1который сходится(q=1"2 < )1 .1Имеем ~+тельно, данный ряд сходится.1с< 2n' ледова•еюПример 60.2. Исследовать сходимость рядаз~.Lуnn=1Q Решение: Здесь и nVN.
Возьмем ряд с общим членом v=n~,=vn ~ ~. Следовакоторый расходится (гармонический ряд). Имеемтельно, данный ряд расходится.•00LПример 60.3. Исследовать сходимость рядаtgn=lQРешение: Применимtglimn~ oo.2L-F= К5nпредельныйпризнак571" .nсравнения.ТаккакО (см. пример 17.7) , то по теореме БО . 2 исходныйf.•ряд расходится, как сравнимый с гармонич еским рядом.60.2. Признак ДаламбераВ отличие от признаков сравнения, где все завис ит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, при з нак Даламбера(1717- 1783,французский математик) позволяет ч асто решить вопрос осходимости ряда,проделав лишьнекоторы е оп е р ациинад самимрядом .Теорема60.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
