Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 71
Текст из файла (страница 71)
_'.J_C!' _____ 1, . . ~x/:::"U. . t.yO~------/:::"UРис.Е§]= U(х + /:::"х; у + /:::"y;z + /:::"z)(см. рис.268/:::"ЛU(М),илиух= U(Ml ) --U(х; у;z)268). Тогда= IMMll = V(/:::"x)2 + (/:::"у)2 + (/:::"z)2.Проuзводноi1. от фуюсцuu И = U(М) в тО'Ч7СеМ по наnравленuю Л называется пределдUдл=lim /:::"U.6.Л-.о /:::"Л=limMj-.MU(M l ) - U(М)IMMllПроизводная по направлению Л и характеризует скорость изменения функции (поля) в точке ]У! по этому направлению. Если ~~ > О,то функция И возрастает в направлении Х, если ~~ < О, то функцияи в направлении Л убывает. Кроме того, величина I ~~ I представляетсобой мгновенную скорость изменения функции и в направлении Л вточке Л1: чем больше I ~~ 1, тем быстрее изменяется функция U.
В этомсостоит физический смысл производной по направлению.2Выведем формулу для вычисления производной по направлению,считая, что функция U(х; у;z)дифференцируема в точке М. Тогда еепОлное приращение в этой точке М можно записать так:аuах!:::J.U =где6,6,6 -ауаu.!:::J.y + az ·!:::J.z + 6!:::J.x + 6!:::J.y + 6!:::J.z,бесконечно малые функции при !:::J.ЛПоскольку!:::J.х!:::J.Uаu·!:::J.x +!:::J.Л=аucos 0:, !:::J.y =аu!:::J.Л = ах cos о: + ау cos.8 +Переходя к пределу при !:::J.Л!:::J.Лсоs/3,!:::J.z =-+О (см.
п.44.3).!:::J.Лсоs" тоаu-+az cos, + 6 cos о: + 6 cos /3 + 6 cos f.О, получим формулу для вычисленияпроизводной по направлению:аuаuаuаuдл = дх coso: + ау cos,B + дz cos,.(70.2)В случае плоского поля И = U(х;у) имеем: cos/3 = cos (~-o:)О. Формула= sin 0:, COS, =аu(70.2)принимает вид:аuаu.ал = ах coso: + ау sшо:.3а.ме'Ч,а1tuе.
Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных ~~, ~~, ~~. Их можно рассматривать как производные от функцииuпо направлению координатныхосей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Х совпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) о: = О, /3 = ~,"v -I-1[2'получим аu _ аu1алПрuм,ер 70.1.точке М(О;Q1; 2)-ах'Найти производную функции И = х 2в направлении от этой точки к точке М !+ у2 - 4yzв(2; 3; 3).Решение: Находим вектор М j\1 j и его направляющие косинусы:MM j =(2;2;1),2COSO:=J4+4+12з'2cos/3=3'1cos'=3'Находим частные производные функции и вычисляем их значения вточке М:аuах = 2х,аUI = 2· О = Оах м'аuау= 2y-4z,аuI =2ау м4.2аuдz= -4у,= -6.' аuI --4 .az м -Следовательно, по формуле(70.2)~~ 1м = о· ~ -имеем:6·~-4·~ = - 1з6.Поскольку ~~ < о, то заданная функция в данном направлении убывает.•70.3.
Градиент скалярного поля и его свойстваВ каком направлении Х производная ~~ имеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.Можно заметить, что правая часть равенства(70.2)представляетсобой скалярное произведение единичного вектораё= (соsа;соs,в;соs,)и некоторого вектора g- = (дU. дU. дU).дх' ду' Bz~Вектор, координатами которого являются значения частных про-изводных функции U(х; У;z) в точке М(х; У; z),ентом фун?С'Ции и обозначают grad И т. е.
grad И,илиназывают гради-=(дU. дU . дU)дх' ду' Bz 'г----------------------,дU дU gradU = дX i + дi)jОтметим, чтоgrad ИдU+ дZk.есть векторная величина. Говорят: скалярноеполе И по рождает векторное поле градиентаu. Теперь равенство (70.2)можно записать в видедU= ё· gradU,длилимеРис.~алЛ269Из формулыдUал =аu-где ({J -угол между векторомнием Х (СМ. рис.(70.3)Igrad UI . cos ({J,grad И(70.3)и направле-269).сразу следует, что производная по направлениюдостигает наибольшего значения, когда COS ({J= 1,т. е. при ({J=о.Таким образом, направление градиента совпадает с направлением Х,вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т.
е. градие'НтфУ'Н'Ii:'Ции У'li:азывает 'Наnравле'Ние 'Наибыстреuшего возраста'Нuя ФУ'Н'Ii:'Ции. Наибольшая скорость изменения функции И в точке М равна504в этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.Приведем важные1.ceoiJ.cmeaградиента функции.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.О Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня(И = с) ~~ = о.
Но тогда из (70.3) следует, что cos ер = о, т. е. ер =~. •2. grad(U+ V)3. grad(c·И)4. grad(U . V)+ grad V,= grad И= с· grad И, с = const,= и grad V + V grad И,И) _ V grad И - И grad V5 . gra d( VV2,6. gradF(U) = !!..L8U gradU.о Доказываются эти свойства на основании определения градиента.Докажем, например, последнее свойство. Имеем:grad 1(U)8-= 8х (f(U))i +818U ~8-8у (f(U))j818U .,= 8U .
8х z + 8U . 8у . J8-818U . 8z . k=+ 8z (f(U))k+ 8U81= 8U. grad u.•За.ме'Чанuе. Приведенные свойства градиента функции остаютсясправедливыми и для плоского поля.Прu.мерИQНайти наибольшую скорость возрастания функции70.2.= ;rУ + у.z + ~хв точке А(-l·l· -1).' ,Решение: Имеем:gl'ad И =(1- - -z2 ) z~ + (-х~Уху2gгаdU(-l; 1; -1) = 221) ., + (-у + -1) -+Z+ о] -J~Z22т. = 22-Хk;2k.Наибольшая скорость возрастания функции равнаI gradU(A)1 = J4 + О + 4 = 2V2.Отметим, что функция И будет убывать с наибольшей скоростью(2..)2), если точка А движется в направлении - gradU(A)(антиградиентное направление).-2; + 2т.•§ 71.71.1.ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕВекторные линии поляРассмотрим векторное поле, задаваемое вектором а = ЩМ). Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.~Be~тopHOU .ltиниеu поля а называется линия, касаТ€льная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующегоей вектора а(м).Это понятие дляконкретных полейимеет ясныйфизическийсмысл.
Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линиитока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будутлинии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется ве-к;mор'Ноi1 mруб-к;оi1.Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поляа = Р(х; у; z)iz+ Q(x; у; z)J + R(x; у; z)kописываютсяа(М)системой(71.1)дифференциальных уравнений видаdxР(х; у;оуz)dyQ(x; у; z)о Действительно, пустьdzR(x; у; z)'(71.2)PQ -векторная линия поля, r = il + у} + zk - еерадиус-вектор.
Тогда вектор dr = dx . ++ dy . } + dz . k направлен по касательнойzхРис.270к линииPQв точке М (см. рис.270).В силу коллинеарности векторов а и dr следует пропорциональность их проекций, т. е. равенстваПрu.мер71.1.(71.2).•Найти векторные линии поля линейных скоростейтела, вращающегося с постоянной угловой скоростью [J вокруг осиQ Решение: Это поле определено вектором 17мер 69.2). Согласно (71.2), имеем:dx-wydywxdzОили506= -wyz + wxJwx dx = -wy dy,{ О· dy = wxdz.Oz.(см. приИнтегрируя, получим:{Х 2 + у2 = С1,z=т. е. векторные линии данногоС2,поля представляют собой окружности с центрами на осиOz,лежащиев плоскостях, перпендикулярных к этой оси.•ПОТОК ПОЛЯ71.2.Пусть векторное поле образовано вектором(71.1).Для наглядности будем считать а(М) вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно.
Представим, что некоторая поверхность5находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какоеколичество жидкости протекает через поверхность5.Выберем определенную сторону поверх-ности5. Пустьединичныйваемойfiвектор=(СОSD:;СОS,В;СОS,) -нормаликстороне поверхностиповерхностьнаа(М;)рассматриРазобьем5.элементарныеплощадки51,52,'" , 5п , Выберем в каждой площадкеM i (i = 1,2, ... , n) (см. рис. 271) и выточкуs_--__числим значения вектора скорости а( М) вкаждой точке: а(М 1 ), а(м2 ), ... , а(Мп ).БудемприближенносчитатькаждуюРис.271площадку плоской, а вектор а постояннымпо модулю и .одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогдаза единицу времени черезженно равное~5iH i . b.5i ,протекает количество жидкости, приблигде b.S i площадь i-й площадки, H i i-ro цилиндра с образующей a(Mi ).
Но H i является проекциейвектора a(Mi ) на нормаль fii: H i = ПРn,а(Мi ) = a(Mi ) . fii, где fii единичный вектор нормали к поверхности в точке M i . Следовательно,общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность 5 заKiвысотаединицу времени, найдем, вычислив суммуnК ~L a(Mi ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
