Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(\7 х а) = о,так как смешанное произведение трехвекторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что5. rot rot аполе вихрясоленоидальное.= \7 х (\7 х а) = \7(\7 . а) -(\7 . \7)а= grad div а -6.а, таккак двойное векторное произведение обладает свойствомах (Ь х с) = Ь· а· сЗдесь 6.а = 6.Р i+ 6.Q J + 6.R k -- с· а· Ь.векторная величина, полученная врезультате применения оператора Лапласа к вектору а.§ 73.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХКЛАССОВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ73.1.Соленоидальное полеНапомним, что векторное поле а называется соле'Ноuдал'Ь'Н:ы.м, есливо всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е.div а= о.Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример71.4);магнитное поле,создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.Приведем некоторые своuсmва соленоидального поля.1.В соленоидальном поле а поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Это свойство непосредственно вытекаетиз формулы(71.8).Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.2.Соленоидальное поле является полем ротора некоторого вектор=ного поля, т. е. если div ао, то существует такое поле Ь, что аВектор Ь называется ве-х:mор'Н'Ь/..м nоmе'Н:цuало.м поля а.Любое из свойств= rot Ь.1-2 можно было бы взять в качестве определениясоленоидального поля.Доказывать свойствоутверждение-2не будем. Отметим лишь, что обратноеполе ротора векторного поля есть соленоидальноенами доказано (выше мы показали, чтоdiv rot а= о).-3.В соленоидальном поле а поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемоеинmенси6носmыо трубки).о Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями В1(см.
рис.и В2; боковую поверхность трубки обозначим через280).SПоток вектора через замкнутую поверхность, состоящуюиз В1, В2 И В, равен нулю. Следовательно,гдеn-внешняя нормаль.sРис.280Так как на боковой поверхности векторной трубки нормальпендикулярна к векторам поля, тоn перJJ а n ds = О и, следовательно,5JJа n ds = - JJ а n ds.5152Переменив направление нормали на площадке В1, т. е. взяв внутреннюю нормальnl,получим:•В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени,равно количеству жидкости, вытекающей из нее.73.2. Потенциальное полеВекторное поле а называется nоmен'Цuалън'Ым (или беЗ6uхре6'ЫМ,или градUенmН'ЬtМ) , если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е.rot ii= О.
Примером потенциального поля является электрическое поленапряженности точечного заряда (и другие).Приведем основные свойства потенциального поля.Своi1.сmвоЦиркуляция потенциального поля1.iiпо любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.О Это непосредственно вытекает из формулыС=f a".dl = О .(71.14).Следовательно,•LВ частности, для силового потенциального поля это означает, чторабота силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С= О означает, что в потоке нетзамкнутых струек, т. е.
нет водоворотов .Своi1.сmвоВ потенци~ьном поле2.f Р dx + Q dy + R dzii криволинейный интегралвдоль- любой кривой L с началом в точке1\11LИ концом В точке М2 зависит только от пола-жения то.чекM1и М2 И не зависит ат фармыкривой.QЭто свайство вытекает из свойстваДей-1.ствительна, взяв в пале две тачкии М2 ,саединим их двумя кривымиИM1M 1 pM2лежал внутри паля (см. рис.M 1 pM2 qM1имеемfРdxРис.
281M 1 qM2 так, чтабы кантур281). Тогда, в силу свайства 1,= О.+ Q dy + R dzMlp M 2QMIУчитывая свайства кривалинейнага интеграла, палучаем:fРdx+ Q dy + R dz=М,рМ 2 чМ •fРdx+ Q dy + R dz +М'РМ2fР dx+ Q dy + R dz =М2ЧМ,fМ'Р М 2fМ'ЧМ 2Т. е.fРdx+ Q dy + R dz =M l pM2Своi1.сmвоfPdxМ.Ч М 2= О,+ Qdy + Rdz.•3.
Потенциальнае пале является палем градиента некоratii = О, то существуеттарай скалярной функции U(x;y;z), т. е. еслифункция И(х; у; z) такая, что. iigrad И.== lj.QО Из равенства rot а = о вытекает , что дРдудх'=lj.Qaz=aR aRду'дх=~~, т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции И = U(х; у; z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля аР{ + Q] + Rk; dU === Pdx + Qdy + Rdz.Отсюда: р = дU Q = дU R = дU . Следовательно&'~'fu'дU дU дU а = р. i + Qj + Rk = . i + - . j + - . k = gradU,дхдуaz•т.
е. вектор поля а является градиентом скалярного поля.За.ме'Ч,а-н,uе. Из равенства=Оrot grad Иследует обратное утверждение ~ поле градиента скалярной функции И= U(х; у; z) являетсяпотенциальным.Из равенства а = grad [J следует, что потенциальное поле определяется заданиемoanoi1скалярной функции И= U(х; у; z) -его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле(x;y;z)JU(x;y;z) =Pdx+Qdy+Rdz=(XO;YO;zo)хzуJ Р(х; уо; zo) dX + J Q(x;~; zo) ~ + J R(x; У;хоУогде (хо; уо;zo)ординатыпроизвольной·стьюдоgrad(U+ с, (73.1)координаты фиксированной точки, (х; у;произвольного+ а)() d('Оточки.Потенциалпостоянногоопределяетсяслагаемого(из-закоz) сточнотого,что= grad И).Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярныхфункций (Р(Х; у;z), Q(x; у; z), R(x; у; z) -проекции вектора поля наоси координат).За.ме-ча-н,uе.
Определение потенциального поля может быть даноиначе-векторное поле а называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. агда пишут а= - grad И;знак «минус »= gradU.(Инопишут для удобства, обычновекторные линии направлены в сторону убывания И: поток жидкостинаправлен туда,. где давление меньше; теплота перемещается от болеенагретого места к менее нагретому и т.
д.)Пример73.1.Установить потенциальность поляа(М)и найти его потенциал.= (y z -2x)1 + (xz - 2у)] + xykQРешение: Имеем:rota =~jkдддхдуддzyz -2хxz -2у= (х - x)l - (у - у)] + (z - z)k= о.хуСледовательно, поле вектора а потенциальное.Найдем потенциал И по формуле(73.1),выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е.
хоР(х; уо;zo)= -2х, Q(x; у; zo) = -2у,хU(х; у; z) =R(x; у; z)=уо= Zo == ху, тоо. Так какzуJ(-2х) dX+ J(-2~) d1, + Jху d( +с = _х _y2+ xyz +2ООC• •О73.3. Гармоническое полеВекторное поле а называется гарм,О1tu-ч.еС7I:Uм, (или .лаnлаСО6'Ым,),еслионот. е. еслиодновременноrota =О иявляетсяdivaпотенциальнымисоленоидальным,= о.Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока JКидкости при отсутствии Внем источников и стоков.Так кака= grad И,поле а потенциально, то его MOJКHO записать в видегде И= U(х; у; z) -потенциал поля.Но так как поле одновременно и соленоидальное, тоdiv а= div grad И =о,или, что то JКe самое,т.
е. потенциальная функция И гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как YJКe упоминали, гармонической.ГлаваXVII.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИКОМ ПЛ ЕКСНОГО П ЕРЕМ ЕН НОГОIЛекции БЗ-Б8§ 74.74.1.IФункции КОМПЛЕКСНОГОrlEPEMEHHOrOОсновные понятияПусть даны два множествакомплексные числа (см. гл.DVI).и Е, элементами которых являютсяЧислаz= х + iyизображать точками комплексной плоскостимножества Е~-z,точками комплексной плоскости&ли каждому числу (точке)zЕDмножестваD будемw = u + ivа числаw.по некоторому правилу по-ставлено в соответствие определенное число (точка)wЕ Е, тоговорят, что на множестве определена одноз'Нд'Ч:н.ая фУН7С'ЦtLЯ 7Со.мnJl.е7Ссного nере.менного w= j(z),отображающая множествоDв множество Е (см.
рис.282).Если каждому z Е Dнесколько значений w, тосоответствуетфункция=УI A~!V~Ww= j(z) называется .м'НогОЗ1и'ч:ноi1.Множество D называется областьюоnределе'Н'U.Я функции wj(z); множество Е 1 всех значений w, которые j(z)~ О=принимаетна Е,называетсяобластьюРис.з'Ншч,е'Нui1 этой функции (если же каждаяточка множества Е является значением функции, то Ечений функции; в этом случае функцияjотображаетD282область знана Е).Далее, как правило, будем рассматривать такие' функциидля которых множестваDиw = J(z),и Е] являются областями.
Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладаJoщих свойствами открытости и связности (см. п.Функциюw= J(z)43.1).можно записать в видеu+iv=j(x+iy),т. е.j(xгдеи+ iy)= u(х; у) = Rej(z),= u(х; у)v+ iv(x; у),= v(x; у) = Imj(z),(х; у) ЕD.Функцию u(х; у) при этом называют деi1ствuтель'Ноi1 'Частью фУ'Н7(;'ЦUUj(z), а v(x; у) - MHUMOi1.Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.Прu.мерw= Z2.Найти действительную и мнимую части функции74.1.о Решение: Функцию w =т. е.uОтсюда следует: u = х74.2.2-z2 можно записать в виде u + iv = (х + iy)2,+ iv =у2,Vх2- у2= 2ху.+i2xy.•Предел и непрерывность функции комплексногопеременногоПусть однозначная функция wокрестности точкиzo,=o-х;ресm'Н.осmъю mо'Ч-х;uZoность круга радиусас центром в точке6определена внекоторой1(z)исключая, может быть, саму точкуzo.Под6-комплексной плоскости понимают внутренzo.=~Число Wo называется nредело,м фУН'К:'Ц'U'U Wl(z) в mо'Ч'К:е Zo(или при z -+ zo), если для любого положительного е найдетсятакое положительное числонеравенствуIz - zol < 6,Записывают:6,что для всехz f Zo,выполняется неравенствоlim l(z) = wo.удовлетворяющих11(z) - wol < е.Это определение коротко можно заz---tZQписать так:(Ve > О 36 > О Vz : О < 1z - Zo 1< 6 ===> 11 (z) - Wo 1< е) <===> limZ~ZOИз определения следует, что если пределWo1(z) = wo·существует, то существуют и пределыlimх-+хои(х; у)= иоиУ-+УОlim v(x; у)х---+хо= Vo.У-+УОВерно и обратное утверждение.Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции одного (или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного.
Так, если функции!I(z)и12(Z)имеioт пределы в точкеlim (cl11(Z) ± c212(z)) =Z---+Zoгде Сl, С2-сlZoЕD,тоlim !I(z) ±Z-+ZoС2lim 12(z),z---+zqпостоянные;lim !I(z)· 12(z) = lim !I(z)· lim 12(z)z-+zoz-tZQи()lim ~Z-+Zo 12(z)еслиlim 12(z)х---+хоflimZ-+ZOЛ(z)= _z_-+_z.:....o_ _lim 12(z) ,z-+zoо.526'~Пусть функция w= j(z) определена в точке z = Zo и внекоторойw = j(z) называется н,еnрерЪL8цоtl 8mО'Ч7Се zo, если lim j(z) = j(zo).ее окрестности. Функцияz----tZQОпределение непрерывности можно сформулировать и так: функ-цияj(x)непрерывна в точкеесли бесконечно малому приращениюZo,аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:= О.lim !:ij(z)~z-+oФункцияf(z)непрерывна в рбластиD,если она непрерывна в каждой точке этой области.Модуль непрерывной функции комплексного переменного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция действительногопеременного (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
