Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Точки А и В можно соединить различными линиями (нарис.242этоL j , L2И L з ). По каждой из этих кривых интегралf1=Р(х; У) dx + Q(x; У) dyАВимеет, вообще говоря, свое значение.Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы,то говорят, что интеграл1этом случае для интегралаточкуA(Xj; Yl)не зависит от вида пути интегрирования. В1 достаточноотметить лишь его начальнуюи его конечную точку В(Х2; У2) пути. Записывают:(Х2;У2)1=fР(х; У) dx + Q(x; У) dy.(56.11)(Xl;Yl)Каковы же условия, при которых криволинейный интегралне зависел от вида пути интегрирования?IIродаТеорема56.3.Для того чтобы криволинейный интегралJ1=Pdx+ QdyLне зависел от пути интегрирования в односвязной областирой функции Р(х; у),Q(x; у)D,в котонепрерывны вместе со своими частнымипроизводными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этойобласти выполнялось условиедРaQдудх'о Докажем достаточность условиязамкнутый контур АmВnА (илиL)(56.12)Рассмотрим произвольный(56.12).в областиDнего имеет место формула Остроградского-Гринавия(56.12)(см.
рис.(56.8).243).ДляВ силу услоимеем:f Р dx + Q dy=О,илиfР dx + Q dy=О.АтВnАLу читывая свойства криволинейного интеграла, имеем:f Pdx + Qdy =J Р dx + Q dy + J Р dx + Q dy =J Р dx + Q dy - J Р dx + Q dy = О,АтВnААтВРис.ВnААтВ243АnВт. е.JР dx + Q dy =АтВJРdx+ Q dy.АnВПолученное равенство означает, что криволинейный интеграл независит от пути интегрирования.~В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняетсяусловие ~~лю:•=~, то интеграл по замкнутому контуру равен нуf Pdx + Qdy = О.LВерно и обратное утверждение.Следствие56.1.Если выполнено условиеное выражение Р(х;+ Q(x; y)dyy)dxалом некоторой функции иP(x;y)dxТогда (см.= u(х; у)(см.+ Q(x;y)dy =т.
е.то подынтеграль(44.5)),т. е.dU(x;y).(56.13)(56.11)):(Х2;У2)(Х2;У2)J1=(56.12),является полным дифференциР (х; у) dx + Q (х; у) dyJ=dU(x;y) =(Х2;У2)JР(х; у) dx + Q(x; у) dy= U(Х2; У2) -(56.14)U(Xl; Yl)'(х,;у,)Формула(56.14)называетсяобобщеннойформулойНьютонаЛейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.Следствие56.2.Если подынтегральное выражениеполный дифференциал и путь интегрированияf Pdx + Qdy=LPdx+ Qdyестьзамкнутый, тоО.L3а.ме'Чанv.я.1.Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пределом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (например,2.t,~, и т.
д.).Функцию И= U(х; у), удовлетворяющую условию (56.12), можнонайти, используя формулухU(х; у)=J Р(х; Уа)УdxХА+J Q(x; о d~ + С.В качестве начальной точки (ха; Уа) обычно берут точку (О; О)координат (см. пример3.(56.15)Уа-начало56.5).Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интегралаJР dx + Q dy + R dzL416по пространственной кривой. Условиемулыи(56.14)(56.15)дРдQ= дх'ду(56.12),равенство(56.13),форимеют соответственно вид:PdxдQдRдRдРдzду'дхдz'+ Qdy + Rdz= dU(x;y;z),(X2 ;Y2 ;Z2 )J+ Q dy + Rdz = U(Х2; У2; Z2) - U(Х1; У1; Z1),Pdx(XI ;Yl ;Zl)Х= J P(X ;yo; zo)dX+U(X jY jz)ХОzУJQ(x;~jZo)~+ JR(x;Yj()d(+CZoУО(см.
пример 73 .1) .(1 ;1 )J у dx + х dy.Прv.м,ер 56·4· Найти 1 =(0 ;0)Q Решение: Здесь Р = у, Q = х, ~~ = ~~ =Согласно вышепри1.веденн о й тео р е ме, интеграл не зависит от пути интегрирования . В кач еств е пути инте грирования можно взять отрезок прямой упараболы уydx+ xdy=х2И т. д. или воспользоваться формулой= d(xy),то(1; 1)1J d(x· у) = xyl=(1'1)'(0;0)•= 1 - О = 1.(0;0)Прv.м,ер= х , дугу(56.14). Так как56.5.Убедиться, что выражение е-Уdx -(2у+ хе- У ) dyпредставляет собой полный дифференциал некоторой функции U(х; у)и н айти ее.QРешение: Для того чтобы указанное выражение являл ось полнымдифференциалом, необходимо выполнение условийд-(е-У)ду-= -е-У;д-(-(2у+хе- У ))дхусловия выполнены, следовательно,e-Ydx -(56.12):= -е- У(2у +xe-Y)dy =dU(x; у) .А так как полный дифференциал имеет виддdU(x; у) = дх U(х ; у) dx(см. п.44.3) ,то верны соотношения:х U(х; у) = е-У;14д+ ду U(х ; у) dy:1/ U(х; у) = -(2у +хе- У ).Конспект лекций по высшей математике.
Полный курс417(56.16)Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этомвместо постоянной интегрирования следует поставить ер(у)-неизвестную функцию, зависящую только от у:Jе-У dxU(х; у) == хе- У+ ер(у).Подставляя полученное выражение во второе из уравнений(56.16),найдем ер(у):дду (хе- У+ ер(у))= -хе- У+ ер/(у)= -(2уер/(у) = -2у, 'ер(у) = _у2= хе- У -Таким образом, U(х; у)+ хе- У );+ с.Отметим, что функцию И проще найти, используя формулухU(х; у)=•+ С.у2(56.15):УJе-О dx + J(-2~ + хе-{) d~ + С =ОО+ хе- У= Х - у2- х+С =+ С.хе- У - у256.5. Некоторые приложения криволинейногоинтеграла 11 родаПлощадь плоской фигурыПлощадьSплоской фигуры, расположенной в плоскости Оху иограниченной замкнутой линиейL,можно найти по формулеs = ~ f х dy - у dx,(56.17)Lпри этом криваяLобходится против часовой стрелки.а Действительно, положив в формуле Остроградского-ГринаР(х; у)= О, Q(x; у) = х,(56.8)получим:JJ(1 -О) dx dy= jDилио .
dx + х dy,Ls=f xdy.(56.18)LАналогично, полагая Р=-у,Q= О,найдем еще одну формулудля вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:S=-jydx.L(56.19)Сложив почленно равенства1получим:5= 2"(56.18)ии разделив на два,(56.19)f xdy-ydx.•LФормула(56.17)используется чаще, чем формулы(56.18)и(56.19) .Работа переменнои силыПеременная сила Р(Р(х; у); Q(x; у» на криволинейном участке АВпроизводит работу, которая находится по формулеА=J Р dx + Q dy.(56.20)АВо Действительно, пусть материальная точка (х; у) под действием переменной силыFперемещается в плоскости Оху по некоторой кривойАВ (от точки А до точки В).РазобьемМОкривуюАВточками= А , М 1 ,М2 , .. .
,Мn = В на n«элеУментарных» дуг М::-;М j длины .6.l j иУ;в каждой из них возьмем произвольнуюУ;точкурис.Ci(Xi; Y;) , i1;2; . . . ;n (см.244). Заменим каждую дугуМ::-;М; вектором Mi - 1 М;=(.6.Хi; .6.Yi) ,а силуFYi-lАбудем считать постоянной навекторе перемещения A1;_1Mi и равнойоХНзаданной силе в точке С; дуги М::-;Мi:Рис.Р; = (P(Xi; Yi); Q(Xj ;Yi»).Тогда скалярное произведениеХ;Fi . M i -1МiХ;Х244можно рассматриватькак приближенное зн·ачение работы Р; вдоль дуги М::-;Мi:А; ~ Р; . M i - 1 M i = P(Xi; Yi) . .6.х; + Q(Xi; jj;) . .6.Yi.Приближенное значение работы А силывеличинуFна всей кривой составитnnn;=1;=1; =1= 2: А; ~ L:P(X;;Yi) ·.6.х; + LQ(X;;Yi) · .6.Yi·АЗа точное значение работы А примем предел полученной суммы прил= 1::;;iтах .6.l;::;; nА=-+О (тогда, очевидно, .6.х;-+О И .6.у;nlim ~ P(Xi; У;) .
.6.х;Л-->О L.J+ Q(Xj; Yi)· .6.у; =(n-->оо) i=1-+О) :J Р(х ; у) dx + Q(x; у) dy.•АВ3а.ме'Ч.ан.uе . В случае пространственной кривой АВ имеем:А=J Р(х; у;АВz) dx+ Q(x; у; z) dy + R(x; у; z) dz.Прu.мерх56.6.Найти площадь фигуры, ограциченной астроидой= а . cos 3 t, У = а . sin 3 t.о Решение: При обхождении астроиды в положительном направлениипараметр t изменяется от О до 21Г (см. рис.Применяя формулы5=~2и(56.17)2"/ (а cos 3 t . За sin 2 t cos tо= ~ .
За 22(56.4),245).получим:+ а sin 3 t . За cos2 t sin t) dt =/2" sin22t dt = За /2" 1 24о8cos 4t dt= За 1Г.22о8•zуаах0;---------------ухРис.у=,Рис.245Прu..мер 56.7. Найти работу силых 3 от точки 0(0; О) дО точки В(l; 1).о Решение: По формуле(56.20)F=2464х 6 {+ ХУlнаходим:1Авдоль кривой1= / 4х 6 dx + ху dy = / (4х 6 + х· х 3 . зх 2 ) dx = / 7х 6 dx =LО1.•О§ 57. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА57.1. Основные понятияОбобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.Пусть в точках некоторой поверхностистваOxyzверхность(см.
рис .5,с площадьюопределена непрерывная функция5на246) ,nчастей5i ,-а ди аметрыf(x;у;z).5,пространРазобьем поплощади которых обозначим черезчерез d i ,605ii = 1; n . В каждой части 5 ;возьмем произвольную точкуMi(Xi; Yi; Zi)и составим суммуnL J(Xi; Yi; Zi)Д5i .(57.1)i=lОна называется uнтеграл'Ь1iOU для функциисти§5.= 1:::;i:::;nтах d iЕсли при лJ(x; у; z)--7 О интегральная суммапо nоверхно(57.1) имеет пре-дел, то он называется поверхностным интегралом1рода отфункции J(x;y;z) по поверхности 5 и обозначается / / J(x;y;z)ds.5Таким образом, по определению,1!J(x; у; z) ds =Л--;ОLJ(Xi; Yi; Zi)Д5i .(57.2)(n--;оо) i=15~nlimОтметим, что «если поверхность5гладкая (в каждой ее точке су-ществует касательная плоскость, которая непрерывно меняется сперемещением точки по поверхности), а функцияJ(x; у; z)непрерывнана этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теоремасуществования) .1 рода обладает следующими свойствами:Поверхностный интеграл/! J(x;y;z)ds, где с число.!/ (Л (х; у; z) ± J2(X; у; z)) ds = !/ J1 (х; у; ds ± /! J2(X; у; z) ds.1.
/ / с· J(x;y;z)ds =2.с·-~55z)5 5 53.= 51Если поверхность5U52, а пересечение 51разбить на частии5251и52такие, что5 =состоит лишь из границы, их разделяющей, то4./ / J(x;y;z)ds=/! J(x;y;z)ds+!! J(x;y;z)ds.55152Если на поверхности~ J2(X;y;Z), то!!5 выполнено неравенство J1 (х; у; z)Л(х;у;z)ds:::;!! J2(Xiy;z)ds.55!! ds = где площадь пове~хности6·1!! J(x; у; z) dsl :::; !! IJ(x; у; z)1 ds.5,5.5 -5555.~7.Еслиf(x; У; Z)непрерывна на поверхности В, то на этой поверхности существует точка (Х с ; Ус;zc)такая, чтоJJ f(x; У; Z) ds = f(x c;Ус; zc) . S5(теорема о среднем значении).57.2.
Вычисление поверхностного интеграла I lJoAaВычисление поверхностного интеграланию двойного интеграла по областиD -1 родасводится к вычислепроекции поверхностинаSплоскость Оху.Разобьем поверхностьпроекциюнаnSiчастейна частиSSi, i = 1; n. Обозначим через а;D окажется разбитойai произвольную точку Fi(Xi; Yi) ина плоскость Оху. При этом областьal, а2, ...
, а n . Возьмем ввосстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверхностью В. Получим точкуточкеMiMi(Xi; Yi; Zi)на поверхностиSi.Проведем вT i , которая247). Площадиf::1Si , f::1Ti и f::1ai сооткасательную плоскость и рассмотрим ту ее частьна плоскость Оху проектируется в областьэлементарных частейSi, T iai(см. рис.и аl обозначим какветственно. Будем приближенно считать, что(57.3)Обозначив через "/i 6стрый угол между осьюOzи нормальюniк поверхности в точкелучаем:6.Ti · COS"/i(областьaiпо(57.4)есть проекция Т; на плоскость Оху).Если поверхность= z(x; у),= f::1aiMi ,Sзадана уравнением Z=то, как известно (см.касательной плоскости вZ~(Xi; Yi)' (Х - Xi)(45.2)), уравнениеточке M i есть+ Z~(Xi; Yi)' (У - Yi) - (Z - Zi)где Z~(Xi; Yi), Z~(Xi; Yi), -1 -= О,координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол "/iесть уГО'л между векторамиРис.247k=ni = (-Z~(Хi; Yi); -Z~(Хi; Yi); 1).Следовательно,1(О; О; 1) иРавенствопринимает вид(57.4)60Ti =)1 + Z~ 2(Xi; Yi) + Z~ 2(Xi; Yi)600"i.В правой части формулы(57.2) заменим 60Si (учитывая (57.3)) на по6oTi , а Zi заменим на Z(Xi; Yi), Поэтому, пестремлении к нулю наибольшего диаметра Si (алученное выражение дляреходя к пределу приследовательно, и/ / f(x;O"i),У; z) ds =Sполучаем формулу/ / f(x;У; z(x; У)) .
)1 + z~ 2 + z~ 2 dx dy,(57.5)Dвыражающую интеграл по поверхностипроекцииОтметим, что если поверхность=У(Х; z)Sчерез двойной интеграл пона плоскость Оху.Sили х = х(у;/ / f(x; У; z) dsSзадана уравнением вида Уто аналогично получим:z),= // f(x; У(Х; z); z) . )1 + y~ 2 + y~ 2 dx dzSD1и/ / f(x;У; z) ds = // f(x(y; z); У; z) . )1 + x~2 + x'z 2 dy dz,S(57.6)D2гдеD1иOxzиOyzD2-проекции поверхностиSна координатные плоскостисоответственно.Пример 57.1. Вычислить 1 =(х - 3у + 2z) ds, где S - часть/ /Sплоскости4x+3y+2z-4= О, расположенной в 1 октанте (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
