Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Общее решение ДУжество интегральных кривых;(49.2)представляет собой мночастное решение-одна интегральнаякривая этого множества, проходящая через точку (Ха; Уа) и имеющая вней касательную с заданным угловым коэффИL(иентом у'(ха)Переписав ДУ(49.1)в видеF(x·y·y'·у",,'(l+у'2)3/2. (1+у'2)3/2)= О'= у'.видим, что ДУ -второго порядка устанавливает связь между координа=тами точки (х; у) интегральной кривой , угловым коэффициентом kу'у"касательной к ней и кривизной К2 3/2 В точке (х; у). В этом=(1+ у')состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождениярешения ДУям(49.3),(49.2),удовлетворяющего заданным начальным условиназывается зада'tеu Коши.Теорема(существования и ~инственности задачи Коши).49.1Если в уравнении (49.2) функцияf(x ; у ; у')и ее частные производныеf~ и f~, непрерывны в некоторой области D изменения переменныхх, у и у', то для всякой точки (XO ; Yo ; y~) Е D существует единственное решение у= <р(х) уравнения (49 .2), удовлетворяющее начальнымусловиям (49.3).Примем теорему без доказательства.Аналогичные понятия и определения имеют место дЛЯ ДУ n-20nор.ядr;,а, которое в общем виде записывается каР(х·у·у'·у"·, , "" 0'.у(n») -- О ,илиу(n)= f(x ;y;y';y"; .
. . ;y<n-l}) = О,(49.4)если его можно разрешить относительно старшей производной.Начальные условия дЛЯ ДУу1 --Уо, Ух=хо'1-'"1Уо, Ух=жQ(49.4)имеют вид-"-... ,уа,х=хоу(n-l}1-- (n-l) .уа(49.5)х=жоОбщее решение ДУ n-го порядка является функцией видасодержащейnпроизвольных, не зависящих от х постоянных.Решение ДУ(49.4),получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных Сl = С?, С2 =cg, ...
, сп= c~, называется'tacтHblM решением .3aOa'ta Коши дЛЯ ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удовлетворяющее начальным условиям(49.5).Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее:найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того,заданы начальные условия или нет.Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее , чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.345Уравнения, допускающие понижение порядка49.2.Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является.метод nо'Н'Uж;е'Нu.я nор.я.rл.а. Суть метода состоит в том, что с помощьюзамены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению ,порядок которого ниже .Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка .1.Пусть дано уравнениеIу" = J(x)·1(49.6)=Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у'= р(х) .Тогда у"= р'(х)и получаем ДУ первого порядка: р'= р(х),Решив его, т.
е. найдя функцию ррешим уравнение у'Получим общее решение заданного уравнения=f(x).= р(х).(49.6).На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.Так как у"деdy'у' =d'= (у')' = 7fx,= f(x) dx.уравнение (49.6) можно записать в ви-Тогда, интегрируя уравнение у"Jf(x) dx, или у'= f(x), получаем:= <Рl (х) +Сl· Далее, интегрируя полученное урав-Jненце по х , находим: у =(<fJl (х)+ Cl) dx, т. е. 'f=<Р2(Х) + CIX + С2-общее решение данного уравнения.Если дано уравнение= f(x),у(n)то, проинтегрировав его последовательноуравнения: у = <рn(х)+n-lCl . ( : _ 1)!+ С2n. (: _Прu.мер 49.1. Решить уравнение yIV<)раз, найдем общее решениеn-22)!+ ... + Сп·= sin 2х.Решение : Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получимylllУ= Jsin 2х dx = - ~ cos 2х + Сl ,"= J- 21 cosу'2х dx+JСldx= - 4"1 sш.
2х + Сl Х + С2,х21= 8" cos 2х + Сl 2" + С2 Х + Сз,1У =;= 16 sin 2ххЗх2+ Сl "6 + С22" + Сз х + С4 ·346•П. Пусть дано уравнениеI у" ::::: f(x;у'), I(49.7)'Не содержащее .яВ'НО uCX:OMoi1 фУ'НХ:v,uu у.Обозначим у':::::р, где рТогда у" ::::: р' И уравнениер::::: чJ(Х; Cl) -::::: р(х) - новая неизвестная функция.(49.7) принимает вид р' ::::: f(x;p). Пустьобщее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у', получаем ДУ: у':::::tp(X;CJ).Оно имеет вид(49.6).Для отыскания у достаточно про интегрировать последнее уравнение.Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид у:::::Частным случаем уравненияI у"(49.7)::::: f(y'),*.JчJ(Х;Cl)dx + С2·является уравнениеI(49.8)не содержащее также инезависимую переменную х.
Оно интегрируетсятем же способом: у'::::: р(х),у"::::: р' :::::С разделяющимися переменными.Получаем уравнениер' ::::: f(P)"Если задано уравнение видаI Р(х; y(k); y(k+l); ... ; у(n))= О, I(49.9)которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y(k) ::::: р(х) . Тогда y(k+l) ::::: р';у(n) ::::: p(n-k) и уравнение(49.9) примет вид Р(х;р;р'; ... ;p(n-k))уравнения (49.9) является уравнениеЧастным случаем...
;::::: О.Р(х; y(n-l); у(n)) ::::: О,илиIу(n):::::f(x; y(n-l)).1С помощью замены y(n-l) ::::: р(х), у(n) ::::: р' это уравнение сводится кДУ первого порядка.,Прu.мер 49.2. Решить уравнение у" - '!L ::::: О.хQРешение: Полагаем у'::::: р, где р = р(х), у" ::::: р'.Тогда р' - Р.. ::::: О . Это уравнение с разделяющимися переменныхми:ln 'Рld!!E. :::::dхР..,!!:Е:::::хрdx .х: : : ln /clxl, р ::::: CIX.у' ::::: Сl Х, У :::::2Cl~Возвращаясь к исходной переменной, получим.+ С2Интегрируя, получим ln 'Рl : : : ln 'хl + ln IC11,-общее решение уравнения.347•IП . Рассмотрим уравнениеI у"= j(y; у'), I(49.10)которое 'Не содеР:Ж;'/J,m явно 'Незав'/J,С'/J,.моi1 nepeMeHHoi1 х.Для понюкения порядка уравнения введем новую функцию р= р(у),зависящую от переменной у, полагая у'это равенство по х, учитывая, что ру"d(y')dp(y)== р.
Дифференцируем= р(у(х»:dp(y)dydp(y)=~=~=dY·dX=dY · P,т. е. у" =p . ~. Теперь уравнение (49.10) запишется в виде p. ~ =Лу;р) .Пусть р= ер(у; Cl) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на у', получаем у'=ер(у; С}) -ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интегралуравнения(49.10):dy=(ер у; Cl )JЧастным случаем уравненияI у"х+ С2.(49.10)является ДУ= j(y)·1Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у'= р(у), у" = р .
~.=Так же поступаем при решении уравнения Р(у; у'; у"; . . . ; у(n» = о.Его порядок можно понизить на единицу, положив у'= р, где р = р(у).По правилу дифференцирования сложной функции находим у"- Затем найдемylll= А.(р. р')= А.(р. р') .1:JJ.. = р((р')2dx11dy11dx113a.мe'taH'/J,e . Уравнениестановку у'(49.8)=+ р.
р"1111 ) и т. д.также можно решать, применяя под= р, где р = р(у).Прuмер49.3.Найти частное решение уравнения= О,удовлетворяющее начальным условиям: у(О) = 2, у'(О) = 2.<) Решение: Уравнение имеет вид (49.10). Положив у' = р(у),у"=P~ .- (у')2+ у'(у _1)p.~, получаем:р.dpdy-р2+ р(у -1) = о.34у" =Так как р:j:. о (иначе уl ::::; О, что ПРОТИ,воречит начальному условиюdуl = 2), тo·~ -р+у-1 = О - получили линейное ДУ первого порядка.Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли(п.48.4). Полагаемu1v + u(v l - v) = 1 -ри=.
v.Имеем:+ uv l - uv + у -u1v1 =О, илиу.Подберем фуiIкцию v так, чтобы v l - v = О. Тогда dv = dy, v = е У .vПолучаем:u l . еУ+ U· О =1-у,т. е.du = (1 -Интегрируя это равенство, находим, что и=у)-(1 -. е-У dy.у). е-У +е-У+ С].Следовательно,p=uv=((-l+у)е- У +е- У +с])·е+ У ,Заменяя р наyl,получаем: у'это равенство, находим= у.+ у.илир=с]еУ+у.Подставляя уl= 2иу= 2вCl:2Имеем уl= С]. еУОтсюда у= С] е + 2,2= С2еХ.С]= О.Находим С2 из начальных условий:2 = С2еО, С2 = 2.
Таким образом, у = 2е Х -частное решение данногоДУ•49.3. Линейные дифференциальные уравнения высшихПОРЯДКОВОсновные понятияМногие задачи математики, механики, электротехники и другихтехнических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.Уравнение видаьо(х)у(n)~где Ьо(х):j:.О,+ b1(x)y(n-]) + ... + Ьn(Х)Уb1(x), ... ,bn(x),g(x) -= g(X),(49.11)заданные функции (от х),называется лuнеii:ни.м ДУ n-го nор.ядnа.Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь впервой степени. Функции Ьо(х), Ь] (х),... , ьn(х) называются 7Соэфф'U:цu(49.11), а функция g(x) - его свобод'Н,'Ым 'Чле'Н,ом.~ Если свободный член g(x) == О, то уравнение (49.i1) называетсялuнеii.ни.м одиородии.м уравнением; если g(x) :j:.
О, то уравнение (49.11) называется иеодиороди'bl.М.Разделив уравнение (49.11) на Ьо(х) :j:. О и обозначиве'Н,mамu уравненияЬ](х)ьn(х)g(x)Ьо(х) = а] (х), ... , Ьо(х) = аn(х), Ьо(х) = f(x),349запишем уравнениеI у(n)(49.11)в виде nрuведенн,ого:+ аl(х)у(n-l) + а2(х)у(n-2) + ... + аn(х)у= j(x).1(49.12)Далее будем рассматривать линейные ДУ видачто коэффициенты и свободный член уравнения(49.12) и считать,(49.12) являются непрерыiныыии функциями (на некотором интервале (а; Ь)). При этих условиях сщ>аведлива теорема существования и единственности решенияДУ(49.12)(см.
теорему49.1).49.4. Линейные однородные ДУ второго порядкаРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение(ЛОДУ) второго порядка:I У"+ аl (Х)У' + а2(Х)У=01(49.13)и установим некоторые свойства его решений.Теорема49.2.Если функции Уl = Уl(Х) и У2 = У2(Х) являютсячастными 'решениями уравнения(49.13).то решением этого уравнения является также функция(49.14)где Сlи С2произвольные постоянные.-о Подставим функцию УЛОДУ(СIУl(49.13).= Сl Уl + С2У2 И ее производные в левую частьПолучаем:+ С2У2)" + аl(Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
