Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 47
Текст из файла (страница 47)
dx+ Q(y) . dy =О.(48.5)в нем одно слагаемое зависит только от х, а другое-от у. Иногдатакие ДУ называют уравнениями с разделе1tн:ым,и nepe,м,eHH'bl.М.и. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:j-Р(х) . dx + jQ(y) . dy=Сего общий интеграл.Прu,м,ерНайти общий интеграл уравнения48.2.x·dx+y·dy= О.а Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.Поэтому j Х· dx 2Тогда х - у2 = Су. dyj=Сl или22 - ~ =Cl.Обозначим ~общий интеграл ДУ.-=Cl.•Более общий случай описывают уравнения с разде.л.яющи,м,ися. nере,м,енны"мu, которые имеют вид1Р1 (х) . Ql (у) . dx + Р2 (х) . Q2(y). dy= 0·1(48.6)Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx иdy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна изкоторых зависит только от х, другаяУравнение(48.6)ного деления его на-только от у.легко сводится к уравнению(48.5)путем почленQl(y) .
Р2 (х) =1= О. Получаем:P1(x) .dx+ Q2(y) .dy=OjP1(x) .dX+jQ2(y) ·dy=cQl(y)'Р2 (х)Ql(y)Р2 (х)~общий интеграл.За,м,е'Ч,а1t'U.Я.1.При проведении почленного деления ДУ наQl (у) ХхР2 (х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следуетотдельно решить уравнениеQl (у) . Р2 (х) =О И установить те решения.ДУ, которые не могут быть получены из общего решения,решения.330-особ'btе= Л(Х) . f2(Y)2. Уравнение У'также сводится к уравнению с раз-.де,тrенными переменными. Для этогО достаточно положить у'разделить переменные=~dxи.. З. Уравнение У' = f(ax + Ьу + с), где а, Ь, с - числа, путем заме+ ьу + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными.ны ахДифференцируя по х, получаем:dudx = аdydx'+ Ь·dudx = а + Ь· f(u),т.
е.откуда следуетdua+b·f(u)= dx.Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах+ ьу + с,получим общийинтеграл исходного уравнения.Прu.мерQ48.3.Решить уравнение (У+. dx +(х-ху)= О.. dyРешение: Преобразуем левую часть уравнения:у.Оно имеет вид(48.6).(1 + х) . dx +х. (1 -У)+1 - У dyх+х -= О.= О.УРешением его является общий интеграл хln Ixyl. dyДелим обе части уравнения на ху ::j:. О:1 + х dx+ ln Ixl + ln lyl -У = с.Здесь уравнениехху)= О, У = ОQl (у) .
Р2 (х) ==о имеет вид ху= О.У= с,т. е.Его решенияявляются решениями данного ДУ, но не входят в общийинтеграл. Значит, решения х= О, У = О являются особыми.•Пример 48.4. Решить уравнение У' = - '!J.. , удовлетворяющее условию у(4)Qх= 1.Решение: Этотиз п. 47.2 .dИмеем: !!:1l.dxпример= - 'х!J..илипредставляетdgj1=~ хрешение= - dx .
Проинтегрировавух'ln lylт. е. Усобойзадачи2получим:= ln Icl -ln Ixl,общее решение ДУ.Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол.·Выделим среди них одну, проходящую через точку(4; 1).= 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1 = ~. с = 4.Получаем: У = 1.
- частное решение уравнения У' = - '!J...Подставим ххх•Пр'U.мер 48.5. Найти общее решение ДУ т· V'= -k· V 2 •а Решение: Этот пример демонстрирует решение задачиПриведем данное уравнение к видут·dV2- = -kV&'Интегрируем:V= - k1- -'- ' -т. dV+ kV 2 dtJ~ + ~ J1из п.47.2.(48.5):=dVо,-2V+ -kтdt =О.-с, т. е. -~ + ~ t + с = О. Отсюдаdt =общее решение уравнения.ffit +с•48.3.
Однородные дифференциальные уравненияк уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.Е§]Функцияf(x;у) называется однородной фунr;;v,ией n-го nор.ядr;;а (измеренuя), если при умножении каждого ее аргумента на про извольный множитель>.вся функция умножится на/(>..Например, функциях;)... у) = >.n . f(x;).. n,т. е.у).f(x; у) = х - 2ху есть однородная функция2второго порядка, посколькуf(>.
. х;)..· у) = (>.х)2 - 2(>'х)(>.у) =)..2 . (х 2- 2ху) =)..2 • /(х; у).Дифференциальное уравнениеу' =Е§]f(x;y)(48.7)называется oдн.opoд'Н'bL.М, если функцияf(x;у) есть однороднаяфункция нулевого порядка.Покажем, что однородное ДУ(48.7)можно записать в виде(48.8)о Еслиf(x; у) - однородная функция нулевого порядка,делению, f(x; у) = f(>'x; >.у). Положив>. = 1, получаем:то, по опрех•Однородное уравнение(48.8)преобразуется в уравнение с раздел яющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)I~ = и I или, что то же самое, Iу = U· x·1332(48.9)Действительно, подставив у=их и у'+ и в уравнение (48.8),и'х=получаем и'х+и = <р(и) или x.~~ = <р(и)-и, т.
е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл),следует заменить в нем и на '11.. Получим общее решение (интеграл) исхходного уравнения.Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:1P(XiY)' dx + Q(XiY)' dyДУ(48.10)будет однородным, еслиP(XiY)=0·1иQ(XiY) -(48.10)однородныефункции одинакового порядка.d1' = - Qp~X'Y~ и применив в(48.10) в виде dxХ; уПереписав уравнениеправой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнениеу' = <p(~).liIПри интегрировании уравнений вида(48.10)нет необходимостипредварительно приводить их (но можно) к видуновкасразу преобразует уравнение(48.9)(48.10)(48.8):подстав уравнение с разделяющимися переменными.Прu.мерНайти общий интеграл уравнения48.6.(х 2Qу 2 ) • dx-+ 2ху .
dy= О.Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х; у)= х2-=у 2 И Q(Xi у) = 2ху=Положим уи· Х.- однородные функции второго порядка.Тогда dy = Х· du + и . dx. Подставляем в исходноеуравнение:(х 2-+ 2х . их . х . du + 2х . их . и . dx,(1 - и + 2и ) . dx + 2их . du = О,(1 + и ) . dx + 2их . du = О,и 2 х 2 ) . dxх222З2последнее-::::-уравнение с разделяющимися переменными. Делим пере-менныеdx2и-+--·du=О2х1+ии интегрируемlп Ixl+ lп(1 + иОбозначим С2= e Cl ,) =СCl,> О.ln(lxl' (1 + и 2 )) =Ixl(l+и2) = eCl •ТогдаIxl .
(1Заменяя и на '11., получаем: ххCl,2+и+у22) = С.= сх -уравнения.333общий интеграл исходногоОтметим, что данное уравнение можно было сначала ·-привести,·.Квиду (48.8):.у2 _ х 2dydx= 2ху'Затем положить у = и· х, тогда у' = и'х + u и т. д.3ame-ч.а'Н,uе. Уравнение вида у' = f ( ах:;у : /alxlY•СlЬ 1 , Сl -числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными . Для этого вводят новые переменныеу), где а, Ь, с, al,= v+(3, где а и (3 -uиv,положив х=и+а,числа. Их подбирают так, чтобы уравнение сталооднородным.Прu.мерт.
е. уQ,48.7.Найти общий интеграл уравнения(х + 2у + 1) . dx +2у + 1=2l'+ у - 1) . dy= О,х+у-Решение: Положив ху(2хх,dyПодберем а иu + а + 2v + 2(3 + 12u + 2а + v + (3 - 1dvdu= dx(3= u + а, у = v + (3, получае~:dx = du, dy = dVju+ 2v + (а + 2(3 + 1)= 2и + v + (2а + (3 -1)'так, чтобы{Находим, что аа+2 fЗ +1=0,2а+ fЗ -1= о.= 1, (3 = -1 . Заданное уравнение примет видdvduи+ 2v= 2и + vи будет являться однородным. Его решение получается, как это былопоказано выше, при помощи подстановкиего, следует заменитьполучим (у-х+2)3uиvv= tu.соответственно на х= с(х+у) -Заметим, что, решив- 1и У+ 1.В итогеобщий интеграл данного уравuения.•48.4.
Линейные уравнения. Уравнение я. Бернулли~Дифференциальное уравнение первого порядка называется Jl.инеt:tны.м, если его можно записать в видеу'+ р(х) . у == g(x),(48.11)где р(х) и g(x) - заданные функции, в частности - постоянные.Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ее производная у'входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.Рассмотрим дваметода интегрирования ДУИ. Бернулли и метод Лагранжа.334(48.11) -методМеТОА И, БернуллиРешение уравнения(48.11) ищется в виде произведения двух дру= и . v,гих функций, т.
е. с помощью подстановки Угде и= u(х)инеизвестные функции от х, причем одна из них произвольv = v(x) -на (но не равна нулюдействительно любую функцию у(х) можно-.записать каку(х)у(х) = v(x) . v(x) = u(х) . v(x),гдеv(x)i:-уравнение+ u · v'. Подставляя выражения у и у' в. v + U· v' + р(х) . u· v = g(x) илии' .
v + u· (v' + р(х) . v) = g(x).(48 .12)О). Тогда у'(48.11),= и' . vполучаем: и'Подберем функциюv = v(x) так, чтобы выраЖение в скобках былоравно нулю, т. е. решим ДУ v' +p(x) · v = О. Итак, ~~ +p(x)·v = О, т. е.dvv= -р(х) . dx.Интегрируя, получаем:Ivllnр(х)= - /Ввиду свободы выбора функцииv =. dx+ ln IcI-v(x), можно принять с= 1. Отсюдае-'-fр(ж).dж.Подставляя найденную функциюvв уравнение(48.12),получаеми'· e-fР(Ж)dЖ = g(x).Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:du .
е- f p(x)·dx = g(x),dxdu = g(x) . е+ f p(x) .dxdx,и = / g(x) . efp(x).dxdx+ с.Возвращаясь к переменной у, получаем решениеy=U'v=исходного ДУПр'U.мерQи'(/g(х).еfР(Х)'dЖdХ+С) ·e-fР(Ж).dХ(48.11).48.8.Проинтегрировать уравнение у'+ U·(v'+ 2xv)-dvv = - 2=Х·=- = 2х . еХ2,1n 1v 1 = -х 2 ,dх,Теперь решаем уравнение и'dudx. е-Хdu=/2V = е- ж2+ u· 0= 2х,2х.ех2.'dx,Итак, общее решение данного уравнения есть ут. е. у+ 2ху = 2х.U· v. Тогда и' . v + U· v' + 2х· UV2х, т. е .= 2х. Сначала решаем уравнение v' + 2х· v = О:Решение: Полагаем у.v(48.13)= 1 + с . е _х2 .т. е.и== е х2 + с.U· V=(е Х2+ С) .
е-Х2•335,МеТОА Лагранжа (меТОА вариации произвольной постоянной)Уравнениеинтегрируется следующим образом.(48.11)Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е.уравнение у'+ р(х) . у=О. Оно называется лuне1Jны-м однородным ДУпервого nоряд'/Са. В этом уравнении переменные делятся:dyу= -р(х)· dxТаким образом,иln lyl=-1р(х)·dx+ ln ICll.It I = е- J p(X)'dx, т. е.Y=±Cle-Jр(х).dхилигдеy=c·e-Jp(x).dx,с=±сl.Метод вариации произвольной постоянной состоит В том, что постоянную С В полученном решении заменяем функцией с(х), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
