Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Лейбницу,1676 г.).Решениемдифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке вуравнение обращает его в тождество .Так, решением уравнения уlпервообразная для функции= f(x)является функция у= Р(х) -f(x).Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют оБысновенн'ыыj j в противном случае-ДУ в'Частных nроuзводных.
Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется no~ряд1СОМ этого уравнения.=Например, уравнение ylll - Зу/l + 2уО - обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение х 2 у l + 5ху = у2 - первого порядка; у . z~= х . z~ -=ДУ в частных производных первого порядка.Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием,а график решения ДУ-uнтегралъноiJ.
1CPUeoiJ..Рассмотрим некоторые задачи, р ешение которых приводит к дифференциальным уравнениям.47.2.ЗаАачи, ПРИВОАящие к АифференциальнымуравнениямЗадача1Материальная точка массы т замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро-325стиV. Найти зависимость скорости от времени. Найти3 с после начала замедления, если V(O) = 100 м/с,черезскорость точкиаа Решение: Примем за независимую переменную времяV(l)t,=50 м/с.отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки.
Тогда скорость точкиVбудет функциейt,т. е.V = V(t).Для нахожденияV(t)воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики):= F, где а = V'(t) -m ·аесть ускорение двюкущегося тела,F-результирующая сила, действующая на тело в процессе двюкения.В данном случае Fk V 2 , k О - коэффициент пропорциональ=->ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).Следовательно, функцияV = V(t) является решением дифференциального уравнения m· V' = -k .
V 2 или V' = _.li. v 2 . Здесь т - массаттела .1Как будет показано ниже (пример 48.5), V = k' где с m· t+cconst. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скоростьточки через 3 с после начала замедления.Найдем сначала параметры .li. и с. Согласно условию задачи, иметем:V(O)= i = 100 иV(l)=.!.~ с = 50. Отсюда с = 160' ~ = 160 'mСледовательно, скорость точки изменяется по закону V = t l~Ol ' Поэтому V(З)3аАача= 25 м/с.•2Найти кривую, проходящую через точкузная, что отрезок(4; 1),любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.а Решение: Пусть М(х; у)упроизвольная точка-кривой, уравнение которой уАленностипредположим,чтопервой четверти (см.
рис.=f(x).криваяДля опредерасположена в212).Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первойовРис.212хпроизводной:есть угловой коэффициент касаИз рисунка видно, что tg(L-М ВС)tg(L-М ВС)МСtg ательной; в точке М(х ; у) он равен у', т. е. у'= tg(180° -= у. По условию задачи АМ =а)= 'iJg.Но= - tg а,М В, следовательно, ОС326= tga.= СВ = х.лученного дифференциального уравнения= _11..
. Решением появляется функция у = .1(гипербола). Решение будет приведено в п.48.2Такимобnазом,получаем - tga.r= 11..Хили у'Хх(пример48.4).•Другие заАачиМожно показать, что :закон изменения массы радия в зависимости от времени «<радио•активный распад») описывается дифференциальным уравнением~7 = -k . т, где k > О m(t) -•коэффициент пропорциональности ,масса радия в моментt;«закон охлаждения тел» , т. е .
закон изменения температуры телав зависимости от времени, описывается уравнением ~~ =k(T - to),гдеT(t) -температура тела в момент времениент пропорциональности,to -t, k -коэффицитемпература воздуха (среды охлаждения);•зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реакцию, от времениtво многих случаях описывается уравнением~~ = k . х, где k - коэффициент пропорциональности;«закон размножения бактерий» (зависимость массы т бактерий•от времени•t)описывается уравнением m~= k . т , где k*> О;закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты надуровнем моря описывается уравнениематмосферное давление воздуха на высоте= -k .
р,h, kгдеp(h)> о.Уже приведенные примеры указывают на исключительно важнуюроль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных задач.§ 48.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГОПОРЯДКА48.1.Основные понятияДифференциальное уравнение первого порядка в общем случаеможно записать в видеF(x; у; у') =327о.(48.1)Уравнение СВЯЗ~IВает независимую переменную х, искомую функциюу и ее производНую у'. Если уравнение(48.1)можно разрешить относительно у', то его записывают в видеу'= f(x; у)(48.2)и называют ДУ первого nоряihcа, разреше'Н:н:ым оm'НосumелмtO nроuзвод'НоЙ .
Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.~Уравнение(48.2)устанавливает связь (зависимость) между коор-динатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательнойк интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,ДУ у'= f(x; у) дает совокупность направлений (поле 'Наnравле'Нui1.)наплоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется uзо~u'Ноi1.. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых.
Уравнение изоклины можно получить, если положить у'Прu.м.ер48.1.= С, т. е.f(x;у)= С.С помощью изоклин начертить вид интегральных=кривых уравнения у'2х.Q Решение: Уравнение изоклин этого ДУбудет 2хпрямые,у= С, т. е. изоклинами здесь будутпараллельные оси Оу (х = ~).в точках прямых проведем отрезки, образующие с осью Ох один и тот же угол а,тангенс которого равен с.= О имеем х = О, tga = О,= О;при с = 1 уравнение изоклины х = !'поэтому tg а = 1 и а = 450;п'ри с = -1: х = -!, tg а = -1, а= -450;при с = 2: х = 1, tg а = 2, а = arctg 2 ~ 630Так, при споэтому ахРис.213и т. д.Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см.
рис.213),по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.•Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дuффере'Н'U,uалъ'Ноi1. форме:Р(х; у)dx+ Q(x; у) dy328= О,(48.3)где Р(х; у) иQ(x; у) -известные функции. Уравнение(48.3)удобнотем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного видазаписи ДУ можно перейти к другому.Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами).
Легко догадаться, что решением уравнения у'функция у = х 2 , а также у = х 2где с-+ 1,у = х2 -= 2х являетсявообще у = х 2 + с,-12 иconst.Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.Условие, что при хму числу Уа, т. е. у== Хафункция У должна быть равна заданноУа называется 'На"tаль'Ньt.М условием. Начальноеусловие записывается в видеУ(Ха)~=Уа или ylx=xo = Уа·(48.4)Общим решением ДУ первого порядка называется функция у== <р(Х; с), содержащая одну произвольную постоянную И удовлетворяющая условиям:1.Функция <р(Х; с) является решением ДУ при каждом фиксированном значении с.2.Каково бы ни было начальное условиезначение постоянной с(48.4),можно найти такое= Со, что функция У = <р(х; Со) удовлетворяетданному начальному условию.~Часmн'ЫМ решением ДУ первого порядка называется любаяфункция У= <р(Х; Со),полученная из общего решения упри конкретном значении постоянной с= Со.= <р(х; с)Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.
е. в виде уравнения Ф(х; У; с)= О, то такое решение называется общим и'Нтегралом= о в этом случае называется "{acт'Нbt.М и'НДУ. Уравнение Ф(х; У; Со)тегралом уравнения.=С геометрической точки зрения У<р(Х; с) есть семейство инте-·гральных кривых на плоскости Оху; частное решение У = <р(х; Со) одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (Хо; Уа).~ Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (48.4), называется зада'Чеii Коши.Теорема48.1(существования и единственности решения заАачиКоши). Если в уравнении(48.2)функцияf(x; У) и ее частная проD, содержащейизводная f~(x; У) непрерывны в некоторой областиточку (хо; Уа), то существует единственное решение Ууравнения, удовлетворяющее начальному условию329= <р(х) этого(48.4).(Без доказательства).Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполненииее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (хо; уо).Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядкаопределенного типа.48.2.Уравнения с раэделяющимися переменнымиНаиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение видаР(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
