Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Правую часть формулы(53.7)вают двукратны.м (или повторным) интегралом от функцииназыf (х; у)по'Р2(Х)!области D. При этомf(x; у) dy называется внутренним интегра-лом.Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл,т. е. результат первого интегрирования интегрируем по Х в пределах ота до Ь.Если же областькривыми хD ограничена прямыми у= 'Фl (у) ИХ = 'Ф2(У), причем 'Фl (у)т.
е. областьИ У=d(с<~ 'Ф2(У) дЛЯ всех у Е [с;d),d],nравилъная в направлении оси Ох, то, рассекая телоD -плоскостью у=С= const, аналогично получим:dФ2(У)!!f(x;y)dxdy=!dy.!f(x;y)dx.(53.8)1/Jl(Y)DЗдесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.За.ме-чанu.я.1.< О,Формулы(х;у) Е2.(53.7)и(53.8)справедливы и в случае, когдаЕсли областьDправильная в обоих направлениях, то двойнойинтеграл можно вычислять как по формулеле(53.8).3. Еслиf(x;y) <D.областьD(53.7),так и по формуне является правильной ни «по Х», ни «по у»,то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбитьна части , праВИЛl>ные в направлении оси Ох или оси Оу.4.Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интегралевсегда постоянны , а внутренние , как правило, переменные.Прu.м,ер 53.1.
Вычислить JJ(X + 2y)dxdy, где область D ограничена линиями уQРешение: На=хD2= О, х + у -, У2= О.рисунке220 изображенаD. Она правильнаяв направлении оси ·Ох. Для вычисления данобласть интегрированияного двойного интеграла воспользуемся формулой(53.8):1JJ(x2-у+ 2y)dxdy = J dy J (x+2y)dx=оD=Рис.VYj dy(~2 + 2У х) /2- = j С 2 ~ у)2 + 4у _ 2у 2~ 2Y~)dY =УоI__ОVY2205((у - 2)3 + 7· у2 _ 2 . у3 _ 2 . 2 .
у"2 ) /1 ==2·2631= --686+ +74-5о23- -429= 520= 145.'Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулойразбить на две области:J J (хD1и(53.7). Но дляD 2 . Получаем:этого областьDследует+ 2у) dx dy = J J (х + 2у) dx dy + J J (х + 2у) dx dy =DDlD2х21= J dx J (хо2-х2+ 2у) dy + J dx J (х + 2у) dy =оО1j dX'(Xy+y2)lx2 +] dX'(Xy+y2)12-Х==ОО1О12= J (х 3+ х 4 ) dx + J (2х - х 2 + (2 - х)2) dx =о1х )/l + (2х(Х-2)3)/2_-_(х-+х --+45 о33145= (~4 + ~)+ (4 531-~3 + ~3 + о + ~)=~+3320Ответ, разумеется, один и тот же.lЗ Конспек-r лекциlt по высше~ иатематике.
Полный курс2 = 145.'•53.5.Вычисление АВОЙНОГО интеграла В полярныхКООРАинатахДля упрощения вычисления двойного интеграла часто применяютметод подстановки (как это делалось и при вычислении определенногоинтеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интегралр,.Определим преобразование независимых переменных х и у (заменупеременных) какЕсли функции= 'P(U;v)х(53.9)уи= 'Ф(и; 'и).имеют в некоторой областиD*плоскости(53.9)Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуляопределительI(u; v)~~ ~~=Iа функцияf(x;i2JLI(53.10)i2JL 'дидvу) непрерывна в области D, то справедлива фор.мулаза.ме'Ны nере.ме'Н'Ных в aeoi1HOM и'Нтеграле:!!!!f(x;y)dxdy =D(53.11)f('P(U;v);'Ij;(u;v)) ·II(u;v)ldudv.D'ФункциональныйопределительЯ'К:оби или .я'К:обиа'Но.м (Г.
Якобиство формулы(53.11)называется(53.10)-оnределителе.мнемецкий математик). Доказательне приводим.Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовыхкоординат х и у полярными координатамиЕ качестве и иvrи 'Р.возьмем полярные координатыс декартовыми координатами формулами х=r иr cos 'Р,'Р. Они связаныу=r sin 'Р(см.п.9.1).Правые части в этих равенствах-непрерывно дифференцируемые функции.
Якобиан преобразования определяется изI(r; 'Р)= ~~ ~~ I = I со.s 'Р -rsiп'Р I =sш 1/"r cosrI i2JL i2JLдг!!DгдеD* области Df(x; у) dx dy=!!(53.11)какт.'Рд<рФормула замены переменных(53.10)принимает вид:f(r cos 'Р; r sin 'Р) . r . dr d'P,(53.12)D"область в полярной системе координат, соответствующаяв декартовой системе координат.Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, еслиобластьD* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лу= о: и <р = (3, где о: < (3, и кривыми r = Т[ (<р) и r = Т2(<Р), гдеТl (<р) :( Т2(<Р), т.
е. область D* nравuл'Ьн.а.я: луч, выходящий из полюса,чами <рпересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую частьформулы(53.12)можно записать в видеТ2("")(311 Г·f(r cos <р; r sin <р) dr d<p=1 1 г·d<pс>D'т,f(r cos <р; r sin <р) dr. (53.13)("")Внутренний интеграл берется при постоянном <р.охРис.Рис.221222За.ме"tан.u.я.1.Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x 2+ у2);область D есть круг, кольцо иличасть таковых.2.На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены х= r cos <р,у= r sin <р, dx dy = r dr d<p; уравненияD, также преобразуются к полярнымобласти D в область D* не выполняют,линий, ограничивающих областькоординатам.
Преобразованиеа, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования пои <р (исследуя закон изменения 1" иr<р точки (г; <р) при ее отождествлении с точкой (х; у) областиПрu,м,ер 53.2. Вычислитькруг хQ2+ у2:::; 9.11-у2 dx dy, где область D -DРешение: Применив формулунатам:11 }9 - х}9 - х 2D).2 - y 2 dxdy=D(53.12),11 }9 -перейдем к полярным коорди(rcos<p)2 - (rsin<p)2.
rdrd<pD==11 г· ~drd<p.DОбластьDв полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис.222)О:(<р :::; 27Г, О7:( r :( 3.Заметим: областьD -круг-преобразуется в областьгласно формуле(53.13),D* -прямоугольник. Поэтому, соимеем:21Г3JJr,~drdcp= J dcp Jr.~dr=Dо=-1 21Г32' J dcp J (9 оо312т ) 2". d(9 -2т ) =-1 21Г(9 _ т 2 ) 2" . 22' J dcp (3)о310=о1= -321Г! (O-27)dср=9СРI0" =2187r.•О53.б.Приложения ДВОЙНОГО интегралаПриведем некоторые примеры применения двойного интеграла.Объем телаКак уже показано (п.53.2),по формулеv=объем цилиндрического тела находится!! f (х; у) dx dy,Dгдеz = f(x; у) -уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.ПлощаДЬ плоской фигурыЕсли положить в формуле(53.4) f(x;у)=1,то цилиндрическоетело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н= 1.
Объем такоS основания D.Получаем формулу для вычисления площади S области D:го цилиндра, как известно, численно равен площадиs=!! dxdy,Dили, в полярных координатах,Масса плоской фигурыКак уже показано (п.ной плотностью,53.2),= ,(х; у)mмасса плоской пластинкинаходится по формуле=!! ,(x;y)dxdy.DDс переменСтатические моменты и КООРАинаты центра тяжести плоскойфигурып.Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см.могут быть вычислены по формулам41.6)Sx= // y·,(x;y)dxdy иSy= // x·,(x;y)dxdy;DDа координаты центра масс фигурыхсSy= --ипо формуламУсSx=-.ттМоменты инерции плоской фигурыМоментом инер'Ции матерuалъноl1 то-ч,r.;u массы т относительнооси1 называется произведение массы т на квадрат расстояния d точкидо оси, т.
е. /У1/ = m· еР. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:Мх = // у2Му = // х 2.,(x;y)dxdy,D.,(x;y)dxdy.DМомент инерции фигуры относительно начала координатле МО-по форму= МХ + А1у .3аме-ч,анuе. Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла.
Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п.ПрuмерНайти объем тела, огра53.3.ниченного поверхностями хх 2 + у2 + 3z - 7 = о.QРешение: Данноетелопараболоидами (см. рис.{находимх2+ у2Х 2 + у2х22+ у2Z+1=Оограничено223).=Z --двумяРешая систему1,+ у2 = -3z + 7,уравнениелинииихупересечения:= 1, z = 2.двух цилиндрических тел с однимми zzиИскомый объем равен разности объемов(круг х57.3).2=+ у2основаниемРис.223~ 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностя!(7 - х 2 - у2) И Z= 1 + х 2 + у2.Используя формулу (53.4),имеемV= V1 -V2== // ~(7-x2D-y2)dxdy -//(1 +х 2 +y2)dxdy.DПереходя к полярным координатам, находим:Прu.мерментыиSxSy53.4.Найти массу, статические моуи координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эл-2липсом ~рис.224).+ у2= 1 и координатными осями (см .Поверхностная плотность в каждой точке2офигуры пропорциональна произведению координатРис.х224точки.Решение: По формуле (53.6) находим ма.ссу пластинки.
По условию,, = ,(х; у) = k . ху , где k - коэффициент пропорциональности .QМ421--т=111х ·12kxy dx dy=kdxОD=k1у dy = 2 х dx . у21О11222О/I-~44kX )12. 4 х(4 - х ) dx = 'k(8 2х -"'4о2=О22k= 2'оНаходим статические моменты пластинки:Sx=11 уl- TV~2. kxy dx dy = k1хdxОD12У dy= ... =415 k,о/1_ х42Sy=11 х2. kxy dx dy1= k х 2 dxОD1у dy = ... = 185 k.оНаходим координаты центра тяжести пластинки, используя формулыХс--~и у с --~. х - 16 Утm' с - 15' с-~15'•§ 54. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛОсновные понятия54.1.Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
