Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Положив дуравенстве~xzux=(44.1),получим: дхz=А.дх+ о:.=о, дхf:.А+о:. Переходя к пределу при дх -+ о, получим lim ~xz6x-tОт. е. g~о вдх. Отсюда находимux= А,= А. Таким образом, в точке М существует частная производная f~(x; у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существуетчастная производная f~(x; у) = ~~ = В.•311Равенство(44.1)можно записать в видедzдz6.z = дх 6.хгде"( =Q •6.х+ jЗ . 6.у -t+ ду 6.у + ,,(,(44.4)О при 6.х -t о, 6.у -t о.Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует диф2ференцируемость функции. Так, непрерывная функция =у2z Jx+не дифференцируема в точке (о; о).Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала.
Формула(44.3)принимает вид:дzдzдхдуdz = -dx+ -dy(44.5)илиIdz = dxz + dyz, Iгде dxz= g~ dx,z = f(x;у).Теорема44.3dyz=g; dy -частные дифференциалы функции(Аостаточноефункции). Если функцияусловиеz = f(x; у)Аифференцируемостиимеет непрерывные частныепроизводные z~ и z~ в точке М(х; У), то она дифференцируема в этойточке и ее полный дифференциал выражается формулой (44 .5) .iIПримем теорему без доказательства.Отметим, что для функции У = f(x) одной переменной существование производной г(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.Чтобы функцияz= f(x;y)была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно,чтобы она имела в точке непрерывные частные производные .Арифметические свойства и правила исчисления дифференциаловфункции одной переменноtl: сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.44.4.Применение полного дифференциалак приближенным вычислениямИз определения дифференциала функцииz = f(x;у) следует, чтопри достаточно малых '6.хl и l6.уl имеет место приближенное равенство6.z~312dz.(44 .6)Так как полное приращениество(44.6)f(xФормулойLlz = f(x+ Llx; У + 6.у)- f(x;у), равенможно переписать в следующем виде:+ Llx; у + 6.у)(44.7)Прu.мер~ f(x; у)+ f~(x; у)6.х + f~(x; у)6.у.( 44.7)пользуются в приближенных расчетах .44.3.Вычислить приближенно 1,02з ,01 .Q Решение: Рассмотрим функцию z=x Y.
Тогда 1,023,01 = (х+ 6.х)У+6 У ,где х=l,Llx=0,o2,у=З, 6.у=О,Оl. Воспользуемся формулой(44.7),предварительно найдя z~ и z~: z~=(хУ)~=у·ху - l, z~=(xY)~=xY · lnx .Следовательно, 1 ,023,01 ~ 13 + З· 13-1 ·0,02 + 13 · ln 1 · 0,01, т. е. 1 ,023,01 ~~1,06.Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:1 , О2 з т ~ 1,061418168.•Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти :границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенныхвычислениях; приближенное значение полного приращения функциии т.
д.44.5.Дифференциалы высших ПОРЯАКОВВведем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула(44.5))называют также дифференциалом первого порядка.Пусть функцияz = f(x;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дuффере'Н:цuал второго nор.я.дr;;а определяется поформуле J2z = d(dz). Найдем его:2d z= d (~= dx + ~: dY )== (az dx + az dY )дх=дуI.хdx+(~:~ dx + ~2;x dY)2Отсюда: J2 z = д Z2 dx 2 + 2. ддх2Zдхду(az dxдх.
dxdx . dy++az dY )ду+ дд2Zу2dy2.дд) 2 ·z.-dy( -dx+ду313у.dy =(~2;y dx + ~:~dY) . dy .записывается так:дхIСимволически этоАналогично можно получить формулу для дuффере'Н:цuала третьегоnор.яд'l(;а:3dy. z,(8х8dx + 8у8)32d z = d(d z) =где88) з-dy( -dx+8х8у83= -dх8хЗ3828882832+З-dх·-dу+З-dх·-dу2+-dу3.8х 28у8х8у 28у 3Методом математической индукции можно показать, что~z8)n .
z,8= ( 8х dx + 8у dyn Е N.Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае,когда переменные х и у функции zzПрuмер3у 2.=х44.4.= f(x; у)являются независимыми.(Дл.я са.мосто.ятел:ыюго решенuя.) Найти ~ z, еслиПРОИ3ВОАная сложной функции. Полная44.6.ПРОИ3ВОАнаяПусть z= f(x; у) -функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменнойв этом случае функцияz = f(x(t); y(t))одной независимой переменнойt;t:х= x(t), У = y(t).является сложной функциейпеременные х и у-nро.межуто'Ч.нuеnере.менние.ТеоремаМ(х; у) Е= f(x; у)= x(t) и44.4.
Если zD функция ихфункции независимой переменнойцииt,дифференцируемая-= y(t)у-то производная сложной функвычисляется по формулеz(t) = f(x(t); y(t))dz8z dx8z dy-=_.-+-.-.dt8х= x(t)и У= y(t)8уdtо Дадим независимой переменнойхtв свою очередь, вызовут приращениеТак как по условию функцияz(44.8)dtприращениеполучат приращенияD..zD..xиD..yD..t.Тогда функциисоответственно. Они,функцииz.= f(x; у) дифференцируема в точкеМ(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде8zD..z = -в точкедифференцируемые8х. D..x8z+ - . D..y + aD..x + fЗD..у,8у314где а-+о,{3 -+-+о при ~xо, ~y-+о (см.
п.жени.е ~z на ~t и перейдем к пределу при ~t~y-+~z.-Разделим вырао. Тогда ~x= x(t) и у = y(t)о в силу непрерывности функций хтеоремы44.3).-+-+О и(по условиюони диФФеренцируемые). Получаем:az.~xaz.~y..~x..~y[1т -=-·[1т -+-·[1т - + [1т а·lIт - + [1т {3·[1т - ,At-tО ~tдх At-tО ~tду At-tО ~tAt-tОAt-tО ~tAt-tО At-tО ~tт. е.dzaz dxaz dydxdy- = _ . - + - . - +0· - +0·dtдх dtдх dtdtdt 'или•dzaz dxaz dy-=_._+-.dtдхdtдуdt .Часm'Н:ы:i1 слу'Ч.аiJ.:z= f(x; у),где у=у(х), т. е.z = f(x;у(х))-сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменнойформуле(44.8)dzaz dxaz dy-=-.-+_.dxдх dxду dxФормулаz=(44.9)tиграет х . Согласноимеем:илиI dzazaz dy-=-+-.-.dxдхду dx(44.9)носит название формулы nол'Н.оiJ. nроuзводноiJ..ОбщuiJ.
слу'Ч.аiJ.: zf(x(u; v); у(u; v))=-f(x; у), где х = х(u; v), у=у(u; v). Тогдасложная функция независимых переменныхи и v. Ее частные производные g~ и g~ можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней ~:'dx CJ:JJ..az дх QJJ...dt' dt соответствующими частными производными дu' дu' дu ·azaz дхaz ду-=_._+-.-.дuАналогично получаем: azav~дхдuду(44.10)дu= ахaz .
дх + az . QJJ...avду avТаким образом, производная сложной функциизависимой переменной (и ипроизводных этой функции(z)v)(z)по каждой не-равна сумме произведений частныхпо ее промежуточным переменным (хи у) на их производные по соответствующей независимой переменной(и иv).Прu.мер 44.5. Найти az и az если zдuav'у = 11.v315= Iп(х 2 + у2),Х= и . v,-а Решение: ~айдем g~ (g~(44.10):azди-1х2самостоятельно), используя формулу. 2х .
v+ у21+х1. 2у . -.+ у22VУ простим правую часть полученного равенства:(х .v+ J{)2. (uv . v(UV)2+(;)2=v- u(V4V·Vи · (v 42v 22+ ~)+ 1)v+ 1)22и,•44.7.Инвариантность формы полного дифференциалаИспользуя правило дифференцирования сложной функции, можнопоказать, что полный дифференциал обладаетности: полный дифференциал функцииzceoiJ.cmeoM инвариант= f(x;y)сохраняет один итот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимымипеременными или функциями независимых переменных.QПустьz = f(x;y),где х и у -независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет видazdz = - . dxдх(формула+ -az . dyду(44.5».Рассмотрим сложную функцию= y(u;v), т. е.
функцию zz = f(x;y), где х = x(u;v), у =f(x(u;v);y(u;v» = F(u;v), где и и v -=независимые переменные. Тогда имеем:дРdz = -ди. duдР+ - . dv =avaz-ди. duazav+ - . dv == (az . дх + az . ду) du + (az . дх + az . ду) dv =дхдиду= az. (дхдхдиди.du+дхдхav'dV)avду+ az (д Удудиav.du+дуav'dV).Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалыиdyфункций хdx= х( и; v) и у = у( и; v) . Следовательно , и в этом случае,azazdz = - .
dx + - . dy.•дхду31644.8.Дифференцирование неявнои функцииФункция z =f(x; у) называется 'Не.яв'Но11 , если она задается урав-нениемР(х; у;z)= О,(44.11)неразрешенным относительно z . Найдем частные производные ~ и g~неявной функцииz,в уравнение вместозаданной уравнениемzфункцию(44.11).f(x;y), получимР(х; у; f(x; у))О.=Для этого, подставивтождествоЧастные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю,также равны нулю:az = О (у az . дхддРдР azду Р(х; у; f(x; у)) = ду + az . ду = О (х ддхР(х;у;f(х;у))откудаazдх=дРдх=-За.ме'Ча'Нu.я .а) Уравнение вида+дРp~р'считаем постоянным),считаем постоянным),(44.12)иz(44.11)не всегда определяет одну переменнуюкак неявную функцию двух других.
Так, уравнение х 2 + у2 + Z2 - 4 = Оопределяет функции zl4 - х 2 - у2 И Z24 - х 2 - у2, опреде=JJ=-Jленные в круге х 2 + у2 ~ 4, zз =4 - х 2 - у2, определенную в полукруге х 2 + у2 ~ 4 при у ~ О и т. д. , а уравнение cos(x + 2у + 3z) - 4 = Оне определяет никакой функции .~Имеет место теорема существования неявноu фУН'lС'ЦUU двухпеременных: если функцияF~(x; у;z),F(x; у; z) и ее производные F~(x; у; z),z) определены и непрерывны внекоторой окрест ноMo(xo;yo;zo), причем F(xo;yo;zo) = О, а F:(xo;yo;zo) f; О, тоp~ (х; у;сти точкисуществует окрестность точки Мо , в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z = f(х;у)"непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (хо; Уо) и такую, что f(xo; уо) = Zo.б) Неявная функция уf(x) одной переменной задается уравнением Р(х; у)О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
