Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ОУз = -с\еХ+ С2еХ СОБ 2х + сзеХ sin 2х,2С2еХ sin 2х + 2сзеХ СОБ 2х,+ ЗС2еХ cos 2х + ЗсзеХ sin 2х.-ВыдеЛИI\.j частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных сl , С2, сз:7 = Сl + С2 + О,2 = О - О + 2сз,{1 = -Сl + 3С2 + О,===>= 5,сlС2= 2,сз= 1.Следовательно, искомое частное решение имеет видУl = 5еХ+ 2еХСОБ 2хУз+еХ= -5е + 6еХХУ2 = -4е Бin 2хcos 2хСлу'Ч.аi1.сти т (тХsin 2х,3. Характеристическое= 2,3).
Решение системы,+ 3еХ+ 2еХСОБ 2х,sin 2х.уравнение имеет кореньk•кратносоответствующее кратному корню,следует искать в виде :а) если т= (E+Fx)ekx=2, то У\=(А=+ Bx)e kX , У2(С+ Dx)e kX , УЗ=;б) если т = 3, то Уl = (АУз = (С + Нх + Nx 2 )e kx .+ Вх + Cx 2 )e kX , У2 = (D + Ех + Fx 2 )e kX ,Это решение зависит от т произвольных постоянных . ПостоянныеА, В, С,...
, Nопределяются методом неопределенных коэффициентов.Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно одиниз них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т линейно независимых частных решений системыПрu.мер52.5.(52.6).Решить систему уравнений:~=УI-dx" =Уl+ У2!d1/2У2 + Уз ,-•уз,~ = -У2 + 2уз·QРешение: Составляем и решаем характеристическое уравнение1-k1О-11-k-13761-12-k=О,(1- k)(2 - 2k - k + k 2 -1) -1( -2 + k + 1) = о, k1 = 2, k 2k1 = 2 соответствует система (см. (52.8)) :{-а 1аl- (31 + 1'1 = о,- (31 - 1'1 = о,аl= о,-(31= 1. Корнюо,{(31 ===}= kз= о.-1'1Полагая1'1 = 1, находим аl = 1. Получаем одно частное решение исходной системы: y~I) = е 2Х , y~I) = о, y~l) = е2Х.Двукратному корню k = k 2 = k з = 1 (т = 2) соответствует решение вида у;2,з) = (А + Вх)е Х , у~2,з) = (С + Dx)e X , у~2,з) = (Е + Fx)e x .Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:{+ (А + Вх)е Х = (А + Вх)е Х - (С + Dx)e + (Е + Fx)eD .
еХ + (С + Dx)e = (А + Вх)е + (С + Dx)e(Е + Fx)eXXXF· е + (Е + Fx)e = -(С + Dx)e + 2(Е + Fx)e ,В. е ХXХXXX-X,,Хили, после сокращения на е Х{:::1о и группировки,= о,= о,Е = о.(D - F)x + В + С - Е(В - F)x + А - D - Е(D - F)x + С + F -Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когдаD - FВ- F= о,= о,В+С-Е= о ,А- D -Е= о,С+F-Е= о.Выразим все коэффициенты через два из них (трез А и В. Из второго уравнения имеемF= В.= 2),например чеТогда, с учетом перD = В.
Из четвертого уравнения находим= А-В. Из третьего уравнения: С = Е - В, т. е.вого уравнения, получаемЕС=А- D, т.= А - В - В,е. Еили СПолагая А= 1,Полагая А= о,= А-2В. Коэффициенты А и В= о, находим:В = 1, находим:В-произвольные.С= 1, D = о, Е = 1, F = о.С= -2, D= 1, Е = -1, F = 1.Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корнюУ(2) _ еХ1-'УР) =хе Х ,k= 1:у(2) _ еХ2-'у;3) = (-2+х)е Х ,у(2) - е Х3-У~З)и= (-l+х)е Х .Записыва€м общее решение исходной системы:Уl = сl е 2Х+ С2еХ + сзхеХ, У2 = С2еХ + сз (х Уз = Cle 2x + С2еХ + сз(х - l)е •Х2)е Х ,4tГлава XI . .t:~ВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕИНТЕГРАЛЫI Лекции 44-46I§ 53. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ53.1. Основные понятия и определенияОбобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл .Пусть в замкнутой областиуплосDкости Оху задана непрерывная функцияz=f(x ; у).Разобьем область«элементарных областей» D i (iнаDn= г,n),площади которых обозначим через6..5i,а диаметры (наибольшее расстояни е между точками области)ох6..5i-через d i (см.Diвыберем про214).В каждой областиРис.нарис.извольную точку Mi(Xi; Yi), умножимзначение f(Xi; Yi) функции в этой точке214и составим сумму всех таких произведений:ni=l(53 .1)Эта сумма называется 'Интегралъноi1 cYMMoi1 функциистиf(x;у) в облаD.Рассмотрим предел интегральной суммы(53.1), когда n стремитd i -+ О .
Если этот пределразбиения области D на чася к бесконечности таким образом, что тахсуществует и не зависит ни от способасти , ни от выбора точек в них , то он называетсяот функции f (x; у) по области D и обозначается!!j(x ;Y)d5) .aBOi1HblM 'Интеграло,м,!!f(x;у) dx dy (илиDD§Таким образом , дво1J:н.оЙ интегра.n, определяется равенством!!j(x ; у) dx dy= ,,1~-tIIJoВ этом случае функцияоб.n,астиD; D -(53.2)i·(maxd;--tО) ;=1D~nL j(Xi ;Yi) ·6..5f(x;у) называется интегрируе.моЙ воб.n,астъ интегрирования; х и у.менные интегрирования;dx dy(илиd5) --nереэ.n,е.мент n.n,ощади .ДЛЯ ВСЯКОЙ ли функцииf(x;у) существует ДВОЙНОЙ интеграл? Наэтот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесьбез доказательства.Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции).Если функцияz = f(x;у) непрерывна в замкнутой областиD,то онаинтегрируема в этой области.3а,м,е"tан:uя.'/ко функции, непрерывные в области инте/грирования, хотя двойной интеграл можетсуществовать не только для непрерывныхфункций.У;ла следует, что для интегрируемой в областифункцииDсуммсуществуетпределине;'......отспосо!::.Х;оба разбиения области .
Таким образом, мыDРис.на площадкипрямыми, параллельными координатным осям (см. рис .D..Si = D..x; . D..Yi,,/\!интегральныхзависитможем разбивать областьr--...!::.SilИз определения двойного интегра2.-уДалее будем рассматривать толь1.равенство(53.2)х215215).При этомможно записать в виде11JJ f(x ;У) dx dy =1IIJon1L !(Xi; Yi) . D..x; . D..Yi·(maxd.->O) i=1D53.2. Геометрический и физический смысл двойногоинтегралаРассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.Объем цилиндрического телаРассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью~ О, снизу-замкнутой областьюDz = f(x; у) ~- цилинплоскости Оху, с боковдрической поверхностью, образующая которой параллельна осинаправляющей служит граница областиD(см.
рис.называется 'Цuлu'Ндрu"tес'К'U,м, . Найдем его объемобласть216).Oz,аТакое телоv. Для этого разобьемD (проекция поверхности z = f(x ; У) на плоскость Оху) произвольным образом на n областей D i , площади которых равны D..S; (i == г,n). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями D i , ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x; у) (на рис. 216 один из379них выделен). В своей совокупности они составляют телообъем столбика с основаниемDiчерезV.Обозначивполучим.6.
V;,nV=L.6.V;·z;=1z=!(X;Y)Возьмем на каждой площадкевольную точкуMi(Xi; Yi)D;произи заменим каждый столбик прямым цилиндром с темже основанием,~Diи высотой Zi= j(Xi; Yi).Объем этого цилиндра приближенно ра!(Xi; Yi)вен объемука, т. е ..6. V;.6. V;~цилиндрического столби!(Xi; Yi) . .6.Si .Тогда получаем:nуV = L.6. V; ~Di=1nL !(Xi; Yi).6.Si.(53.3)i=1Это равенство тем точнее, чем больше чиРис.сло216nи чем меньше размеры «элементарных областей»D i .
Естественно принять(53.3) при условии, что число площадок D i неограниченно увеличивается (n -t 00), а каждая площадка стягивается в точку(шах d i -t О), за объем 11 цилиндрического тела, т. е.предел суммыnVliшn-}-СЮ=(maxd;-tО)или, согласно равенству""'~ !(Xi; Yi).6.S i ,i=l(53.2),V =JJ! (Х; У) dx dy.(53.4)DИтак,велu'Ч.uна aeoil:Hozo uнтеграла от неотрuv,ателъноi1. фунх:v,uuравна об15е.му v,uлuндрu'Ч.есх:ого тела.
В этом состоит геометрическийсмысл двойного интеграла .Масса плоской пластинкиТребуется найти массу т плоской пластинкиверхностная плотность,= ,(х; У)D,зная, что ее поесть непрерывная функция координат точки (х; У). Разобьем пластинкуD на n элементарных частей D i(i = г,n), площади которых обозначим через .6.Si . В каждой областиD i возьмем произвольную точку Mi(Xi; Yi) и вычислим плотность в ней:'(Xi; Yi).Если области D i достаточно малы, то плотность в каждой точке(х; У) Е D; мало отличается от значения 'Y(Xi; Yi). Считая приближенно плотность в каждой точке области D i постоянной, равной 'Y(Xi; Yi),можно найти ее массуmi:т; ~ ,( xi;nстинкиравнаDmYi) . 6oSi . Таккак массаmвсей пла-= L mi, то для ее вычисления имеем приближенноеi=1равенствоn(53.5)i=1Точное значение массы получим как предел суммыn -t00 Иmaxdi -t(53.5)при условииО:nm =limn->ОО'~" ,(Xi; Yi)6oSi ,(maxd;->O) i=1или, согласно равенству(53.2),m= 11,(x;y)dxdy.(53.6)DИтак, двойной интеграл от функции ,(х; у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию ,(х; у) считать плотностью этой пластинки в точке (х; у).
В этом состоит физический смыслдвойного интеграла.53.3. Основные свойства ДВОЙНОГО интегралаМожно заметить, что процесс построения интеграла в областидословно повторяет ужезнакомуюнампроцедуруDопределения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. п.35).Аналогичныи свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислимосновные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.1·11 с· f(x;y)dxdy = с· 11 f(x;y)dxdy, с - const.11(11 (х; у) ± f2(X; у)) dx dy = 11 f1 (х; у) dx dy ± 11 f2(X; у) dx dy.DD2.DDD3.
Если область D разбить линией на две облаD 1 и D 2 такие, что D 1 U D 2 = D, а пересечение D 1 и D 2 состоит лишь из линии, их разделяющей(см. рис. 217), тости11 f(x; у) dx dy =11 f(x; у) dx dy + 11 f(x; у) dx dy.DD,D2381Рис.217114.Если в областиимеет место неравенствоDf( Х; у)~ о, то иf(x;y)dxdy ~ о. Если в области D функции f(x;y) и !р(Х;У) удоDвлетворяют неравенству11f(x;у) ~ !р(Х; у), то иf(x; у) dx dy ~11 !р(Х; у) dx dy.D5.D11 d5 = 5 , так как t 6.5 = 5.iD6..=1Если функцияf(x;щадь которой 5, то т5 ~у) непрерывна в замкнутой области11 f(x; у) dxdy ~ М5, где т и М -D,плосоответDственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функциив областиD.f(x; у) непрерывна в замкнутой области D, пло5, то в этой области существует такая точка (хо; Уо), чтоf(x; у) dx dy = f(xo; Уо) ·5.
Величину7.Если функциящадь которой11f(xo;yo)D=~.11 f(x ;y)dxdyDназывают средним значением функции53.4.f(x;у) в областиD.Вычисление ДВОЙНОГО интеграла в АекартовыхКООРАинатахПокажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.Пусть требуется вычислить двойной интегралJ1f(x; у) dx dy, гдеDфункцияf(x;показано в п .у) ~ о непрерывна в области53.2, двойнойD.Тогда, как это былоинтеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностьюz = f(x;у).
Найдем этотобъем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см.(41.6))былопоказано, чтоьV=1S(x)dx,агде 5(х)х-площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а= а, х = Ь -уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.2Положим сначала , что областьDпредставляет собой криволинейную трапецию , огранич е нную прямым и Х= 4?l(X)= 4?2(Х),и утаковы, что4?l(X)причем функции==Ь иа и хкривыми у=4?l(X) и 4?2(Х) непрерывны и~ 4?2 (Х) дЛЯ всех Х Е [а;Ь] (см .
рис.218).Такаяобласть называется nравuлъноi1 в направлении оси ау : любая прямая,параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двухточках.Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох : Х= const, где Х Е[а; Ь].z,,.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:,'... . .... . . .
. ,. . . ',',',' . ...1'·.· .. .. . ... ·.· .·.10:-:-:-: ':-:-:-:':-:-:-:-11.·.·.·.·. ·.·.·.·.·.·.·.·',,1.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·'....... ................. ,........ .......... .... ,у'-:.:-> .. .. . .-:':-: '::<~:i:(:;;}.>:: ; ~2 (X)уоаЬХхРис .Рис .218219в с ечении получим криволинейную трапецию Аве D, ограниченную линиями(см. рис.z= f(x; у),где х =const, z= О,У = CPl (х) И У = СР2(Х)219) .ПлощадьS(x)этой трапеции находим с помощью определенногоинтеграла'l'2(Х)S(x)J=f(x; у) dy.'l'1(X)Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объемцилиндрического тела может быть найден так:ьV= JS (х) dx =ас другой стороны , в п.Jь ( 'l'2(Х)J f (Х; у) dyа53.2)dx.'l' 1(X)было доказано , что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функцииJ( Х; у)~ опо областиD.Следовательно,v=!! f(x;y) dxdy = J( 'PJX) f(x; у) dY ) dx.аD'Р.(Х)ЭТО равенство обычно записывается в видеь!! f(x;y)dxdy = !dx·аDФормула'Р2(Х)!(5з.7)f(x;y)dy.'Р.(Х)представляет собой способ вычисления двойного инте(53.7)грала в декартовых координатах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
