Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. аk 1 ,2.= О,r+ pk + q = О,Следовательно,= Qn(X) . е""'Х,у*(у*)" = Q~(x). е""'Х= Q~(X) . е""'Х + Qn(X) . е"Х . а,(у*)'+ 2Q~(x). е"Х . а+ Qn(x) . е""'Х. а2 .После подстановки функции у* и ее производных в уравнение(51.11),сокращения на е""'Х, получим:Q~(x)Слева+ (2а + p)Q~(x) + (а + ра + q) . Qn(x) = Рn(Х).2(51.13)многочлен степени-справа -многочлен степениn с неопределенными коэффициентами,n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (n + 1) алгебраическихAo,A1, ... ,A n .уравнений для определения коэффициентовб) Пусть а является однократным (простым) корнем характери+ pk + q =О, т.
е. а = k 1 f:. k2 .= Qn(x)e""'x нельзя, т. к.а 2 + ра + q = О, и уравнение (51.13) принимает видстического уравнения k 2В этом случае искать решение в форме у*Q~(x)в левой частичлен степени-+ (2а + р) . Q~(x)многочлен степени(n - 1),в правой частимного-n. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*,нужно иметь многочлен степениследует искать в виде у*r= Рn(Х).= 1).(n+ 1).= х . Qn(x)e"XПоэтому частное решение у*(в равенстве(51.12)положитьв) Пусть а является двукратным корнем характеристического+pa+q = О= О, а поэтому уравнение (51.13) принимает вид Q~(x) = Рn(Х).уравнения k 2 +pk+qи 2а+р= О, т.
е. а = k 1 = k 2 . В этом случае аСлева стоит многочлен степениn,многочлен степениn - 2.2Понятно, чтобы иметь слевачастное решение у* следует искать в виде= x 2 Qn(x)e""'xположить r = 2).у*(в равенствеСлу'Чаi1(51.12)2.Правая частьf(x)где рn(х) И(З-(51.10)= е"Х . (Рn (х) . cos (Зх + Qm (х) sin (Зх),Qm(x) -многочлены степенидействительные числа. Уравнениеу"•имеет вид+ ру' + qy = е""'Хn и т соответственно,(51.10) запишется в виде. (рn(х) . соs(Зх363+ Qm(x) .
siп(Зх).а и(51.14)Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравненияследует искать в виде(51.14)I у* = x r . е ах .(MI(X)· cos(Jx+ Nl(x)· sin(Jx), I(51.15)где r - число, равное кратности а + (Ji как корня характеристическогоуравнения k 2 + pk + qо, MI(X) И NI(X) - многочлены степени 1 с не=l-определенными коэффициентами,Рn(Х) ИQm(x),т. е.1=наивысшая степень многочленовтах(n,т).3а.м.е'Чшн:uя.1.После подстановки функции(51.15)в(51.14)приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.2.
Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда Рn(Х) == О илиQm(x) == о.3. Если правая часть уравнения (51.10) есть сумма функций вида1 или П, то для нахождения у* следует использовать теорему 51.2 оналожении решений.Прu.мерQ51.2.Найти общее решение уравнения yll ~ 2у' +уРешение: Найдем общее решениеристическое уравнение k 2Значит,fj=Cl . еХ+ С2-2k + 1fjЛОДУ yll - 2у'+у == О имеет корень k 1 == х - 4.о. Характе1 кратности 2..
Х • е • Находим частное решение исходногоХуравнения. В нем правая часть х- 4=(х- 4) . е О . Хесть формула ви. е . , причем а = о, не является корнем характеристическогоуравнения: а f:. k 1 . Поэтому, согласно формуле (51.12), частное решение у* ищем в виде у* = Ql(X) . е О . Х , т.
е. у* = Ах + В, где А и В О Хда Р1 (х)неопределенные коэффициенты. Тогда (у*)'= А,(у*)1I = о. Подставиву*, (у*)', (у*)1I В исходное уравнение, получим -2А+Ах+ВАх+ (-2А + В) = х -= х-4, или4. Приравнивая коэффициенты при одинаковыхстепенях х, получаем систему уравнений:{А = 1,-2А+ В = -4.Отсюда А= 1, В = -2. Поэтому частное решение данного уравнения= (у+у*) = Cle x +С2хеХ +х-2общее решение уравнения.•имеет вид у* = х-2. Следовательно, уискомоеПрu.мерQ51.3.Решить уравнение yll - 4у'+ 13у =Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у =решение однородного уравнения у: yll - 4у'+ 13у = о.ское уравнение k 2 - 4k + 13 = О имеет корни k 1 = 2Следовательно, fj = е 2Х . (Сl • cos 3х + С2 .
sin 3х).364fj40· cos3x.+ у*.НаходимХарактеристиче+ 3i,k 2 = 2 - 3i.Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем слу· • (40cos3x + О· sin3x) . Так как а = О, /з = 3,+ /Зi = 3i не совпадает с корнем характеристического уравнения ,то r = О . Согласно формуле (51 .15), частное решение ищем в видеу* = АсоsЗх + ВsiпЗх . Подставляем у* в исходное уравнение.
Имеем :(у*)' = -3АsiпЗх+ЗВсоsЗх , (у*)1I = -9АсоsЗх-9Вsiп3х . Получаем:чае имеет вид f(x)=еО Ха-9Аcos 3х -9Вsin Зх - 4( -3Asin Зх +3В соsЗх)++ 13(А cos 3х + В sin 3х)= 40 cos3x,или(-9А -12В+ 13А) cos3x+ (-9В+ 12А+ 13В)Отсюда имеем:{Следовательно, Анец, у=е2Х(Сl= 1,. COSВ4А - 12В12А= -3.3х + С2sin3x = 40соs3х+0 · siпЗх.= 40,+ 4В =О.= cos3x sin 3х) + cos 3х - 3 sin 3х -.Поэтому у*Зsiп3х . И накообщее решениеуравнения.•Прu.мер51.4.
(Для самостоятельного реше'Нv..я.) Для предложен-ных дифференциальных уравнений получить вид частного решения:+ 2у = 5 + е2у' + У = 2;а) yll - 3у'б) yll в) yllХ;= sin 2х + cos 7 х;х sin 2х;д) yll - Зу' = х 2 - 1 + cos х.г) yll++4уУ= 5 cos 2х -+ х . В . е Х ; б) А; в) х(А cos 2х + В sin 2х) + С cos 7х ++ Dsin7x; г) (Ах + B)cos2x + (Сх + D)sin2x; д) х(Ах 2 + Вх + С) ++ Dcosx + Esinx.Ответы: а) А51.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка(n>2)с постоянными к,оэффициентамии правой частью специального видаРассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го(n > 2)у(n) + а, (х) .
у(n-') + а2(Х) . у(n-2) + .,. + аn(х) . угде а, (х), а2(Х),' ",аn(х),f(x) -порядка= f(x),заданные непрерывные функциина (а; Ь).Соответствующее ему однородное уравнение имеет виду(n) + а, (х) . у(n-') + ... + аn(х) . у= О.Теорема(о структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка).51.3Общее решение у ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решенияу* неоднородного уравнения и общего решенияему однородного уравнения, т. е. уfjсоответствующего= у* + у.Частное решение у' ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, еслиизвестно общее решениеfjоднородного уравнения, методом вариациипроизвольных постоянных. Оно ищется в виде= Cl(X) .
Уl (Х) + С2(Х) . У2(Х) + ... + Сn(Х) . Уn(Х),где Yi(X), i = ~, - частные решения, образующие фундаментальнуюу*систему, однородного уравнения.Система уравнений для нахождения неизвестных с;(х) имеет вид+ ~Y2 + dзуз + ... + C~Yn = О,c~y~ + c~y~ + c~y~ + ... + c~y~ = О,c~y~' + c~y~ + ~y~ + ... + c~y~ = О,C~Ylc~yin-l)+ c~y~n-l) + ~y~n-l) + ... + c~y~n-l) = f(x).Однако дЛЯ ЛНДУ n-го порядка с nостояннымu 'lCоэффu'Цuента.м.u,правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у.
может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.Метод подбора частного решения у' уравненияу(n)где+ Ply(n-l) + ... + РnУ = f(x),Pi - числа, а правая51.3 для случая nв п.часть= 2,f (х)имеет специальный вид, описанныйпереносится без всякого изменения и наслучай уравнения , имеющего порядокn> 2.прu.мер 51.5. Решить уравнение yJV - у' = 2х.QРешение: Находим у:k4-k1fjk= О,= О,= О,V3 i2'k(k - 1) . (k 2 + k + 1)k2= 1, k З4, = _!2 ±v3 + С4 sin 2Хv3 ) .= Сl + С2е + е _l2 х ( Сз СОБ 2ХХНаходиму*: f(x)= 2х (= eO'x ·p1(x)), r = 1,у* = х(Ах+В) = Ах 2 +Вх,отсюда(у*)'= 2Ах + В,(у*)"= 2А ,366(y*)1II= О,(y*)IV= О., Тогда -(2Ах+ В)= 2х. Отсюда А = -1, В = О и получаем у*= _х2.Следовательно, функция•является общим решением уравнения.§ 52.СИСТЕМЫ tJ.ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИИ52.1.Основные понятияДля решения многих задач математики, физики, техники (задачдинамики криволинейного движения ; з адач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы , в которой протекают несколько последовательных химических реакций1порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций.
Нахождение этих функций может привести кнескольким ДУ, образующим систему .CucmeMoiiДУ называется совокупность ДУ, каждое из которыхсодержит независимую переменную , и с комые функции и их производные.Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащейnискомыхфункций Уl, У2, ... , Уn, следующий:Система ДУ первого порядка, раз решенных относительнО производной , т. е . система вида1:JJJ.' · ,. у n ) ,dx -- f 1 (х ,' у 1 ., У2,··~dx -- f 2 (х ,' у 1 ,.
У 2 ,' ··· ,. уn ) ,dyndx -~f n (х', у I . У 2 '1.у )1 • •• ,11(52.1),называется 'Н.ормалъ'Н.о1J. cucmeMo1J. ДУ. При этом предполагается, что число уравнений р авн о числу искомых функций.За.ме'Ч,аnuс. Во многих случаях системы уравнений и уравнениявысших порядков можно привести к нормальной системе вида367(52.1).Так, система трех ДУ второго порядкаd x - F1(х' "У' z·"t· "х" у" z') ,2-;]j'Т2~dt =Р. (х' У'Z' t· х" у" z')2""",dР.3 (х', У', Z'" t· х" , у" , z') ,2--Z"""(ii'Тописывающая движение точки в пространстве, путем введения новыхпеременных: ~~ = и,!fif = v,~: = w, приводится К нормальной системеДУ:dx - udt - ,~dt - v,dz -wdt -,~~= F1 (x;y;z;t;u;v;w),~~=~~= Fз(х; у; z; t; и; v; w).Р2 (х; у; z; t; и; v; w),Уравнение третьего порядка у"'= j(x; у; у'; у")путем замены у'== р, у" = р' = q сводится к нормальной системе ДУ{у' =р,= q,q' = j(x;y;p;q).р'Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.~Решение,м, систе,м,ыцийYl, У2, ...
,Уn,(52.1)называется совокупность изnфункудовлетворяющих каждому из уравнений этойсистемы.Начальны.е условия для системы(52.1)имеют вид(52.2)Задача Коши для системынайти решение системыям(52.1),(52.1)ставится следующим образом:удовлетворяющее начальным услови(52.2).Условия существования и единственности решения задачи Кошиописывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.368Теорема52.1(Коши).
Если в системе (52.1) все функцииfi(x; Yl; ... , Уn)непрерывнывместесовсемисвоимичастнымипроиэводнымипоYiD ((n + 1)-мерного пространства), то в каждойточке Мо(Хо; У?; Y~; ... ; Y~) этой области существует, и притом единВ некоторой областиственное, решение Уl = 'Pl(X), У2 ='Р2(Х), .... Уn = 'Рn(Х) системы,удовлетворяющее начальным условиям (52.2) .D точку МО (т. е. начальные условия), получимМеняя в областибесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения , зависящего отnпроизвольных постоянных :Это решение является общим, если по заданным начальным условиям(52.2)можно однозначно определить постоянные Сl, С2, . . . ,СП изсистемы уравн е ний{ ~.1.(~;.~1.;.~2.;.'.'.'.;.~~ .~.~~:'Pn(X;Cj;C2;" .;С n ) = Y~·Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянньL."{ Сl, С2"", сп, называ€тся 'Частным решением системы(52.1).52.2.
Интегрирование нормальных системОдним из основных методов интегрирования нормальной системыДУ является метод сведен7.LЯ системы" одному ДУ высшего nор.яд'Х:а.(Обратная задача-переход от ДУ к системе-рассмотрена выше напримере . ) Техника этого метода основана на следующих соображениях.Пусть з адана нормальная система(52.1).Продифференцируем поХ любое, н апример первое, уравнение:d Yl8ЛдЛ dYlдЛ dY22 =-+_.-+-.-+2dxдхду!dxдУ2dx...8fl dyn+_.8уndx'Подставив в это равенство значения производньгх1:JJ.J.1 , ~d2 , ... , ddYn из.dсистемы(52 .1) , получим2d Yl8Л8fl- 2 = -8 + -д .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
