Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 60
Текст из файла (страница 60)
рис. 248).Q Решение: Запишем уравнение плоскости в виде z=2-2х - ~y.Находим zx' = -2, zy' = -~. По формуле (57.5) имеем:1=у(х -3у+4- 4х - 3у)· V! +4 + ~dxdY =J29= -2-!!(4 -i{l-x)3х-6у)J29dx dy = -2-/1 dx 3/ОDJ29= -2- /О1 .dx(4y - 3ху - 3 у 2)(4 -ОI!(l-x)О3х-6у)dy=~ /1(16= -2з(1 -16х) - 4х(1 - х) - з(1- х)2) dx =о= V29(_16.(I-x)2232_2х2+4.Х3 +16.(I-X)3)1 1333= V29 . •09z.... ..:.:.:.:.j.:.:.:.:.:.:.:"·.·.·.·.·1·.·.·.·.·.·.·.·.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.: ..•.• .
•. : : •. J:.::.~:•: :,. ...... ... ... .. .А ПШ§Ъblill6 1в.. ...•. jРис.Прu.мер57.2..... .. ..Рис.248У249Вычислить1= / / x(y+z)ds,sгде S -часть цилиндрической поверхности х= О, z = 2 (см. рис . 249) .= ~,отсеченнойплоскостями zQРешение: Воспользуемсяформулой(57.6).Посколькуху'---~'ух'-Отоz -,1= / /~.(y+z).Jl+ 1~2y2dYdZ = j/(y+z)dydz=DlDl12=/dy /-1О(у + z) dz1= /-12(YZ21+ z2 ) 10 dy = / (2у +2) dy = 4,-1•Некоторые приложения поверхностного интеграла57.3.IродаПриведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла1 рода.ПлощаДЬ поверхностиЕсли поверхностьSзадана уравнениемплоскость Оху есть областьD,в которойнепрерывные функции, то ее площадьS=Sz = z(x; у), а ее проекция наz(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) -вычисляется по формуле11 ds,5илиS =11 V1 + zx,2 + zy'2 dx dy.DКроме того, поверхностный интеграл применяют для вычислениямассы,координатцентрамасс,моментовинерцииматериальныхповерхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы,= ,(х; у; z).Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей,делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят кпределу при неограниченном измельчении области деления.
Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.Масса поверхностиПусть плотность распределения массы материальной поверхностиесть,1.= ,(х; у; z).Для нахождения массы поверхности:Разбиваем поверхностькоторой обозначим2.SнаnчастейSi, i = 1,2, ... , n,площадь6.Si .Берем произвольную точкуMi(Xi; Yi; Zi) в каждой области Si.Si плотность постоянна и равнаПредполагаем, что в пределах областизначению ее в точке3.МассаmiMi .областиSiмало отличается от массы ,(Х;; Yi;Zi)6.Siфиктивной однородной области с постоянной плотностьюn4.
Суммируя т; по всей области, получаем: m ~L,(Xi; Yi; Zi)6.Si .i=!5.За точное значение массы материальной поверхностиSпринима-ется предел, к которому стремится полученное приближенное значениепри стремлении к нулю диаметров областейSi,т. е .nт. е.т=!! ,(x;y;z)ds.(57.7)5Моменты.
центр тяжести поверхностиСтатистические моменты, координаты центра тroкести, моментыинерции материальной поверхностинаходятся по соответствующимSформулам:МхSx y =!! z·,(x;y;z)ds,Syz=!! (х + ·,(х; у ; ds,M = !! (х + у2) .,(х; у ; ds,sМО !! (х + у2 + z2) ·,(х; У; z) ds.!! х ·,(х; у; z) ds,!!s у ·,(х; у; z) ds,Му =5Sxz =хсSyz=,устПрuм,ерSxz=,т57.3.Zc= !!(y2+ z 2).,(x;y;z)ds,s52z)Z2)52zSxy=,2=тz)sНайти массу полусферы радиусаR,если в каждойточке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки отрадиуса , перпендикулярного основанию полусферы.QРешение: На рисункеуравнение z=JR2 - х 2изображена полусфера радиуса250-у2 ;=,Jx 2+ у2-R.Ееповерхностная плотность полусферы.По формулет=!! J х2(57.7)находим:+ у2 ds =SХJ1+х2R2+ у2 ХD2-х2=RРис.!JJ ху2-у2+R2-х-у2dx dy =JJ JюJ-х (х+ у2+у2) dx dy.22D2502Переходим к полярным координатам:т =R!! J R r - r2r dr d'P = RD42т2!о !о J ю - тR211"2'd'P'1[2R3d1" = - - .22Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки~RJоd = J2" R sш22 .
2rr.у./ R2 _ r 2оr= R sin t:~. Rcos t dt = R2tR cos tJ2"d=1 - cos 2t tо2=R2(~tl! -~sin2tl!) =R2(~-0) 1Г:2•§ 58. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА58.1. Основные понятияПоверхностный интегралного интеграла11 рода ,11рода строится по образцу криволинейгде направленную кривую разлагали на элементы и проеК1: ИРОВали их на координатные оси; знак брали в зависимостиот того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.~Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой являетсяплоскость , эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнениемz = f(x ;y) , где f(x ;y) , fx' и fy' - фу нкции, непрерывные в некоD ПЛОСкости Оху и т.
д.). После обхода такой поверхторой областиности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером OaHOCmopOH:Hei1 поверхности является так называемыйлист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ имоугольникасD(см. рис.ABCD251).CDпрятак, что точка А совмещается с точкой С, а Вt:: ;а:,--1________-----'1:Рис.-251Далее , пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхностив простран стве Oxyz определена непрерывная фу нкция f(x; У; z ). Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхностьSориентирована) разбиваем на частиSi ,гдеi= 1,2, .
.. , n , ипроектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции даiберем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности,или, что то же самое, если нормальсти составляет с осьюOznквыбранной стороне поверх ноострый угол (см. рис.252 ,а) , т. е. COS,i> О;со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (илиCOS,iвид<О) (см. рис.В этом случае интегральная сумма имеет252, 6).nL f(Xi; Yi; Zi) 6Л i,i=!427(58.1)где да;= (S;)Oxy -площадь проекциичие от интегральной су ммы(57.1)Siна плоскость ОХУ.
Ее отлиочевидно .zzо,, ' ,, ,;Lt7aiхоу,, , ,, ,у~хбаРис.Предел интегральной суммы252(58.1)при л= maxdi-t О, если онсуществует и не зависит от способа разбиения поверхностиSi и отII родавыбора точек М; ЕSi,Sна частиназывается nоверх'Ност'Ны,м интеграло,м(по координатам) от функцииj(x ; у; z ) попеременным х и у повыбранной стороне поверхности и обоз начается!! j(x;y; z )dx dy .sИтак,!!s j(x;y;z)dxdyn=l~~ Lj(Хi;Уi;Zi)даi'(n--+оо) i=1Аналогично определяются поверхностные интегралыременным у иzиzIIрода по пеи х:!! j(x;y;z)dydz =!!s j(X i у; z ) dx dz =Snl~ Lj(XiiYi;Z;) ' (Si)Oy z,(n--+оо) i=1nl~o L j(Xi ;Yi ; Zi) . (Si )Oxz'(n--+оо) i=1Общим видом поверхностного интегралаIIрода служит интеграл!! Р(х; У ; z ) dy dz + Q(x ;у; z ) dz dx + R(x; у; z) dx dys(= !!s Р dy dz + !! Q dz dx + !! R dx dY),5где Р,Q, R -5непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхностиS.42Отметим, что если5 - замкнутая поверхность, то поверхностныйинтеграл по внешней cropoHe ее обозначаетсяпо внутренней#'#.s-sИз определения поверхностного интегралаIIрода вытекают сле-дующие его свойства:1.Поверхностный интеграл11рода изменяет знак при пере менестороны поверхности.2.Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностногоинтеграла.3.Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.4.Поверхностный интеграл11 рода по51равен сумме интегралов по ее частямвсей поверхностии525 = 51 + 52(аддитивное свойство),если51 и 52 пересекаются лишь по границе, их разделяющей.5.
Если 51,52,5з - цилиндрические поверхности с образующими,параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то11 R(x;y;z)dxdy 11 P(x;y;z)dydz = 11 Q(x;y;z)dxdz = о.=S,S2S358.2. Вычисление поверхностного интеграла 11 родаВычисление поверхностного интегралаIIрода сводится к вычислению двойного интеграла.Пусть функция5,R(x; у; z) непрерывна во всехz = z(x; у), где z(x; у) -заданной уравнениемция в замкнутой областиD(илиD xy )точках поверхностинепрерывная функпроекции поверхности-5наплоскость Оху.Выберем ту сторону поверхностиосьюOzострый угол.
Тогда .6.O"iТак как5,где нормаль к ней образует с> О (i = 1,2, ... , n).zi = Z(Xi; Yi), то интегральная сумма (58.1) может бытьзаписана в видеnni=1;=1(58.2)Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функцииR(x; у; z(x; у)),непрерывной в областистве>.(58.2)приD.Переходя к пределу в равен~ о, получаем формулу11 R(x;y;z)dxdy 11 R(x;y;z(x;y)) dxdy,=s(58.3)Dвыражающую поверхностный интегралIIрода по переменным х и у через двойной интеграл.
Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю,поверхностиS,то полученный двойной интеграл берут со знаком «минус». Поэтому!! R(Xjy;z)dxdy =±!! R(XjYjz(X;Y)) dxdy.S(58.4)DАналогично!! Q(X; У; Z) dxdz =±!! Q(Xj У(Х; z); z) dx dz,!! P(XjYjz)dydz =±!! p(X(YjZ)jYjz)dydz,гдеD xzиS~.SОу •D yzпроекции поверхности-Sна плоскости(58.5)(58.6)OxzиOyzсоответственно (замкнутые области).в формуле(58.5) поверхность S(58.6) - уравнением Х =в формулезадана уравнением уХ(У;z).выбираются в зависимости от ориентации поверхностимуле(58.5)= у(х; z), аЗнаки перед интегралами(так, в форSберем знак «плюс», если нормаль к поверхности образуетс осью Оу острый угол, а знак «минус»если тупой угол).-Для вычисления общего поверхностного интегралазуют формулыпроектируя поверхность(58.4)-(58.6),SIIрода испольна все три ко-ординатные плоскости:!! Р(х; У; z) dy dz + Q(x; У; z) dx dz + R(xj У; z) dx dy ==±!! p(x(Yjz)jYjz)dydz±±!! Q(Xj У(Х; z) dx dz ±!! R(xj У; z(Xj у)) dx dy.Sо у.z)jDzD zv%Замеча'Н,ие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
