Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 73
Текст из файла (страница 73)
276) и Idrl == dl, где dl - дифференциал дуги кривой (dl = J(dx)2 + (dy)2 + (dZ)2).~Рис.Криволинейный интеграл по заМКНУ:9МУ контурупроизведения вектора а на векторdr,L276от скалярногокасательный к контуруназывается цuрку.л.яцuеii. вектора а вдольL,L,т.
е.(71.10)Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так кака · drгде а т -= Idrl· ПРdrа = а т . dl = Р dx + Q dy + Rdz,проекция вектора а на касательную т, проведенную в направлении обхода кривойL,то равенствос(71 .10)= f а т • dl ,можно записать в виде(71.11)Lили(71.12)17 Конспеп nеКЦllЙ ПО высшей математllке. Полны"курс~Циркуляция С, записанная в видеский смысл; если криваяляция-L(71.12)имеет простой физичерасположена в силовом поле, то циркуэто работа силы а(М) поля при перемещении материальнойточки вдольL(п.56.5).Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярноепроизведение iidr сохраняет знак; положительный, если направлениевекторательныйii совпадает с направлением- в противном случае.обхода векторной линии; отрицаПрu.мер 71.5.
Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. при мер 69.2) V = -wуI + wx] вдользамкнутой кривойL,лежащей в плоскости 0:, перпендикулярной осивращения.QРешение; Будем считать, что направление нормали к плоскости о:совпадает с направлением осиOz.Согласно формуле(71.12),имеем;f -wy dx + wx dy w f -у dx + х dy == 2с.; (~ f -у dx + х dY) = 2с.; . S,С==LLLгдеплощадь поверхности, ограниченной кривойS -Заметим, что если нормаль к поверхностиOz,то циркуляция будет равна СSL(см.56.17).образует угол, с осью= 2w· S· cos,;с изменением угла,величина С изменяется.•zПрu.мер71.6.Вычислить циркуляцию век1Сторного поляii= (х -вдольпериметраА(1; О; О), В(О;Q2z)I + (х1; О),+ Зу + z)] + (5х + y)kтреугольникаС(О; О;1)Решение; Согласно формулеС=с(см.
рис.вершинами277).(71.12),имеем;Рис.277f (х - 2z) dx + (х + Зу + z) dy + (5х + у) dz = J + J + JАВLНа отрезке АВ; х+ у = 1, z = О,оВСследовательно,ЗJ = J(х - О) dx + (х + З - Зх + О) . (-dx) + 0= 2·АВ]14СА+ z = 1, х = О,На отрезке ВС: у.следовательно,оJ J(О - 2 + 2у) . О + (О + 3у + 1 - У) dy + (О + у) . (-dy) = - ~.=ВС1На отрезке СА: х+ z = 1,У= О, следовательно,1J = J(х - 2 + 2х) dx + О СА1(5х + О) . (-dx)= -3.оСледовательно,J + J + J = ~ + ( - ~) + (-3)fС=АВСА71.5.~АВВС= -3.СА•Ротор поля. Формула СтокеаРотором (или вихрем) ве1Сторного nОJI,Яа = Р(х; У; z)l + Q(x; У; z)J + R(x; У; z)kназывается вектор, обозначаемый_rot а(М) =Формулуrot а(М)и определяемый формулойQ(aR aazQ ) ~ + (дР- - -aR) ~ + (a- - -дР)-k.az-ду- -(71.13)lJдхдхду(71.13)можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:rota(M) =ijддхддуРQkдazRОтметим некоторые сво1J.сmва ротора.1.
Если а - постоянный вектор, то rot а = О.2. rot( с . а) = с . rot а, где с = const.3. rot(a + Б) = rot а + rot Б, т. е. ротор суммы двух векторов равенсумме роторов слагаемых.4.Если И-скалярная функция, а а(М)rot(U . а)-векторная, то= и rot а + grad ИХ а.Эти свойства легко проверить, используя формулужем, например, справедливость свойства3:(71.13).ПокаИспользуя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см.
п.58.4)формулуСтокса:f Pdx+Qdy+Rdz = 11(~R - ~~)dYdZ+LУ5+Левая часть формулыа по контуру L, т. е.f(дРOZ_ OR)' dxdzдхJ!(5Qдх_ OP)dXdY .ду(71.14)fLВ правой части формулыS,(O(71.14) представляет собой циркуляцию вектораPdx+Qdy+Rdz =aTdl (см. (71.11)). ИнтегралLчерез поверхность+(71.14)представляет собой поток вектораограниченную контуром-OR - -OQ) dy dzдуOZL(см.(71.3)),rot ат.
е.Q+ (дР- - -OR) dx dz + (O- - -дР) dx dy =OZ.дхдхду=z11rot nа ds.5Следовательно, формулу Стокеа можно запи-~сать в видеf aTdl = 11 rotnads.LLОхуРис.(71.15)5Такое представление формулы Стокеа называют ее век;тор'ltо11 фор.мо11. В этой формуле278положительное направление на контуребор стороны у поверхностиSLи высогласованы между собой так же, как втеореме Стокса.~Формула(71.15)показывает, что 'Цuрк;ул..я'Цu.я век;тора а вдолъ за.мК;'ltутого К;О'ltтураLрав'ltа nоток;у ротора этого век;тора а 'ЧерезnоверX1tостъ S, лежащую в поле век;тора а и огра'ltu'Че'lt'ltуЮ к;о'ltтуро.мL (натянутую на контур) (см. рис.
278).516Используя формулу(71.14),МОЖНО дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.Для этого применим формулу Стоксаплоской площадкиSс контуромL,(71.15) для достаточно малойсодержащей точку М.По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п.ство7)имеем:!! rotnads= rotnТогда формулуS(см. рис.f ardl = rotnа(Р) .
S.rot nа(Р)rot n=279).можно записать в виде(71 .15)LОтсюда:свойа(Мо ) . S,5некоторая (средняя) точка площадкигде МО -57.1,~а!!?~ а(М)f ат dl.LLПусть контурМО-+М, аS -+Lстягивается в точку М. ТогдаРис.О. Перейдя к пределу, получаем:rot nа(М)= lim5-->0-S1279f а т dl.L~Ротором ве?Стора а в то'Ч.?Се АI называется вектор, проекциякоторого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуруLплоской площадкиS,перпендикулярнойэтому направлению, к площади этой площадки.Как видно из определения, ротор вектора а(М) есть векторнаявеличина, образующая собственное векторное поле.Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля.Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегосявокруг осиOzротор векторас постоянной угловой скоростью (пример17 =-W'У'69 .2)w,т. е.i + W· Х· з.По определению ротораrot а(М) =(0-kZJ/х/у/z-ywXUJоa(wX))i_az(0- a(-уw))J+(a(xw) _ a(-УW))Ji=azдхду= О - О + 2w .
k = 2w.Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения .С точностью до числового множителя ротор поля скоростейVпредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этимсвязано само название «ротор» (лат. «вращатель»).За.ме-чанuе.
Из определениявление ротора-(71.13)ротора вытекает, что напраэто направление, вокруг которого циркуляция имеетнаибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруглюбого направления, не совпадающего с нормалью к площадкеS.Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связимежду градиентом и производной по направлению (см. п.§ 72.
OrlEPATOP ГАМИЛЬТОНА72.1. Векторные дифференциальные70.3).операции первогопорядкаОсновными дифференциальными операциями (действиями) надскалярным полем И и векторным полем а являютсяgrad И, div а, rot а.Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются ве'ICторными оnершцv.я.ми первого nор.яд-к:а (в них участвуют только первыепроизводные) .Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора ГамильтонаЭтот символический вектор называют также оператором'V(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинациисо скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора'Vна скаляр И или вектор а производится по обычнымправилам векторной алгебры, а «умножение» символоввеличины И, Р,Q, Rgx, gy' gz напонимают как взятие соответствующей частнойпроизводной от этих величин.Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:1.'VU2.'Va =3 .
"v=Х а(JLl + JLJ + JLk). и = aUl + дU] + aU k = gradU.дхдуazдхдуaz(JLl+JLJ+JLk) ·(P·l+Q.J+R-k) = дР +qQ+aR = div'a.~fu=&fuljkддхддудazРQR~&= rot а.Оператор Гамильтона применяется для записи и других операцийи для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним518надо пользоваться правилам и векторной алгебры и правилами дифференцирования.В частности, производная по направлениюписана в видедUможет быть за-= \1U . ё = (ё· \1) . И,8>..где ё(70.2)= (COS а; cos.8; cos ,).72.2.Векторные дифференциальные операции второгопорядкаПосле применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле , к которому можно снова применить этот оператор . В результат е получаются дuффере'Н'Цuал'Ь'Н'Ые оnера'Ции второго nорядr.;а .
Нетрудно убедиться , что имеется лишь пятьдифференциальных операций второго порядка:div grad И, rot grad И,grad div а, div rot а, rot rot 0;.(Понятно, что операцияdiv о; -например, не имеет смысла:div div 0;,скаляр, говорить о дивергенции скаляра , т. е . оdiv div 0;,бессмысленно.)Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, чтооператор действует только на множитель , расположенный непосредственно за оператором .~1. divgradU=\1(\1U)==(\1. \1)U(::2 + :;2 +~) . и=- д т.;2 + д u + 8 u.Правая часть этого равенства называется8х8у 28z 2оператором Лапласа скалярной функции И и обозначается t::.U. Таким222образом,divgrad И= t::.U =82 u82 u82 u8z+ --2 + --2'--28х8уДифференциальное уравнение Лапласаt::.U=о(72.1)играет важную рольв различных разделах математической физики.
Решениями уравненияЛапласа являются так называемые гармо'Нu'Чесr.;uе фу'Нr.;v,uu.3аме'Ча'Нuе. К равенству(72.1)можно прийти, введя в рассмотрениескалярный оператор дельта:8282828х8у-8zt::.=\1.\1=-+-~+22(который тоже называют оператором Лапласа).~2. rot grad И = \1 х (\1U)= (\1 х \1)U =О, так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Этоозначает, что поле градиента есть поле безвихревое.5194. div rot а= \7 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
