Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 43
Текст из файла (страница 43)
при разных. z = x~"+"y~значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различныепредельные значения).•ФункцияПредел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной (см. п.означает, что справедливы утверждения: если функцииопределены на множествеDи имеют в точке МО этого множества преf(M) ± g(M), f(M) . g(M),делы А и В соответственно, то и функции~(~~17.3). Этоf(M) и g(M)i:- О) имеют в точке МО пределы, которые соответственноравны А ± В, А .
В, ~ (В i:- О).(g(M)43.3. Непрерывность функции АВУХ переменных~Функцияz = f(x; у) (или f(M»7I:e Мо(хо; Уо), если она:называется н,еnреръюн,О1J в то"'/.-.а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,б) имеет пределlimM--tМоf(M),306в) этот предел равен значению функцииНтM---tМо= f(Mo)f(M)илиzв точке Мо , т. е.lim f(x; у)x---txo= f(xo; уо).y---tуОФункция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерЬtвно'i1 в этой области. Точки, в которых непрерывностьнарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывностифункции в точке), называются тО'Ч.1Са.м.и разрыва этой функции. Точки разрыва z = f(x; у) могут образовывать целыефункция z = _2_ имеет линию разрыва у = х.линии разрыва.
Так,у-хМожно дать другое, равносильное приведенному выше, определеz = f(x; у) в точке. Обозначим ~x = х-хо,~y = у - Уо, ~z = f(x; у) - f(xo; Уа)· Величины ~x и ~y называютсяприращенuями аргументов х и у, а ~z - ПОЛНЫМ приращением ФУН1С'Ции f(x; У) в тО'Ч.1Се Мо(хо; уо).~ Функция z = f(x; У) называется непрерывной в точке Мо(хо; Уа) Ение непрерывности функцииЕD,если выполняется равенствоНт ~zдх---tОд y---t О=О, т.
е'. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ееаргументов х и У стремятся к нулю.Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах,можно доказать, что арифметические операции над непрерывнымифункциями и построение сложной функции из непрерывных функцийприводит к непрерывным функциям-для функций одной пере мен ной (см. п.43.4.подобные теоремы имели место19.4).Свойства функций, непрерывных в ограниченнойзамкнутой областиПриведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной-см. п.19.5).ПредвариТ€льно уточним понятиеобласти.~Областью называется множество точек плоскости, обладающихсвойствами открытости и связности.Свойство от1Срытости: каждая точка принадлежит ей вместе снекоторой окрестностью этой точки.Сво'i1ство связности: любые две точки области можно соединитьнепрерывной линией, целиком лежащей в этой области.~Точка.N a называетсяпринадлежитсти (см.
рис.D,гран.u'Ч,н.оU то'Ч,'lCОU областиD,если она нено в любой окрестности ее лежат точки этой обла206) . Совокупностьграничных точек области307Dназывает-ся гранuv,еilD.ОбластьDс присоединенной к ней границей называется заМ:lснутоil областью, обозначается~< Э:.: .: .:.' / ".' .... ....'му кругу радиусаR.В противном случае область наной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной206Теоремаогра-зывается неогранu'Ченноil. Примером неограничен,.NoРис.75.
Область называетсянu'Ченноil, если все ее точки принадлежат некоторо-б-окрестность точки Мо(Хо; Уо).43.1.Если функцияz = f(N)непрерывна в ограниченнойзамкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое числоняется неравенствоR > О, что для всех точек N в этой области выполIf(N)1 < R; б) имеет точки, в которых принимаетнаименьшее т и наибольшее М значения ; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение , заключенное между тиМ.Теорема дается без доказательства.§ 44.ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ44.1.Частные ПРОИ3ВОАные первого ПОРЯАкаиих геометрическое истолкованиеПусть задана функцияz= f(x; у) .Так как х и у-независимыепеременные, то одна из них может изм е няться, а другая сохранять своезначение.
Дадим независимой пере мен ной х приращениеD.x,сохраняязначение у неизменным. Тогда z получит приращение , которое называется -ч.асmн:ым. nрuращен.uем.D.", zzпо х и обозначается= f(x + D.x; у) -Полное приращениеD.zфункцииD.z = f(x+ D.y) zzпо у :f(x; у).определяется равенством+ D.x;y + D.y)- f(x ;y).Если существует пределD.",z _ 1·f(x+D.x;y)-f(х;у)·11т - - 1т,.6."'-40D.xИтак,f( x; у).Аналогично получаем частное приращениеD.y z = f(x; уD.", z.D.x.6."'-40308то он называется 'Часm'Н.оi1 nроuзвод'Н.оi1 функцииz = f(x;у) в точкеМ(х; у) по переменной х и обозначается,ОДНИМ из символов:, 8z, 8!Zx, 8x,fx,{)x'Частные производные по х в точке Мо(хо; Уо) обычно обозначают сим-волами f~(xo;Yo), f~1мо.Аналогично определяется и обозначается частная производная отz = f(x;у) по переменной у:z' = lim D..yZ = lim f(x;y+D..Y)-f(х;у).уLly-+O дудуLly-+OТаким образом, частная производная функции нескольких (двух, трехи больше) леременных определяется как производная функции однойиз этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных.
Поэтому частные производные функцииf(x;у)находят по формулам и правилам вычисления производных функцииодной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).Прu,м,ер44.1.Найти частные производные функцииz = 2у+ е"2-у+ 1.а Решение:z~ = (2у+ е,,2_ у + 1)~= 0++ (ex2_y)~ + (1)~ == (2y)~22,- У)х+ О = е ,,2 -У.z~ = 2 + е - у . (-1).е Х -у. (х(2х-О)=•Геометрический смысл частныхПРОИЗВОАНЫХ функции АВУХ переменныхГрафиком функцииz= f(x;у) является некоторая поверхностьп.12.1).График функции(см.z=f(x;yo)есть линия пересечения этой поверхностиизсплоскостью у = Уо.геометрическогосмыслаИсходяпро изводной для функции одной перемен-ной(см.п.20.2),f~(xo;Yo)=tga,заключаем,где а-чтоугол междУ осью Ох и касательной, проведенной к кривой zМо(хо; Уо;f(xo;х=f(x; Уо) в точкеУо)) (см.
рис. 207).Аналогично, f~(xo; Уо)= tg JJ.Рис.30922х· е" -у;х220744.2.Част.ные произвоДные высших порядковЧастные производные 8 1~; у) и 8 1~~ у) называют 'Частн.u,м,u nроuзводн.ы.мu первого nор.яд'К:а. Их можно рассматривать как функции от(х; у) ЕD.Эти функции могут иметь частные производные , которыеназываются 'Чо.
стн.u,м,u nроuзводн.ы.мu второго nор.яд'К:а. Они определяются и обозначаются следующим образом:28 (8Z)8 z = Zxx"" = 1х2(Х;У);"8х8х = 8х22'8 Z = Zxy"8 (8z ) = дудх8х8у8 (8Z)8у8х= 1ху" ( х;у ) ;Z"= дх828у= Zyx= 1"ух (х; у );28 (8z8 z28у8у ) == 8у" = 1"= Zyyу2 (Х ; У ) .Аналогично определяются частные производные З-го , 4-го и т. д.
поряд-ков .z)111 = 8у8Так, Zxxy(828х2'8 ('8х8Зz)8х 8у 8х84 Z= 8х 8у 8х2(или(111)'Zxyx х== Z~i=2) И т. д.§'-iастная производная второго или более высокогО порядка, взятая по различныM переменным, называется с,м,ешанноfJ. 'ЧасmноfJ.nроuзво-'<д НО·и.Прu,м,ерфункции Z=хТ Щ<:овыми44.2.4являются, например,z~yz~xчто83 Z 2' Zxyx'1118х8уНайти частные производные второго порядка- 2х 2 у З+ у5 + 1.а Решени~ Так как Z~ = 4х 3О казалось,"Zxy'= (4х- 4ху 3 И Z~3= (_6х2= -6х у 2 + 5у 4, то2= -12 ху 2,-4xy3)~у2+ 5y4)~= -12 ху2 .ZxyZyx'"="•Этот результат не случаен . Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.Теорема44.1(Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования , равны между собой . .В частности, дляz=1(х; у) имеем : д~2дY310=8~2дx 'Дифференцируемость и полный дифференциал44.3.функцииПусть функцияz = f(x;у) определена в некоторой окрестноститочки М(х;у).
Составим полное приращение функции в точке М:дz~Функция= f(xz = f(x;+ дх; у + ду)у).- f(x;у) называется дuффере'Нцuруемоii в точкеМ(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в видедzгде о:= А· дх + В· ду + 0:. дх + (3. ду,(44.1)= о:(дх, ду) -+ О и (3 = (3(дх, ду) -+ о при дх -+ о, ду -+ о.Сумма первых двух слагаемых в равенстве(44.1)представляет собойглавную 'Часть nрuращен'tLЯ. фун'К:'Цuu.Главная часть приращение функцииz = f(x;у), линейная относительно дх и ду, называется полн'Ы,м дuфферен'Цuало,м этой функции иобозначается символомdz:= А· дх + В .
ду.dz(44.2)Выражения А· дх и В· ду называют 'Частн'Ы,мu дuфферен'Цuала.мu.Для независимых переменных х и у полагают дхПоэтому равенство(44.2)dzТеоремаи ду= dy.= А . dx + В . dy.(неоБХОАимое44.2функции).= dxможно переписать в видеЕсли функция zусловие=f(x;(44.3)Аифференцируемостиу) дифференцируема в точкеМ(х; у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные az и az причем az = А az = Вдхду,дх' ау.о Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет месторавенство(44.1).Отсюда вытекает, чтоlim6x-tО6y-tОдz= о. Это означает,что функция непрерывна в точке М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
