Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 77
Текст из файла (страница 77)
рис. 285).+arg!,(zo). Это означает, что arg !'(zo) - это угол,повернуть касательную к кривой 1 в точке Zo длятого, чтобы получить направление касательной к кривойДругими словами,воначальным направлениями касательных к кривымиWoLв точкеwo.это угол между отображенным и перarg!, (zo) -[иLв точкахZoсоответственно. В этом состоит геометрический смысл аргументапроизводнойarg !' (zo).в силу аналитичности функцииj(z) в точке Zo (мы предположиarg !'(zo) один и тот же для всех кривых, проходящих через точку zo. Для другой пары кривых 11 и L 1 В тех жеточках Zo и Wo будем иметь arg !'(zo) = O!~ - ():~ = ер.
Таким образом,arg !' (zo) = 0!2 - (): 1 = O!~ - O!~ , т. е. если кривые 1 и [1 образуют в точке Zoна плоскости z угол ер = arg !,(zo), то такой же угол ер = arg !'(zo) будутли, чтоj(zo) f:.О) уголобразовывать в точкекривых1 и 11Woкривыена плоскостиwLиLl ,(см. рис.являющиеся отображениями286).,уоЭто свойство отображенияw = j(z) называется своv.сmво-м сохраzo.нения (-к;онсерваmuз-ма) углов в точке~Отображение w= j(z), обладающее свойством сохранения углов ипостоянством растяжений в точкеzo,называется 'lCонфОР.м:н.'ы.лt(т. е. отображением, сохраняющим форму).
Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то такое отображение называется'lCо'Нфор.м:н'bl.М оmобра;нсе'Нuе.м 1-го рода; если направление отсчетауглов изменяется на противоположное'lCонфор.м'Н'Ы.м оmобраJteе-'Ние.м 2-го рода.~Таким образом, если функцияI(z)является аналитической в некоторой точке Zo комплексной плоскости Z и 13 этой точке ее производная отлична от нуля, то отображение w= I( z ) конформно В этойточке.Отображениеназывается конформным в областиw = I(z)D,еслионо конформно в каждой точке этой области.~Справедливо следующее утверждение: если функциялитична в областиD,w = I(z) анаI'(z) =J о, топричем во всех точках областиD; если отображение w = I(z) конформно ВD, то функция w = I( z ) аналитична в D и во всех точках этойI'(z) =J о .отображение конформно вобластиобластиПрu.мер74.6.Выяснить геометрическую картину отображения,осуществляемого функциейQz,Решение : Отображениет.
к.w' = 2 =Jww = 2z.= 2z кон форм но во всех точках плоскостио.Коэффициент растяжения в любой точке плоскостикакargw'= arg2 = О,Таким образом, отображениеIцентром в нулевой точкетии, равнымzравен2. Такто направление при отображ е нии не меняется .(ww = 2z=Оприес ть преобразовани е гомотетии сz= о)и коэффициенто м гомоте-2.•ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ§ 75.КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГООпределение, свойства и правила вычисления75.1.интегралаПусть в каждой точке некоторой гладкой кривойLс началом вточке Zo и концом в точкеZопределена непрерывная функцияРазобьем кривуюnчастей (элементарных дуг) в направленииотZoкzточкамиLнаZ], Z2 , . . . , Zn-l(см.
рис.I(z) .287).В каждой «элеll·rентарноЙ дуге» ~ (k= 1,2, ... , n)выберемnпроизвольную точкугде д.Zk = Zk - Zk-l.~Ckи составим интегральную суммуL:I(Сk)д.Zk'k=lПредел такой интегра.1]ЬНОЙ суммы при стремлении к нулю длинынаибольшей из элементарных дуг, если он существует, называетсяzуРис.интегралом от ФУНКЦИИj(z)Jj(z) dz.чается символом287ПО f\:ривоu (по f\:OHmypy)Lи обознаLТаким образом,,----------------------------,(75.1)Покажем, что еслиL~ гладкая кривая, аоднозначная функция, то интегралДействительно, пусть= Xk + iYk.(75.1)u(х; у)j(z) =j(z)~ непрерывная исуществует.+ iv(x; у),z =х+ iy,Ck =Тогдаj(Ck ) = U(Xk; Yk)t1z k = (Xk+ iYk)+ iV(Xk; Yk),+ iYk-l)- (Xk-l= t1xk+ it1Yk·Поэтомуnnk=lk=l=nnk=lk=]I)U(Xk; Yk) t1x k - V(Xk; Yic)t1Yk) + i L (V(Xk; Yk) t1x k + U(Xk; Yk)t1Yk).Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства,являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов (см.
п.56.1).При сделанных предположениях о кривойLи ФУНКЦИИj(z)пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в последнем равенстве) при шахJLj (z) dzlt1zk l -+J= и dx -о получим:V dy + iLJV dx +L541и dy.(75.2)Формулапоказывает, что вычисление интеграла от функции(75.2)комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных.Формулу(75.2)можно записать в удобном для запоминания виде:Jj(z) dz J(и + iv)(dx +=L~Если х(75.3)i dy).L= x(t), у = y(t), где t1 :::; t :::; t2 L, то z = z(t) = x(t) + iy(t)ния кривойnара.меmрu'Чес7СU.м уравнение.м кривойпараметрические уравненазывают 7Co.мnAe7CCHъt.МL;формула(75.3)преобразуется в формулуt2Jj(z) dz = J j(z(t))z'(t) dt.L(75.4)tlо Действительно, считаяz(t)непрерывнойи дифференцируемойфункцией, получаемJj(i) dz = J(и + iv)(dx+Lt2i dy)L=J(и + iv)(x~ + iy~) dt =J j(z(t))z'(t) dt.tlt2•tlПриведем основные cBoi1cmBa интеграла от функции комплексногопеременного.1.J dz = z - zo·LаnL6.Z k= 6.z 1 + ..
.+6.zn = Z1 -ZО+i2- Z 1 + .. ,+Zn -Zn-l = Z-ZO'•k=lJ(Jl(Z) ± f2(z)) dz = JЛ(Z) dz ± J j2(Z) dz.3. Jaj(z) dz = а Jf(z) dz, а - комплексное число.2.LLL4.J j(z) dzLLL= -J j(z) dz, т. е. при перемене направления путиL-интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (вдругих обозначениях кривой:J = - J).АВВА42Jf(z) dz = J j(z) dz+ J j(z) dz, где L = L +L5.1Lrю всему путиL2,L1L2равен сумме интегралов по его частямт.
е. интегралL1иL2.6. Оцен'/Са .модуля интеграла. Если Ij(z)1 ~ м во всех точках кривой L, то IJj(z) dzl ~ Ml, где l - длина кривой L.LО Действительно,nгдеI:I~Zkl-длина ломанойвписанной в кривуюZOZIZ2 ... ZN,L.•k=1Все приведенные свойства интеграла функции комплексного пере-менного непосредственно вытекают из его определенияставления(75.i) и пред(75.2).уПрu.мер1Вычислить75.1.=JImzdz,LLгдеполуокружность~7г (см. рис.QL argz ~Izl =1,О ~о288).Решение: Используя формулу1=x=cost,{ y=sint1(75.3),х1Рис.имеем:288Jy(dx+idy) = Jydx+i Jydy=LLL-1-1J ~dx+i J ~ 2 ~dX=1-1х21= (::.~ + ~ arcsinx) 1-1 _ix21-1 = -~.2Используя формулу1=J"sin t ( - sin tо(75.4),2имеем+ i cos t) dt=(z = cos tJ" -~о2112+ i sin t):(1 - cos 2t) dt+iJ"sin t cos t dt =о11.) 1"о+~2"SШ.
1 . 2 t 1" =-2"·7г= ( -2"t+4"SШ2to•75.2. Теорема Коши. Первообразная инеопределенныйинтеграл. Формула Ньютона-ЛейбницаТеорема75.1 (Коши). Если функция f(z) аналитична в односвязD, то интеграл от этой функции по любому замкнутомуконтуру L, лежащему в области D, равен нулю, т. е.j(z)dz = о.ной областиfLа Докажем теорему, предполагая непрерывность производной(это упрощает доказательство). По формуле(75.2)j'(z)имеем:f j(z)dz= f udx-vdy+i f vdx+udy.LLВ силу анa,n:итичностисвязной областиLuj(z)функцииD,u+ ivи непрерывности= и(х; у)иv= v(x; у)в одно-j'(z)непрерывны идифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера: аиау=нулю интегралова( -v) и avах=ауахf u dx - v dy и f v dx + u dy (см.
теорему 56.3). СлеLдовательно,аи. Эти условия означают равенствоLf j(z)dz = о.•LТеорема Коши допускает распространение на случай многосвязнойобласти.Рассмотрим для определенности трехсвязную областьченную внешним контуромLи внутренними контурамиL1D,иограниL2 .Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе областьDостается слева (см. рис.Пусть функцияj(z)289).аналитична в областиL 2 (т. е. в замкнутой областив замкнутой области75,Dи на контурахсодержащей внутри себя областьDи ее границуL).DПроведя два разреза (две дуги) 11 и 12 областилучим новую односвязную областьD 1,+l: + Lодносвязной области1+ l : + L 2 + 12 + 11.f f(z) dzfи(см. рис.=289),поограниченную замкнутым ориL, L 1 , L 2 И разрезовПо теореме Коши дляентированным контуром Г, состоящим из контуров11 и 12: Г = LL, L 1функция называется аналитическойесли она аналитична в некоторой области,75;о, но=0,т. к. каждый из разрезов (дуг) 1'1 и 1'2 при интегрировании проходитсядважды в противоположных направлениях.
Поэтому получаем:J j(z) dz = f j( z ) dz + fгLj(z) dz+L,f= О,J( z ) dzL2т. е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной областифункцииj( z)по границе областиD , проходимой15в положительном направлении, равен нулю .Рис .Рис.2892903а.ме'Чанuе. Изменив направл е ни е обхода внутренних контурови L 2 , будем иметьf J(z) dz = fL(L, L 1иL2)j( z) dz+L,обходятся в одном направлении: против часовой стрелкиной области, ограниченной контурамиL1»Lj(z)1ианалитична в двусвязна самих этих контурахравен интегралу от функции(контуры75.1.D, тои1по внещнему контурунему контуруLf j(z) dz = f j(z) dz, т. е. «интеграл от функции j( z)(см.
рис. 290), тоСл~ствиеj(z) dz, rдe все контурыL2(или по часовой стрелке). В ча{;тности, еслиобластиfL1ЕслииLj( z ) -j(z)по внутрен-обходят в одном направлении).lаналитическая функция в ОАНОСВЯЗНОЙинтеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точкиZoи конечной точкиzпутиинтегрирования.о Действительно, пустьющие точки Zo и z (рис.По теореме КощиL! и L 2291).fдве кривые в области-J j(z) dz - J j( z) dzL,L,= О, т. е.2=соединяJ J(z) dz+ J j( z) dz = О,О, откуда J j( z) dz = J j(z) dz.•j( z )dzL-илиD,L,18 Ко"спскт лскций по Dысшеi1 математllке.
Полный ~)'pc4L2В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрироrания, пользуются обозначениемJ j(z) dz~D,вать точкуf j( z) dz. Если здесь зафиксиро-~ZO,2а точку z изменять , то J j(z) dzZoбудет функцией от- L1Рис.=Lчерез F( z ): F(z)291z.=JОбозначим эту функциюj(z) dz. Можно доказать,20что если функцияцияF( z)ана.ТIИтична в односвязной областиj(z)также аналитична вF' (z)D,= (]D,то функпричемj (z) dz )'= j (z ) ."О~Функция F( z) называется nервообразноi1 для функцииобласти D , если F'( z )j(z) .j(z)в=Можно показать, что еслиj(z), то совокупность всехF(z) + С, где С = const.~F(z)есть некоторая первообразная дляпервообразныхJ( z)определяется формулойСовокупность всех п ервообразных функцийопределенным uнтегралом от функциисимволомj( z )j (z )Jj(z) dz, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
