Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.Пусть в замкнутой области= f(x; у; z).рывная функцияuнаn частей vi (i= г,n)куMi(Xi; Yi; Zi),функциистиУ;f(x;Vзадана непре­сеткой поверхностейVи выбрав в каждой из них произвольную точnсоставим интегральную суммуZ)OxyzпространстваРазбив областьпо областиV(здесь Д. vi-2:f(xi; Yi; Zi)!::. viдляi=1объем элементарной обла-Vi).Если предел интегральной суммы существует при неограничен­ном увеличении числаviобласть»нулю, т. е.unтаким образом, что каждая «элементарнаястягивается в точку (т. е. диаметр областиdi ---+= f(x; У; z)по области111d; стремится кО), то его называют mpoil:/i'blM unmегралом от функцииVи обозначаютf(x;y;z)· dxdydz111(илиf(x;у; z) dv).vvТаким образом, по определению, имеем:111 f(x;у; z) .

dx dy dz=vdvnL f(xi; Yi; Zi)!::. vi =(maxd;--40) ;=1=Здесьn1~+moo= dx dy dz -Теорема54.1111f (х; у;v(54.1)z) dv.элемент объема.(существования). Если функцияu= f(x; у; z)непре­рывна в ограниченной замкнутой областиV,суммы (54.1) приО существует и не зависитn ---+00 иmaxdi ---+ни от способа разбиения областиMi(Xi; Yi; zi)Vто предел интегральнойна части, ни от выбора точекв них.Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойнойинтеграл:1. 111c'f(x;y;z)dv=c'111 f(x;y;z)dv,c-const.vу111(л(х;у;z) ± f2(X;y;z))dv2.=v=111 Л(х;у;z)dv± 111 f2(X;y;z))dv.111 f(x; У; z) dv = 111 f(x; У; z) dv + 111 f(x; У; z) dv, если Vvv3.v;:::: V1 U V2 ,4.~а пересечениеV1иV2состоит из границы, их разделяющей.111 f(x; У; z) dv ? О, если в областиvЕсли в области интегрирования111 f(x;v=V2f(x;У; z) dv ?У;z) ?V функция f(x; У; z) ? о.<р(Х; У;z),то и111<р(х; У; z) dv.v5.111 dv = V, так как в случае f(x;y;z) = 1 любая интегральнаяvnсумма имеет вид L: 6.

vi = V и численно равна объему тела.i=l6.Оценка тройного интеграла:m· V ::;;где т и Л1цииf(x;7.У;111f(x; У;v- соответственно наименьшееz) в области V.и наибольшее значения функ­Теорема о среднем значении: если функцияна в замкнутой областима(ха; Уа;za),V,V -f(x;У;z)непрерыв­то в этой области существует такая точкачто111 f(x; У; z) dvvгдеz) dv ::;; М . V,= f(xa; Уа; Za) . V,объем тела.54.2. Вычисление тройного интеграла в декартовыхкоординатахв декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводит­ся к последовательному вычислению трех определенных интегралов.Пусть областью интегрированияV является тело, ограниченноеz = Zl (х; у), сверху - поверхностью z = Z2(X; у),Z2(X;y) (Zl(X;Y)::;; Z2(X;Y)) - непрерывные функции вснизу поверхностьюпричемZl(X;Y)изамкнутой областиD,являющейся проекцией тела на плоскость Оху(см.

рис.225). Будем считать область V - nравuл.'Ь'Н.о11 в 'Н.аnравл.е­Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу'Н.ии осиобласти не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной вобластиVфункции лх; у;z)имеет место формулаZ2(X;Y)!!! f(x; у; z) dv = !! ( !VDf(x;у; z) dz) ds,(54.2)z,(x;y)сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного ин­теграла от однократного (доказательство формулыне приводим).(54.2)При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменнойпри постоянных х и у в пределах измененияграла является аппликата точки Аной осиOzВ -точкив областьV,т.

е.z =-z.zНижней границей инте­точки входа прямой, параллель­Zl (х; у); верхней границейточки выхода прямой из областиV,т. е. z-аппликата= z2 (Х; у).Ре­зультат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных:х и у.у:::::::::::::::::Р:::::::::::::::':оРис.Если областьИ УDаЬхРис.225226ограничена линиями х = а, х = Ь (а < Ь), у = lPl (х)непрерывные на отрезке [а, Ь] функции,= lP2 (х), где lP! (х) и lP2 (х) -причемlPl (х) :::; lP2(X) (см.

рис. 226), то, переходя от двойного интегралаD к повторному, получаем формулупо областиь!!! f(x;y;z)dxdydz ! dx=VаZ2(X;Y)!f(x; у; z) dz,(54.3)z,(x;y)по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.Заме'Ч,анu.я.Если область1.Vболее сложная, чем рассмотренная, то ее следуетразбить на конечное число таких областей (правильных), к которымможно применить формулу(54.3).2.(54.3),условиях,Порядокприинтегрированияопределенныхвформулеможетбыть иным.ПримерВычислить54.1.///(х + z) dx dy dz,vгдеzQуограничена плоскостями хV= 1, х + у+ z = 2 (рис.=О, УО,227).Рис.Решение: Областьв направлении осиV является прав ильнойOz (как, заметим, и в на-227правлении осей Ох и Оу).

Ее проекция на плоскость Оху является пра­вильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле(54.3),имеем:\/о=о1 l/-X (. + 2z2) 1 2 - Х - У =/dxdy·О=1/dxоI/-X( 2х -х 2 - ху - х1(2dx ху - х у - Хо{(/о2х - х - х.2а хl+(2-х-у)22-1) dy ='2о=/=xzО2- 2.2+хх; + :43-у22-x(l -2х)21- 6"32- '2 у6_~ (~2 _2 . хз31 )II-Xо=(2-х-у)З1(2 -+6х)з-14+ х ) _ ~ .х _= 4 - "3 + 4 -1)'2 + '2 х4124 -2"3 -1(216dx =;4х )4) 1: =124 + 24 = 4·•54.3. Замена переменных в тройном интеграле.Вычисление тройного интегралав цилиндрических и сферических координатахПри вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто приме­няется метод подстановки, т.

е. совершается преобразование перемен­ных.= ер(и; v; w), у = ф(u; v; w), z =х(и; v; w). Если эти функции имеют в некоторой области V* про­Пусть совершена подстановка х=странстваOuvwнепрерывные частные производные и отличный от ну-ля определительl(и', v', w)=дхдuдхдхBvBw~ди~BvE1LBwBzBz~дuBvBwто справедлива фор.мула за.менЪt nepe.мeHHЪtX в тройном интеграле:111j(x;y;z)dxdydz =v111 j(ер(u;v;w);Ф(u;v;w);х(u;v;w)) ·II(u;v;w)ldudvdw.=(54.4)V·Здесь l(и;определитель Якоби, или якобиан преобразованияv; w) -(примем без доказательства).Длячастовычисленияиспользуюттройноготакинтеграланазываемыецилин­zдрические координаты.Положение точки М(х; у;ствеOxyzчисел Т, ер,z)в простран­z,где Т-угол, образованный этимром с осью Ох,z-М(т; ер;длина радиуса-векторапроекции точки М на плоскость Оху, еррис.M(x;y;z)z)zможно определить заданием трех-урадиусом-векто­аппликата точкиlv! (см.228).Эти три числа (Т, ер, z) называются 1,{и­Рис.лuндрu'Чес'ICU.мu 'lCоординатами точки М.228Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми ко­ординатами следующими соотношениями:I х = Т .

cos ер,у = Т . sin ер,z=(т? О, ер Е [О; 27Г], Z Е Щ.zIВозь~ем в качестве и, V, W цилиндрические координатыr,'Р,zивычислим якоби ан преобразования:=I(ro,u,·,z)rдхдтдхд<рдх~д<р~azcos 'Рsin 'Р-r sin 'Рr cos<pо~дтazazazОО1azо~ О.= rдтд<рazФормула замены переменных (54.4) принимает вид!!!j(x;y;z)dxdydz=v!!!(54.5)j(rcos'P;rsin'P;z)rdrd'Pdz.v·Таким образом, вычисление тройного интеграла при водится к интегрированиюr,попо'Риzпоаналогично тому,какэто делаетсявдекартовых координатах.За.ме-ч.а1tuе. К цилиндрическим координатам бывает удобно перей­ти в случае, если область интегрирования образована цилиндрическойповерхностью.Прu.мер 54.2. Вычислить!!!v+ у2 = z2ниченная верхней частью конуса х 2QРешение: На рис.гдеz·dxdydz,область, огра­V -И плоскостью Z= 1.изображена область интегрирования V.

Вы­229числим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: х= r· cos<p, у = r· sin'P, z = z.=dxdydz = r· drd'Pdz. Уравнениеконуса примет вид r 2 cos 2 'P+r2 sin 2 'Р = z2, т. е. z = r. Уравнение окруж­ности х 2+ у2 = 1Здесьz - от rD, входитО до 21Г, адообластьв конус1z dx dy dz=!!!v2".z = rd'Pо1id'P1r2".=о2".!r drоz dzd'Pr2отz = 1).=2! ! r . (2 - r2 )d'P' ( "4-пересекающаяr11оНовые'Р1! ! !оdr . z2Oz,1,получаем:(54.5),=z .

r . dr d'P dz2от О дои выходит из него на высоте2".1! !rr -(прямая, параллельная осиТаким образом, согласно формуле!v!!= 1.(границы области D) запишется так: rпеременные изменяются в следующих пределах:dr =оr4' 11- 8" ) 10 = 8оЗаметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим:!J!vV'!-X21z· dxdydz=!-1dx!-v'!-X2Z·dz.•zzM(x·y·z)z=l: м (р; <р'; В),IIу1Рис.УРис.229Сферu'Ч.ес"uмu "оордин.аmа.ми точки М (х; у;называется тройка чисел р, <р, (), где рМ, <р -z) пространства Oxyzдлина радиуса-вектора точки-угол, образованный проекцией радиуса-вектора ОМ на плос­кость Оху и осью Ох,оси230угол отклонения радиуса-вектора ОМ от() -Oz (см.

рис. 230).Сферические координаты р, <р, () связаны с декартовыми коорди­натами х, у,Iхzсоотношениями:= р cos <р • sin (),у= р sin <р • sin (),z =(р ~ О,р cos () IО ~ <р ~27[,О ~()~7[).в некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно про­изводить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно вос­пользоватьсяформулойзаменыпеременныхвтройноминтегралеТак как якобиан преобразования(54.4).I(r;<p;z) =cos <р sin ()sin<psin()cos ()-р sin <р sin ()р cos <рsin ()р cos <рО. <р sш·. () I sincos<р sin ()= р sш()р sin <р cos () I. ()-рsшcos ()()-р sin ()р sin <р cos+: () .

Характеристики

Список файлов лекций