Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 72
Текст из файла (страница 72)
fii .b.5i .i=1Точное значение искомого количества жидкости получим, взявпредел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметровплощадок):nК=1I1JonlL a(M(maxd,->O) i=1i ) . fii .b.5i= JJа(М) . п· ds.5diНезависимо от физического смысла поля а(М) полученный интеграл называют потоком векторного поля .~Пото~ом, вe~тopaii'Через поверхностьSназывается интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля наединичный вектор нормали к поверхности , т.
е.К=JJ iinds .(71 .3)sРассмотрим различные формы записи потока вектора . Так как(см.(6.2)),то(71.4)sгде а n -проекция вектора а на направление нормалиn, ds -диффе-ренциал (элемент) площади поверхности.Иногда формулу(71.3)записывают в видеК=JJads,sIdsl = ds.n = (соsа: ; соs,в ; соs ")'), а= (P;Q ; R), где Р = P(x;y;z),Q = Q(x; у; z) , R = R(x; у ; z) - проекции вектора а на соответствующиекоординатные оси, то поток (71 .3) вектора а, можно запи с ать в видегде вектор ds направлен по нормали к поверхности, причемТак какК= JJ(Р cos а. + Q соs,в + R cos ")') ds.sИспользуя взаимосвязь поверхностных интеграловформулу(58.8)),1 и IIрода (см.поток вектора можно записать какК= JJ Р dy dz + Q dx dz + R dx dy.(71.5)s~Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина.
Величина К равна объему жидко сти , которая протекает чер ез поверхностьSза единицу времени . В этом состоит физический смысл потока(независимо от физического смысл а поля).Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнутаv . Тогда поток вектора записываетсяаn ds или f а n ds, ... ) .и" ограничивает некоторый объемв виде К =fj аЛ ds (иногда fsssВ этом случае за направление вектораnобычно берут напра-вление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности(см. рис.272).S= а(М) есть поле скоростей текущей жидкоЕсли векторное поле iiсти, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разностьмежду количеством жидкости, вытекающей из областиV(объемаи втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхностивекторные линии выходят из объемавекторомiiострый угол ивходят в объем, а·ii .n >5,V)гдевнешняя нормаль образует сV,О; в точках, где векторные линииn < О).> О,При этом если Кто из областиVвытекает больше жидкости,чем в нее втекает.
Это означает, что внутри области имеются дополнительные 'UсmО'Ч1i'U'Ii:'U.Если К<О, то внутри областиVимеются cmo'li:'U, поглощающиеизбыток жидкости.Можно сказать, что источникиначинаются, а стоки-точки, откуда векторные линииточки, где векторные линии кончаются. Так, в-электростатическом поле источником является положительный заряд,стоком-отрицательный заряд магнита (см.
рис.Если К=О, то из областиV273).вытекает столько же жидкости,сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нетни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимнокомпенсируется.z((?~i'iРис.n1ву~~Рис.272Рис.273Пример 71.2. Найти поток вектора ii=z .i -274х . J+ у .k черезверхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости 3хQ+ 6у -2z - 6=Ос координатными плоскостями (см. рис.274).Решение: Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости.
Для этого воспользуемся формулойслучае Р= z,Q =-х,К=R=у. Имеем:JJ z dy dz sх dx dz + у dx dy.(71.5).В нашемРасчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затемсведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль кверхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осьюОу -тупой, а с осью Oz -плоскости естьfi=острый угол. (Единичный вектор даннойk);± ( ~ i + ~J - ~на верхней стороне cos"Y > О,поэтому надо выбрать знак «минус»; получим : cos а:= - ~, cos (3 = - ~,_ 2 )cos')' - 7'= К1Итак , КК1 =11+ К2 +z dy dzК з .
Находимz dy dzк2 = -11 хdx dz=51 1=11=-ВОС5О111=-К2 , Кз :K 1,dyО11= ... = -3dz= ... = 2,ОxdxАОСо1122'зу-з2xdxdzzdzЗх -6-26-ЗхКз =11ydxdy=5АОВВ результате имеем: КПрu.мерчерезydxdy71.3.внешнюю=-6-1 1dx= ~ + 2 + ! = з~.поверхностиесли известны радиус основанияQfzпрямого кону0(0; О; О),и высота кону са275).Решение:К=Rff Tnds = 11Tnds+11Tnds= K 1 + К2 ·у5бок . пОВ.ОСн.Очевидно, что К 1 = О, Т. к. прn:f = О;К2 =111'"ds=Н ·ОСН.Т. к.
прn:f71.3.3•Найти поток радиус-вектор асторону1= ... = -.ООса, вершина которого совпадает с точкойН (см. рис.ydy= Н.Итак, К11dsРис.= Н .nR2275,ОСН.•= nHR2 .Дивергенция поля. ФормулаОстрограАского-ГауссаВажной характеристикой векторного полязываемаядивергенция ,характеризую щаяность источников и стоков п оля .510(71.1)ЯDляется так нараспределе ниеиинтенсив~Дuверген:цuе1J. (или расходимостью) ве'ICmорного поляа(М)= Р(х; у; z )i + Q(x; у; z)J + R(x; у; z)kв точке М называется скаляр вида дР+ aQ + aR и обозначаетсядхдуazсимволомdiv а(М), т.
е .. _dJva(M)=дРдхaQaR+ ду + az'(71 .6)Отметим некоторые ceoi1cтea дивергенции .1. Если а - постоянный вектор, то div а = О .2. div( с . а) = с· div а, где с = const.3. div(a+b) = diva+di"b , т. е . дивергенция суммы двух векторныхфункций равна сумме дивергенции слагаемых.4.Если И-скалярная функция, аdiv(U . а)-вектор, то= И . div а + а grad U.Эти свойства легко проверить, используя формулужем, например, справедливость свойстваа Так как u· аdiv(U·= u· р. i +(71.6).Дока4.u· Q.
J + u · R · k, тоа) = ~(U'Р) + ~(U'Q) + ~(U' R) =дхдуaz=u дР +р дU +U aQ +QaU +UaR+RaU =дхдхдудуazaz=u(дР +aQ +aR) +рдU +QaU +RaU =дхдудхazдуaz= И . div а + а · grad И.•Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гауссаfff(~= + ~~ + ~~)dV!fPdydz+Qdxdz+Rdxdy=s(71 .7)vв так называемой векторной форме .Рассматривая областьV,ограниченную замкнутой поверхностью5, ввекторном поле (71 .1) , можно утверждать, что левая часть формулы (71 .7) есть поток вектора а через поверхность 5 ; подынтегральнаяфункция праDоJ;! части формул ы есть дивергенция вектора а. Следовательно, формулу(71.7) можно записать в видеff а" ds = fff di v а .
dv5V(В котором она чаще всего и встречается).11(71.8)liIФормула Остроградского-Гаусса означает, что потт;; ве'/Сторного no.ll.R 'Через зам'/Снутую nоверхностъS(в наnравле'Нии в'Неш'Неi1'Нор,мали, т. е. изнутри) раве'Н mpoi1noMY и'Нтегралу от диверге'Нции этого no.ll.R по об'М,муогра'Ни'Че'Н'Но,му aaHHoi1 nоверх'Ностъю.V,Используя формулу(71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля а(М) в точке Л1 (не связанное с выбором координатных осей).По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п.54.1)имеем:JJJ di~ а(М) dv = V . div а(Мо ),vгде Монекоторая (средняя) точка области-можно переписать в видеV. Тогда формулу (71.8)ff andS = V· diva(Mo).
Отсюда5. diva(M )o= \11 # а n ds.5Пусть поверхностьSстягивается в точку. Тогдаи мы получаем выражение дляdiva(M)1diva(M) = Iim vv-+o~V -+О, МО-+М,в точке М:# а n ds.(71.9)5Дuверге'Н:цuеu ве-к:тор'Ного nоJI..Я. в точке j'vf называется пределотношения потока поля через (замкнутую) поверхностьокружаS,юшую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, приусловии, что вся поверхность стягивается в точку МОпределениеопределению(71.9)(71.6).(V -+О).дивергенции эквивалентно (можно показать)Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точкеявляется скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данномвекторном поле.Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что а(М) есть поле скоростей фиктивного стационарного потоканесжимаемой жидкости), можно сказать, что: приdiva(M)>О точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; приdiva(M) <О точка Л1 есть сток, поглощающий жидкость.
Как следуетиз равенства(71.9),величинаdiv а(М)характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоитфизический смысл дивергенции.Понятно, что если в объеместьюS,V,ограниченном замкнутой поверхнонет ни источников, ни стоков, тоdiv а= О.Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равнанулю, т. е.diva(M) ==О, называется соле'Ноидалъ'Н:ы,м (или трубчатым).ПР'/J..М,ер 71.4.VНайти дивергенцию поля линейных скоростейЖИДКОСТj1, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси сW.постоянной угловой скоростьюQРешение: Примем ось вращения жидкости за оськазано ранее (см .
при мер 69.2),-Vаdiv V(M) = ах (-wy)Поле+аау (wx)Oz.+ О . k.а+ az (О)Тогда, как поИмеем:= о.•соленоидальное.V-71.4.= -wyz + wx]Циркуляция поляП ус тьвекторомвекторное(71.1).полеzобразованоВозьмем в этом поле некоторую замкнутую кривуюи выберемLна ней определенное направление.Пусть f=xl+ у] + zk -радиусвектор точки М на контуреL. Известно ,что вектор dr = dx·l + dy . ] + dz . k напраувлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
