Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Можно считать,z+6.z приближается к точке z покачто точ-Охпрямой,параллельноii действительной оси (оси Ох),т. е.j6.z= 6.х ~ О,'()z ==.'1т~x--+o,,~~x--+o~y=о(рис.284).Рис.284Тогда(u(x+6.x;y)+iv(x+6.x;y») - (u(x;y)+iv(x;y»)6.(и(х=х+ 6.х; у)- и(х; у»)+ i(v(x + 6.х; у)- v(x; у»)6.х=6.хи + i6. x v = "1т 6. хи + ~' "1т 6. xv = -ди + ~-.,av= ~x--+O1т~x~x--+O 6.х~x--+O 6.хдхдх"Если же точкаz+ ~zприближается к точкелельной мнимой оси (оси Оу), то ~zj'(z) = 'im (и(х; у+ ~y) + iv(x; у ~ 6.у»)~y--+Ozпо прямой, парал= i~y -+ О, ~x = О,- (и(х; у)В этом случае+ iv(x; у»)=l6.y=lim 6.
у и + i6. y vi6.y~y--+O= _i au + av = avдудуду_ i auду'Сравнив найденные пределы, получим ~~ + i~ = ~~ - i~~ = j'(z).Отсюда следует: дидх= av · ди = _ av .ду' дудхДостаточностьПусть теперь условияj(z)z(74 .5)выполняются. Докажем, что функциядифференцируема .. Так как функции и(х; у) и v(x; у) дифференцируемы в точкето их полные приращения можно представить (см. (44.4))= х + iy,в виде .6.ии=а2ди.6.х+ ди.6.у+ а 1 , .6.vдхдугдеаll.6.zl= J(.6.X)2 + (.6.у)2 .-бесконечномалыеболееav.6.xдхвысокого+ av.6.y+ а 2,дупорядка,чемТогда(и(х+ .6.х; у + .6.у) + iv(x + .6.х; у + .6.у)) - (и(х; у) + iv(x; у)).6.х + i.6.y.6.и + i.6.v = (8u.6.х+ 8u.6.у+ а 1 ) + i (8v.6.х + 8v.6.у + а 2)_8х8у8х8у.6.х + i.6.y.6.х + i.6.y8u.6.+8u.6.+ Zдx.av.6.
х + tдy' av .6. У аl + Ю2.дх хау у=.6.х + i.6.y+ .6.х + i.6.y ..6.w.6.zЗаменяя в числителе правой части ддИУ наусловиям(74.5),.6.w.6.zav av на ди согласно- дх ' дудх'получаем:= 8u.6.х8х+ i av .6.х + i 8 u.6.у.дхдх+ аз,.6.х + z.6.yav.6.yдхгдеазт. е=аl+ ia2= .6.х + i.6.y'..6.w.6.zа аз-~(.6.x+i.6.y)+i~(.6.x+i.6.y)_ ди.6.х + i.6.y+ аз - дх.av+ Z дх + аз,бесконечно малая высшего порядка относительноследует, что lim ~w= j'(z)c.z-+o uzсуществует.
При этом j'(z)с учетом условий Эйлера-Даламбераренцируемой функции,j (z)j(z)ди.avди- t.диj '( z ) _ дх= дд + i aхх.•производную диффеможно находить по формулам= дх + Z дх '-(74.5)Отсюдаиavl.6.zl.ду '534j '( z ) -_ avду+ Z дх'= av_ i au .j'(z)ду. avду(74.6)Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного перем е нного, дифференцируемых в точкеz.Это означает, что еслиzцируемы в некоторой точке11 (z) и 12 (z) дифференкомпл е к с ной плоскости, то верно следующее:1. (11(Z) ± 12(Z))' = f{(z) ± Л(Z ) ,2. (11(Z)' 12(Z))'= f{(z)· 12(Z) + 11(Z)' Л(z),(f2(Z):i О) .3 (11( Z))' - 1;(z)' 12(Z) - 11(Z) ' 12(Z).
12(Z) Ji(z)4. Если rp(z) дифференцируема в точке z , а 1(w) дифференцируемав точке w = rp (z), то (1(rp(z)))' = 1~(rp)· rp~(z ) .5.Если в н екоторой точкесуществует фу нкцияпричем (1 - J(w))' i=обратн ая фу нкции~z функция 1(z) дифференцируема и1- 1(w), дифференцируемая в точке w = 1(z),О, то 1'(z) = (1-1~W))" где 1- 1 (w) - функция ,1(z).При веде м без доказательства теоре,м,у о дuфферен.11,uруе,м,ости основных эJtе,м,ентарн.ых фун.1С11,UU 1Со,м,nде1Ссного nере,м,ен.н.ого : функцииw = zn (nЕN)кости; функцииw=eZ,w= sin z,ww= tg zиw= th z=О,±l , ±2, . ..
)+7Гk= sh Z,·W = ch z,и z = (~+ 27Гk) . iсоответственно ; для функций wокрестн ости к аждой точкиi= оz=Ln z , w=za Вможно выделить однозначную ветвь,которая является дифференцируемой в точке74.5.wтакже дифференцируемы в лю-бой точке плоскости , кроме точек z = ~(k= cos z,дифференцируемы в любой точке комплексной плосzфункцией .Аналитическая функция.
ДифференциалФундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической фу нкции .Е§]Однозначная функцияморфной) вусловиятО'Ч,1Сеz,1(z)называется анаJtuтu'Ч,ес1СОU (голо-если она дифференцируема (выполненыЭйлера-Даламбера)внекоторой окрестности этой точки.Функция j(z) называется анаJtuтu'Ч,ес1СОU в оБJtастuдифференцируема в каждой точкеzЕD,если онаD.Как видно из этого определения, условие аналитичности в тО'Ч,1Сен е совпадает с условием дифференцируем ости фу нкции в этой же точке(первое условие-более сильное).~Точки плоскостиz,в которых однозначная функциятична, называются nравильны.ми точкамирых функцияf(z)j(Z)аналиj(z).
Точки, в котоне является аналитической, называются особы.миточками этой функции.Пусть функция w= j(z)аналитична в точке z. Тогда lim ~w =~z---tООтсюда следует, что i~= 1'(z).= 1'(z) + а,где а ~ О при д.z ~ О.Тогда приращение функции можно записать так: д.wЕсли1'(z) "1-L.l.Z= 1'(z)д.z + ад.z.о, то первое слагаемое 1'(z)д.z является приAz~ Обесконечно малой того же порядка, что и д.z; второе слагаемое ад.zесть бесконечно малая более высокого порядка, чем д.z. Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функцииw= f(z).dw аналитической функции w = j(z) в точкеz называется главная часть ее приращения, т. е. dw = 1'(z)д.z,или dw = 1'(z)dz (так как при w = z будет dz = z' д.z = д.z).
Отсюдаследует, что l' (z) = ~~, т. е. производная функции равна отношению~Дифференциало,м,дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.За.ме'Ч,а'Н:uе. Если функциянекоторой областиD,j(z)= и(х;у) + iv(x;y)аналитична вто функции и(х; у) и v(x; у) удовлетворяют диф-д 2 ЧJференциальному уравнению Лапласа (д?"д ЧJ = О,+ д1l2см. п.72.2).О Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по у, а второе по х, получаем:22avд идхду- д у 2'a2vд2 идх 2 --дудх '2av +av_д 2 - О.у•2откуда дх 2Функции u(х; у) и v(x; у) являются гармоnu'Ч,еСI>UМU фуn","v,шмu.При,м,ер 74.3.
Проверить, является ли функция w= z2 аналитической. Найти ее производную.а Решение: Находим действительнуюRe w=ии мнимую 1т w= vчасти функции:w = z2 = (х + iy)2 = х 2 _ у2 + 2ixy.Таким образом, u = х 2 - у2, V = 2ху. Проверяем условия Эйлера-Даламбера(74.5):дидидуav= 2х,-ду= -2у,- дхдхav=2х',= -2у.Условия(74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскостиz. Функция w = Z2 дифференцируема, следовательно, аналитична вовсех точках этой плоскости.
Ее производную найдем по одной из формулнапример по первой:(74.6),= :х (х 2 - у2) + i ~ (2ху) = 2х + i2y = 2(х + iy) =(z2)'т. е.2z,(z2)' = 2z.Заметим, что производную функцииw = Z2 можно найти, восполь(74.4):зовавшись определением производной=w'lim~w=6 x ~O ~zlim (z+ ~z)2 - z2 =6x~O~zlim2z~z + (~Z)26x~O~z= lim (2ziJ.z~OПрu.мерQ=хuРешение: Отметим , что функция,. (и/1циеl'lххДля= 6 х,/1и уу+ ~z) = 2z .Найти аналитическую функцию74.4.заданной действительной части= - 6 х,определенияЗu-мнимойчастито, согласно первому условию, g~= u + iv•по ееявляется гармонической Функ-/1следовательно, и ххЭйлера-Даламбера (74.5). Так как g~w+ 2.З ху 2=v+ и уу = О) ./1воспользуемся= (х З-З ху 2 + 2)~условиями= зх 2 -З у 2,= Зх 2 - З у 2.
Отсюда, интегрируя поУ, находим:vДляJJ= ~~ dy = (зх 2 - З у 2) dy = Зх 2 у - уЗ + rp(x).определенияфункции<р(х)воспользуемсявторымусловиемЭйлера-Даламбера. Так какдиду == (хЗ-З ху 2+ 2)~= -6ху,а~~то -6ху = -(6ху2зЗ(зх 2 у - уЗ + rp(x))~=6ху + <р'(х),+ rp'(x)) . Отсюда <р'(х) = О и rp(x) = С, гдеуЗ + С. Находим функцию w = и. + iv:= Зх у w = u + iv = х -Поэтому v=З ху 2 + 2 + i(зх 2 у - уЗ + С)2= const.== х +iзх у- З ху 2 _iуЗ + 2+ Ci = (х+iу)З +2+iC7С= z З + 2+iC.•74.6. Геометрический СМЫСЛ МОАУЛЯи аргумента ПРОИЭВОАНОЙ.Понятие О конформном отображенииПусть функцияw= j(z)аналитична в точкеZoиf'(zo) =1-о. Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.ФункцияWo= j(zo)w =отображает точкуj(z)w.Пусть произвольная точкаперемещается к точкеплоскостик точкеlZoплоскостив точкуzплоскостиz = Zoпо некоторой кривойв плоскости w (рис.+ .6.zиз окрестности точкипо некоторой непрерывной кривойсоответствующая точкаwWoZoL,w = Wo +.6.w[.ZoТогда вбудет перемещатьсяявляющейся отображением кривой285).уихРис.285По определению производной f'(zo) = lim ~W.
Отсюда следует,.6.z-+o uZчто If'(zo)1 = I .6.z-+olim ~w I =uZ= Iz - zolI~wI = .6.z-->olim II~WII. Величина l.6.zl =uZuZрасстояние между точками Zo и Zo + .6.z,точками Wo и Wo + .6.w. Следовательно,lim.6.z-->oпредставляет собойl.6.wl - расстояние междуIf'(zo)1 есть предел отношенияабесконечно малого расстояния междуWo и Wo + .6.w к бесконечно малому расстоян ию между точками Zo и Zo + .6.z. Этот предел не зависит (J(z) аналитична в точке zo) от выбора кривой [, проходящей через точку zo.отображенными точкамиСледовательно, пределlim.6.z-->oII~WII= If'(zo)1 в точкеuZZoпостоянен, т. е .одинаков во всех направлениях.~Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: величинаточкеZoIf'(zo)1определяет коэффициент растяжения (подобия) впри отображенииw= j(z).фuцuенmо-м рас m.я;нc енu.я, еслиСJtCаmu.я, если< 1.If'(zo)1Прu-мерфункции w74.5.= ~z2ВеличинуIj'(zo)1 > 1,If'(zo)1называют 1Соэфили 1Соэффuцuенmо-мНайти коэффициент растяжения (сжатия) дляВ точке Zo=3 -4i.!z2 аналитична в точке Zo = 3 - 4i, приw' = z.1!,(zo)1 = Izol = 13 - 4il = 5 > 1.циент растяжения для функции w = !z2 В точке Zo равен 5 (плоскостьQ Решение: Функцияэтомw =Следовательно,Коэффирастягивается).•Для аргумента производной в точкеargj'(zo)=~w.11т arg ---л-дz--->оuZ.=11т (arg~w - arg~z)дz--->о=где 0!1 и 0!2 -имеем:Zolim arg ~w -дz--->о=lim arg ~zдz--->о= (}:2 -углы, которые образуют касательные к кривымсоответственно в точкахZo,иWoс(}:1,[иLположительными направлениямидействительных осей на плоскостяхОтсюда (}:2=0!1на который нужноz и w (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
