Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е.называется неи обозначаетсяIГ-J-j-(~Z-)d-z-=-F-(z-)-+-С-,-г-де-F-'(z-)-=-j(-z---')·IПусть функция F( z)z=JzZoJ( z) dz есть первообразная функция дляJ( z ). Следовательно, J j( z) dz= F( z) + С.Положив здесь z= Zo,по-'0лучим ОС= F( zo) +C (контур зам кнется , интеграл равен нулю). Отсюда= -F(zo), а значит,,--------------------,zJ j(z) dz = F(z) - F( zo) .20Полученная формула называется фор.мулоi1 Нъюmона-Леi1бнuv,а.Интегралы от элементарных функций комплексного переменногов области их а'налитичности вычисляются С помощью тех же формули методов, что и в действительном анализе.Так, Jи Т. д.e"dz= еО+С; Jsinzdz= -соsz+С; Jоi.23z dz= з.~ 1: =-iПрu.мер 75.2.
Вычислить интегралы: а) f ~; б) f(z-zo)ndzz - Zo(nLf:. -1),гдеLLесть окружность радиусадимая против часовой стрелки (см. рис.R с центром292).в точкеzo,обхо-Хахуа Решение: а) Теорема Коши неприменима, т. к.функция _1_ не аналитична в точке zo. Пара.-Уаz - Zoметрическиеу равненияокружностиLесть х== Уа + Rsint, где 0:( t:( 21Г. Следо-= хо + Rcos t, уовательно ,z= х + iy = хо +R cos t + iyo + iR sin t=Рис .= (хо + iyo) + R(cost + isint)292= Zo + R · еи.Таким обр азом, мы получили, что комплексно-параметрическое уравн е ние данной окружности есть z = Zo R . e i t , О :( t :( 21Г . Поэтому по+форм уле(75.4)получим:dzi .R .-=J.f z R·21\"ZoLб) Приnf:.-1еаeildtil=iJ dt = 2ni.21\"оимеем:21\"f (z - zo)n dz J(R· eit(R· e dt == iR + Jdt = R"+l .
еn+=i .Оn 1Lili(n+1)t 21\"21\"e i (1l+1)tоRn+1= --(cos2n(n+ 1) +isin2n(n +n+11I =оR n+ 1= --(1-1)= о.n+11) - еО)Итак,г--------------------------------------------,z _ = 2ni, f (z - zo)"dz = о, n f _d_z -L75.3.Zoцелое, n f:. -1.LИнтеграл Коши. Интегральная формула КошиТеорема 75.2. Пусть функциясвязной областиформула75иL -1( z )= _1_1(Zo)2 .fn~Lгде Zo ЕD -аналитична в замкнутой однограница областиD.1(z ). dz ,z - zoлюбая точка внутри областиD,Тогда имеет место(75.5)а интегрирование поконтуру L производится В положительном направлении (т. е . противчасовой стрелки) .547•§Интеграл, находящийся в правой части равенства(75.5),называется интегралом Коши, а сама эта формула называется интегральноt':l Формулоt':l Коши.Формула Коши(75.5)является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного .
Она позволяет находить значения 'аналитической функцииf( z )в любой точкеzo,лежащей внутри областичерез ее значения на границе этой области.Dа Построим окружностьlrс центром в точкеZo,взяв радиусr стольмалым, чтобы данная окружность была расположеJ''t внутри области(чтобыlrне пересекал аL) .Получим двусвязную областьванную на рис.иlr,293),D1(заштрихоограниченную контурамиLв которой функция j(z) аналитична.z - ZoТогда, согласно замечанию к теореме Коши(с .Рис .545),имеем:293fLf( z )dz =z - Zof1,.j(z)dz.z - ZoОтсюда следует:_1_2Jrif j(z)dz =fz - Zo_12Jr'iLj(z) dzz - Zo2Jri/"=~j(zo)2JrtНо= _1_flгf~+~fZ - Zo2JrtIг=j(z) - j(zo) dz.Z - zoI"f~= 2Jri (см . пример 75.2) .
Следовательно ,z - Zo~2Jrtf j(z)dz = ~j(zo). 2Jri + ~ fZ - Zo2Jrt2Jrt~2Jrtj(z) - j( zo) dz,Z - ZoI"Lт. е.j(zo) + j( z ) - j(zo) dzz - ZofLj( z ) dz - j(zo)Z - zo=~2JrZflrОценим разность в левой части равенстваj( z ) - j(zo) dz.Z - Zo(75.6)(75 .6) . Так как аналитичеj(z) непрерывна в точке Zo Е D, то для любого числас > О найдется ЧИСJlО r > О такое, что при Iz - zol ~ r (на окружностиlт имеем Iz - zol = r) справедливо неравенство If( z ) - j(zo)1 < с.ская функция54Применяя свойство6 обdz - j(zo)1z - ZoI ~ f j(z)оценке модуля интеграла (п.I~ f=211"2j(z) - j(zo) dzlZ - zo211"2L/./~f""75.1),имеем:~Jj(z) - j(zo)J d / ~~2 Jz - Zo J211" r 1I"r -z""211"/.€.Так как € может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть последнего неравенства не зависит от~211"2€,то она равна нулю:f j(z) zodz - j(zo)=о,Z -Lоткуда следует формула•(75.5).Отметим, что интегральная формула Коши(75.5)справедлива идля многосвязнои области: 'каждый из контуров обходится так, чтобыобластьDоставалась слева.Применяя интегральную ФОРll'IУЛУ Коши, можно доказать следующие теоремы-следствия.Теорема 75.3.
Для всякой дифференцируемой в точкеj(z)zoфункциисуществуют производные всех порядков, причем n-я производнаяимеет вид:(75.7)Теорема75.4. В окрестности каждой точки zo, где существует производная!,(zo),функцияJ(z)может быть представлена сходящимсярядом:j(z)= j(zo) + J'(ZO)(Z -zo)+ Г(~O) (z - zO)2 + ...2.... +~j(n) ( Z O ) nI(Z - zo) +...n.(75.8)Таким образом, nроuзводна.я аналumu-ч,еСJCоil фУНJC'ЦUUmaJC--;нее ЯВJt.Яеmся аналumu-ч,еСJCоil фУНJC'Цuеil.Напомним, что из дифференцируемости действительной функциине следует даже существования второй производной (функция у= vx= О, а производная этой функции ! ~имеет производную в точке хпри х~=Оне существует).хРяд (75.8) называется рядом Теi1..л,ора функцииРяд Тейлора дифференцируемой в точке/(z) в точке zo.функции существует иzoсходится к самой функции.
Ряд же Тейлора для действительной функции /(х) может сходиться к другой функции или быть расходящимся.За.ме-ча'Нuе. Формула n-й производной функции/(z)может бытьполучена из формулы Кошиf~27Г2/(z) =/ЮZ d~(75.9)~ -L(в формуле(75.5) заменено z на ~, zo на z) путем последовательногодифференцирования равенства (75.9) по z:/(n)(z)=~27Г2f/Ю~.z)n+l(75.10)(~ _LФормулы(75.5)и(75.7)можно использовать для вычисления интегралов по замкнутым контурам.Прuмер 75.3.Izl = 1, б)fВычислитьz2d~ 4' где а) L -окружностьLL -окружностьIz - il = 2.Q Решение: а) функция /(z)= ~4 является аналитической в обла+zсти Izl ~ 1.
В силу теоремы Коши имеемб)f z2d~На рисунке L2944= О.представлена область,ограниченная контуром интегрирования.уВ этой областиz=2i,Iz - il~2находится точкав которой знаменатель подынтегральнойфункции равен нулю. Перепишем интеграл в видехL-i-2iРис.fdzz2+4=fL1:+2;z - 2idz.Функция /(z) = z ~ 2i является аналитиче~ской в данной области. Применяя интегральную294формулу Коши(75.5),-- If z-dz+ 4 = 2Jri (1)z + 2i-?--z=2iL.Прuмер75.4.ВычислитьfIzl=1находим:17г= 2Jri- = -.~dz.z4i2•Решение: Внутри круга и на его границеQаНЭJlитична.
Поэтому, в силу формулыfCOS Zfdz =Z3cos z(z _ 0)2+1 dzIzl = 1 функция j(z) = cosz(75 .7),имеем=Izl=1Izl=122~i(coSZ)1I1=.z=o= Jri(-cosz)1z=o= -Jri.•§ 76. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ76.1. Числовые рядыРяд00Lиn= UJ + и2 + ... + и n + ... ,(76.1)n=1~членами которого являются комплексные числа, называется 'Ч.uслови,м ря.до,м (в комплексной области). Рядными членами и n0000n=ln=1L и n = L(aгде а n и Ь nn= а n + ib nдействительные числа.ППп= I: uk = I: (ak + ib k ) = I:k=1членов ряда(76.1)k= 1n+ i I:akk=lbk первых nk=1называется n-й 'ч,астu'ч:ноi1 су.м.мой ряда.Если существует конечный пределных суммс комплекс+ ibn ) = (аl + ib 1) + (а2 + ib 2) + ..
: + (а n + ib n ) + .. . ,(n = 1,2,3, ... ) -Сумма 5 n(76.1)можно записать в виде5 n ряда: 5=lim Snn-+ооназывается сходящuмся, а5 -=5nlimn-+ооI:последовательности частичnak+i limk=1n-+оосуммой ряда; еслиI: bk , то ряд (76.1)k=llim 5 nне существуn-+ооет, то ряд(76.1)называется расходящuмся.Очевидно, что ряд(76.1)сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов00L ak = аl + а2 + ...
+ а n + .. ,(76.2)k=lи00Lbk= ы 1 + Ь 2 + .. . + Ь n + ...(76.3)k=1=551 + i52 , где 51 - сумма ряда (76.2), а 52 - суммаряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2)и (76.3) с действительными членами.При этом551В теории рядов с комплексными членами основные определения,многиетеоремыиихдоказательствааналогичнысоответствующимопределениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.Приведем некоторые из них.Остатком ряда(76.1)называется разностьос>00Тn =un+l+ и n +2 + ...
=Lk=n+lТеорема76.1ос>L=UkakL+ik=n+l(неоБХОАИМЫЙ признак СХОАИМОСТИ РЯАа).(76.1) сходится, то его общий член и n при n ~нулю: lim и n = О .рядкbk.k=n+lЕсли00 стремитсяn-4 00Ряд(76.1)называется абсолютно сход.ящимс.я, если сходится ряд00LIunl = IUll + IU21 + ... + luHI + .. .(76.4)n=!Теорема76.2.Если сходится ряд(76.4),то абсолютно сходится ряд(76.1).о По условию ряд с общим членом lилlв силу очевидных неравенствlanl~= J а;, + ь;,Ja;, + b~иIbnlсходится. Тогда~Ja;' + b~и на00основании признака сравнения (теорема60.1) .сходятсяос>L Ibnl·n=lL lanln=lиОтсюда следует сходимость рядов (76.2) и (76.3), а значит, иабсолютная сходимость ряда~ряды(76.1).Если ряд абсолютно сходится и имеет суммуS,•то ряд, полученныйиз него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же суммуS,что и исходный ряд.Абсолютно сходящиеся ряды можно по член но складывать и перемножать.~При исследовании на сходимость рядов с комплексными членамиприменимы все известные из действительного анализа признакисходимости знакопостоянных рядов , в частности признак Даламбера:IIесли существует n-4lim и n +l = {, то при00nсходится, а при l > 1 расходится .иl< 1 ряд (76.4) абсолютноСтепенные РЯДЫ76.2.~Стеnе'Нн:ы,м рядом в комплексной области называют ряд вида00LCnZn= СО +CI Z+ C2 Z2 + ...
+CnZn+ ... ,(76.5)n=огде СП -комплексные числа ('К:оэффu'Цuенmы. ряда),z =х+ iy-ком-плексная переменная.Рассматривают также и степенной ряд вида002:=Cn(Z -(76.6)zo)n,n=окоторый называют рядом по степеням разностиное число. ПодстановкойРяддругих~(76.5)-z - Zo=tряд(76.6)z-ZO,Zo -комплекссводится к ряду(76.5).при одних значениях аргумента z может сходиться, прирасходиться.Совокупность всех значенийz,при которых ряд(76.5)сходится,называется областью сходимости этого ряда.Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля, устанавливающая область сходимости степенного ряда.Теоремаz= Zoнияхz,76.3 (Абель). Если степенной ряд (76.5) сходится при=j:.
О (в точке zo), то он абсолютно сходится при всех значеудовлетворяющих условиюIzl < Izol.Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абеля в действительном анализе (теоремаСл~ствие76.1.63.1).Если ряд (76.5) расходится при z= zo, то он расходится при всех значениях z, удовлетворяющих условиювне круга радиусаIZolИз теоремы Абеля следует существование числаго, что при всех значенияхстепенной ряд(76.5)Izl > Izol(Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
