Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Ряд (65.4) представляет искомое частное решение урав(65.2) для тех значений х, при которых он сходится. Частичнаясумма этого ряда будет приближенным решением дифференциальногоуравнения(65.2).Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения(65.2),если Уа и УЬ рассматривать как произвольныепостоянные.Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.Прu.мер65.4.Методом последовательного дифференцированиянайти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд ре-шения уравнения у"= х 2 + у2,у(-l)475= 2, у'(-l) = ~.о Решение: Будем искать решение уравнения в виде"( 1)/1/( 1)(Х+1)2+У 3~ (х+1)3+ ...2..'( 1)1.y=y(-1)+~(x+1)+Y ~Здесь у( -1) = 2, у'( -1) =!.
Находим у"( -1), подставив х = -1 в исходное уравнение: у"(-l) = (_1)2+ 22= 5. Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальноеуравнение:+ 2уу',= 2 + 2(у')2 + 2уу",2хy/l/ =у(4)у(5) = 4у'у" + 2у'у" + 2yy /l/ = 6у'у" + 2yy /l/, ...При Х= -1имеем:у /1/( -1 )1=-2+2·2·-=0,21у(4)(_1)= 2 + 2.4" + 2·2·5 = 22,5,у(5)(_1)= 6·~.
5 + 2·2· 0=215, ...Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:Способ неОПРЕ!Аеленных коэффициентовЭтот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменнымикоэффициентами.Пусть, например, требуется решить уравнение(65.5)с начальными условиями У(Хо) = Уо, у'(:ро) = уь·Предполагая, что коэффициенты Рl (х), Р2(Х) И свободный членf(x)разлагаются в ряды по степеням хром интервале (ха- R; хо+ R),-хо, сходящиеся в некотоискомое решение у= у(х)ищем в видестепенного ряда(65.6)с неопределенными коэффициентами.Коэффициенты со и Сl определяются при помощи начальных условий со = Уа,Cl= уь·Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируемряд(65.6)два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции у и ее производных в уравнение(65.5),заменив в немPl (х), Р2(Х), f(x) их разложениями. В результате получаем тождество,из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты.
Построенный ряд+ R)интервале (хо - R; хоПрu.мер65.5.у"+(65.6)сходится в том жеи служит решением уравнения(65.5).Найти решение уравненияху'+ у = xcosx,у(О) = О, у'(О) =1,используя метод неопределенных коэффициентов.QРешение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:й(х)= Х, Р2 = 1,= xcosx =f(x)x~2. + x~4.x(l-_ ... ).Ищем решение уравнения в виде рядау2= со + CIX + С2х + Сз ХЗ + ...Тогдау' =+ 2С2Х + зсзх2 + 4С4ХЗ + ...
,у" = 2С2 + 2 ·3· СзХ + 3·4· С4х 2 + .. .ClИз начальных условий находим: со= О,= 1. Подставляем полученClные ряды в дифференциальное уравнение:(2С2+ 2·3· СзХ + 3·4· С4х 2 + ... ) + Х(Сl + 2С2Х + зсзх2 + 4С4ХЗ + ... )+2+(Со+ CIX + С2 Х 2 + Сз Х 3 + ... ) =Х46(хх ' - lх ' + ....)1- l ' + l2.4.6.Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Х:= О,ХО :2С2x1+ 2 = 1,3 .
4 . С4 + 2С2 + С2:2·3· Сз.=О,15 . С5 + 3Сз + Сз = - 2"'5 . 6 . С6 + 4С4 + С4 = О,4 .Отсюда находим, что С2С7= - i! '...=С4=с6= ...=О, СзТаким образом·, получаем решение уравнения в видех3х5х7y=x-зт+5Т-7Т+''''Т.е. у= sinx.•ГлаваIРЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕXV.Лекции 56-58'§ 66.66.1.IРЯДЫ ФУРЬЕПериодические функции.Периодические процессыПри изучении разнообразных nерuодu'Ч,ес-х;uх nро'Цессов, т.
е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются(встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории ипрактике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.Напомним, что функция уD,называется nерuодu'Ч,ес-х;оuпри каждом х Еf(x+ Т)D=(0'1.значение (х+f(x), определенная на множествеп. 14.3) с nериодом Т > О, еслиТ) Е D и выполняется равенство= f(x).Для построения графика периодической функции периода Т достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его во всю область определения.Отметим основные свойства периодической функции.1.Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих одини тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.2;Если функцияf(x)имеет период Т, то функцияпериод ~; действительно, f (а.
(х + ~))3.Если функция[ха; Xl] Е IR, тоf(x)= f(ax+ Т)f(ax)имеет= f(ax).имеет период Т и интегрируема на отрезкеа+ТЬ+ТаЬJ f(x) dx = J f(x) dx при любых а и Ь Е [ха; Xl]'о Пусть, например, О< а < Ь < Т,а+ТЬтогдаа+ТJ f(x) dx = Jf(x) dx + J f(x) dx.а(66.1)ьас другой стороны,Ь+Та+ТЬ+ТJ f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx.а+Т47(66.2)Ь+ТььJ f(x) dx = (подстановка х = и + Т) = ! f(и + Т) dи Jf(x) dx.Но=а+ТаqПодставляем полученный результат ва+Ти, сравнивая с(66.2)(66.1),име-Ь+ТJ f(x) dx = J f(x) dx.ема•ЬТВ частности,Ь+ТJf(x) dx = J f(x) dx.оьПростейшими периодическими функциями являются тригономе-трические функциит=sin хиcos х.Период этих функций равен 21Г, т.
е.21Г.Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гар.мО1iи'Чес'Кое 'Колеба1iuе (движение), описываемое функциейуt ;?:О, где А-= А . sin(wt + 410),а.мnлитуда 'Х:олеба1iUЯ,(66.3)'Частота,w -1iа'ЧаЛЬ1iа.я410 -фаза.Функцию такого вида (и ее график) называют npocmoi1 гар.мо'Н.и'X:oi1. Основным периодом функции (66.3) является Т =т. е. одно7:,полное колебание совершается за промежуток времени 21Г (w показыwвает, сколько колебаний совершает точка в течение 21Г единиц времени).Проведем преобразование функцииу(66.3):= Asin(wt + 410) = Asinwtcos41o + Acoswtsin41o = acoswt + bsinwt,(66.4)где а= А sin 410, Ь = А cos 410.
Отсюда видно, что простое гармоническоеколебание описывается периодическими функциямиsinwtиcoswt.Слож'Ное гар.мО1iи'Чес'Кое 'Х:олеба1iuе, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, такжеописывается функциями вида41(t) =Аоsin wtиcos wt.Так, функция+ А 1 sin(t + 411) + А 2 sin(2t + 412) + ... + А зо sin(30t + 41ЗО)=зо= Ао+ L А n sin(nt + 41n)п=lзоили, что равносильно, функция41(t) =Ао+ I: (ancosnt + bnsinnt)п=lзадает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гар-моники есть Т1= 21Г, второй Т2 = 2;, третьей Тз= 2;, ... , тридцатойТзо = ~~, а период функции у = А о (<нулевая гармоника») есть любоечисло, то функция'P(t)имеет период, равный 27Г, т. е.
Т=27Г.Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание(периодический процесс).Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простыхгармоник вида(66.3)или(66.4)?Если да, то как найти неизвестные параметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначалана второй вопрос, а потом·и на первый.66.2. Тригонометрический РЯД ФурьеС помощью так называемого тригонометрического ряда любую(практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.~ТрuгО'I-Lо,м,еmрu-ч,ес7СU,м, ря.до,м, называется функциональный рядвида2а 0 + а] cos х + Ь] sin х + ...
+ а n cos nх + Ь N sin nх + ... =00" а n cos nх + Ьn sш. nх,= 2ао + 'L..-(66.5)n=]где действительные числа ао, а n , Ь N(n= 1,2, ... ) называются 'К:оэффu'Циеnта.ми ряда.Ряд(66.5)можно записать в виде00а; +2: А п sin(nx + 'Рп).(66.6)n=lДействительно, положив а n = А n sin 'Рn, Ь Ncosnx + Ь N sin nх = А n sin(nx + 'Рn); ряд (66.5)при этом А n =+ Ь; и tg'Pn = Ъ:.аnJa;= А n cos 'Рп,получим:принимает вид(66.6),Свободный член ряда записан в виде ~ для единообразия получающихся в дальнейшем формул.Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем.СчитаяmиnтеJ-1Гцелыми положительными, находим:cosnxdx={SinnXnxl1Г-1ГJ sin nх dx = ОI"-1Г = О=27Г(ni О)(n=О),(66.7)]г-1Г4IIРИ любом n,(66.8)J" cosmx· cosnxdx =(m:j:.
n),2 J (cos(m + n)х + cos(m - n)х) dx = {~=J" sin mх . cos nх dx2 J (sin(m + n)х + sin(m - n)х) dx = о,J" sin mх . sin nх dx =-"1(66.9)"=(тn),=-"(66.10)1г1=21-1Г 1 "=(cos(m -n)х - cos(m + n)х) dx={о1г(66.11)(m:j:. n),(т= n).За.ме'Ч,а1iUЯ.1.Формулы(66.7)-(66.11)показывают, что семейство функций1, cos х, sin х, cos 2х, sin 2х, cos 3х, sin 3х, ... ,cos nх, sin nх, ...§обладает своiiсmвом, орmого-налъ-носmu: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину 21Г, равен нулю.2.Формулысправедливы и в случае, когда область(66.7)-(66.11)интегрирования есть отрезок [о; 21Г](см. свойство 3 периодических66.1).Пусть f(x) - произвольная периодическая функция с периодомфункций, п.21Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
