Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 69
Текст из файла (страница 69)
;(67.9)он,е-ч,еmн,ая функция, то001Гnхf(x) = "L....- Ь n sin -z-,(67.10)n=lгдеЬn2=l1ГnхJf(x)sin-1-dx,1о488n= 1,2, ...(67.11)Прuм.ерРазложить функцию67.3.f(x) =х на интервале(-4; 4)в ряд Фурье.QРешение: Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Ди(67.10) и (67.11), при l 4, имеем:=рихле. По формулам00х7rnх= '"'~bnsin -,i=J4J . 7rnX4гдеЬ n -- 4"2х sш-4- dх, n -- 1, 2, 3 , ...оВычисляем Ь n :bl l =1(7rnxl44442" -х 7rn COS""4 о + 7rn. 7rn7rnXI4)sin -4- о88= --СОS7rn= _7rn. (_1)n+l,7rnn = 1,2,3, ...Таким образом,8 (Sin~271"Хsin _37ТХ__4_ _sin__4_+ _4_ _Х=-17rдля-467.4.2...)3•< х < 4.Представление непеРИОАическои функции РЯАОМФурье=Пусть учисловой оси1(х)(- 00-непериодическая функция, заданная на всей< х < 00).Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т.
к. суммаряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не можетбыть равнаf(x)для всех х.ОднакоУ1(х)YI',ряда,,Y=f(x) :fl(X)~~-l: .оьРис.262х~еnеР'Lюди-ч,еск:а.яфу-нк:'Цuя-мо:жеm быmъ представлена в видеФуръена любомк:о-не-ч,но-м nро-ме:жуm'ICе [а; Ь], на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого .можнопоместитьначалокоординатвсередину отрезка [а; Ь] и построить функциюfl (х) периода Т = 2l = Ib - al такую, чтоfJ (х) = 1(х) при -l ~ х ~ {. На рисунке 262 приведена иллюстрация построения функции 11 (х).Разлагаем функциюfl(х) В ряд Фурье. Сумма этого ряда во всехточках отрезка [а; Ь] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функциейf(x).Вне этого промежутка сумма ряда и f(х) являются совершенно различными функциями.Пусть теперь непериодическую функциюжить в ряд Фурье на отрезке [О;[].f(x)требуется разло(Это частный случай : начало координат перенесе но в точку х =а отрезка [а; Ь]; область определенияфункцииf(x)будет иметь вид [О;[],где l= Ib -al.)Такую функцию можно произвольным образом доопределить наотрезке[-l;периодом ТО], а з атем осуществить ее периодическое продолжение с= 2l .
Разложив[Jряд Фурье на отрезкетаким образом периодич ескую функцию[-1 ; [] полученнуюfl (х), получим искомый ряддля функцииf(x) при х Е [О; [] .В частности, функцию f(x) можно доопределить на отрезке [-l ; О]четным образом (т. е . чтобы при -l ~ х ~ О было f(x)f( -х)) -=см. рис.263.В этом случае функцияразлагается в ряд Фурье,f(x)который содержит только косинусы (см. формулы(67.8)и(67.9)).уу-.,---,-ly=f(x)-- . , ""/1 (х)хО-l:, о~ ....... '"Рис.f(x)продолжить на отрезок [-l;О] нечетным(67.10)и(67.11)) .Ряд косинусов и ряд синусов для фу нкции[],264то она разлагается в ряд , состоящий только из264),синусов (см.
формулы"Рис.263Если же функциюобразом (см. рис.ке [О;х,имеют одну и ту же сумму. Если ХО -f(x), то сумма как одного, так и дру гогочислу : S(xo) = f(xo - О) ~ f(xo + О) .f(x) , заданнойна отрезточка разрыва функцииряда равна одному и тому жеЗа.ме-ч.анuе. Все , что было сказано о разложении в ряд Фурье функцииf(x)на отрезке [О;[] ,переносится практически без изменения наслучай, когда функция задана на отрезке [О ; 7Т]; такую функцию можно разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулыи(67.3)).Прu.мер 67.4. Разложить в ряд косинусов функциюО < х < 7Т.(67.1).f(x)= 7т 2" Х,1(х)о Решение: Продолжим функциюзом (см.
рис.7Г"2{=11(Х)'ХО<х<7Г,7Г+Х2 '=с периодом Тна отрезок [-1Г; О] четным обраРазлагаем в ряд функцию265).-7Гуr."2<х <О27Г. Условиям теоремыо-1[Используя11 (х) удовлетворяет.формулы (67.1) и (67.2), нахо-хДирихле функцияРис.265дим:ао2j7Г7Г-х-2- dx7гап= "2'= -;1= -2j7Г7Г-х- - cos nх dx = --2(1 7го7Гn2оcos 7Гn).Таким образом,7г1(х ) --2Х_?!.:.~ (cos х7г12+- 4cos 3хз2+cos 5х52+)+.
.. ,где О < х < 7г (при этом 5(0) = i ; i = ~, 5(±7Г) = О! о = о).•67.5. Комплексная форма ряда ФурьеРяды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Преобразуем ряд(66.12)и его коэффициенты(66.13)-(66.15)к комплекснойформе. Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинуси синус через показательную функцию:cos nх = ---2--(из формулы Эйлераравенства e-i:psin'P=еi:p2ie-i:pаоf(x)==ei:pCOS'Pe inx _ e- inxsin nх = - - - - 2i+ i sin 'Р и вытекающего из нееi sin 'Р находим, что COS'P =COS'P -еi<p+2е-i:p). Подставив эти выражения в ряд (66.12), находим:00= 2 + L аn .einx+ e- inx2+ Ьпeinx_e- inx2i.n=1ао=2 +L00einx + e- inxeinx _ e- inxаn .2- ib n .2п=1=а20+(аL00- ib )einxnn=12n++ ib )e- inx(аПn2inx + с= ао2 + '\'L сn eо-пn=]бгде о означено сп==00ад -2ib n с_ а п + ib n' -д 24 1e- inx ,(67.12)Найдем выражения для комплексных коэффициентов сп и с_n.
Используя выражения для а n и Ь n (формулы1(1СП ="2 :;(66.14)и(66.15)),получим:J1г f (х) cos nх dx - i:;1 J1г f (х) sin nх dx =-- -1 J f(x)(cosnx - isinnx)dx = -1 J f(x)e-inxdx,)-n-~1г1г21Г21Г-1Гт. е.1Сn =21ГJ f(x)e-inxdx1rсоао=(n=1,2,3, ... ),1гJ f(x) dx,1"2 = 21Г(67.13)(67.14)-"jсп = ~ (~f(x) cosnxdxf(i) Sin'nXdX)-п1fj+ i~-1Г(х)( cos nх + i sin nх) dx = 21Г-"J1r(n = 1,2,3 ... ).-"Таким образом, формулуf(x) = со(67.12)L= cne inx + cne- inx ,+(67.15)можно записать в видеилиf(x) =n=lL=cne inx . (67.16)n=-ооКоэффициенты этого ряда, согласно формулам(67.13)-(67.15),можнозаписать в видеJ f(x)e-ШХdх1г1сn =21Г~Равенство.(n=0,±1,±2, ...
).(67.17)(67.16) называется 1Со,м,nле1СС'НОu. фор,м,оu. ряда Фуf(x), а числа СП, найденные по формуле (67.17),-рье фу'Н1СЦUU1Со,м,nле1СС'Н'Ы,м,'U 1Соэффuц'Uе'Нmа,м,'U ряда Фурье.Если функцияf(x)задается на отрезке[-l; [], то комплексная форма ее ряда Фурье имеет видf(x) ==Ln=-=сnеin1rx1,СП1= 2lJ f(x)e1_in1rx1dx(n = О, ±1, ±2, ... ).-1(67.18)Как видим, комплексная форма ряда Фурье (и коэффициентов)более компактна, чем обыкновенный ряд Фурье.В электротехнике и радиотехнике члены ряда сnеlapM01tur;;aMU, коэффициенты сп моник, а числа W NJr n (nО,==liлnхназываются1r;;о,м,nлеr;;с1t'bl.Ми а,м,nлuтудами гарволнов'bl.Ми 'Чuсла,м,и±1, ±2, ...
) -00функцииI:f(x) =cnei"'n X •n=-ооны,м,Совокупность величин {С1, С2, ... , сп, ... } называется а,м,nлитудcner;;mpoM.Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикальных отрезков длиной сп, расположенных в точкахWNчисловойJr n-lоси.Прu.мерПостроить ряд Фу67.5.урье в комплексной форме для 2-периоди1ческой функцииf(x) ={~'xE[-l;О),х Е [О;1],о Решение: На рисункеграфик функцииспf(x).J112 e- i7ГnХ dх ==о1Рис.-i7ГnХ 11о2Jrnii= --(cos 7Гn - i sin 7Гn - 1)27ГnIIII--234IIх266изображен266По формулам- eО-2 -1= 2.т--=(67.18)находим1 ( i7rn= 2:ni e-(-1)n-127Гni, n 7'=-(l= 1):)1 =О;1со = 21Jdx = 2·1оСледовательно, для всех точек непрерывности функцииf(x)справед-ливо равенство1f(x)00L= 2+in=-СХ)( -1) n-1 i7ГnХ----е27Гn=(n#О)12. (е=--1(S(O)§ 68.= О! 1=i7ГХ7г7ГХЗi7ГХЗi7ГХееe--+--+--+--+...
)7г37Г37Г~, S(±l) = 1! 1 = 1, на графике S(x) не отмечена) .•И НТЕГРАЛ ФУРЬЕКакфункциюизвестно,f(x),(периодическуюилинепериодическую)удовлетворяющую на отрезкевсякую[-l; []условиям теоремыДирихле, можно разложить в ряд Фурье00+ L а n COSWnX + Ь n sinwnx,f(x) = ~O(68.1)n=lгде w1Гn-1 'n -1Iаn=у / f(t)coswntdt(n=О,1,2, ... ),-11Ьn = у/(68.2)1(n = 1,2, ... ).f(t) sin wnt dt-1Это разложение будет справедливым на всей числовой оси Ох втом случае, когда f(х)периодическая функция с периодом Т-= 2/.Рассмотрим случай, когдаf(x) - непериодическая функция, заданная на бесконечном промежутке (-00; 00) (т. е.
1 = +00).Будем предполагать, что на любом конечном промежутке [-1; l]функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходится следующий несобственный интеграл:00If(x)1 dx = М < 00./-00Говорят:f(x)абсолютно интегрируема на всей числовой оси.Подставляя в рядзначения коэффициентов а n и Ь n(68.1)(68.2),получим:1f(x)= 211/1f(t) dt + у-1100L /f(t)(coswnt· cosWnX + sinwnt· sinwnx) dt,n=l_1т. е.1f(x)1J f(t) dt + у L J f(t)·1= 2l-1100Будем теперь неограниченно увеличиватьчасти равенства(68.3)приdtl~21 /1/12l /-1Wnf(t)coswn(t -х) dt.(68.3)n=l -1l -+ +001/If(t)ldtl.Первое слагаемое в правойстремится к нулю, т. к.~-1М1002l /If(t)1 dt=2t -+ О.-00Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (68.3).-- -l1Гn принимает значения wl = Т,1г W2 = Т,21Г wз = Т,31ГВеличинабо разую-...
,щие бесконечную арифметическую прогрессию с разностыо ~Wn = т4 4(6.w nИтак,= W n+l11lnWn ,-0,1,2, ... ),1при этом6.wn-1 О при1 -1 +00.1J f(t)· coswn(t - х) dt = ;: n=lL J f(t)· coswn(t - х) dt· Т =n=l -1-100L~ ~ ~ ()00со,,""(' - х) dt) !'."'" ~ ~ ~ <Р("'n) . !'."'n,f(t)·1где <p(W n )J f(t)· coswn(t - х) dt, Wn = Т, '2{, ... , nI=Jr,·· .-1Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции1<p(w)J f(t)· cosw(t - х) dt,=w Е (О; +00)-1(доказывается, что так оно и есть), поэтому, переходя в равенствек пределу при1 -1 +00,1f(x)001= ;:f(x)n=lФормулаJ <p(w) dw,00ОJdw J f(t) cosw(t - х) dt.00о§100= -1г 1lim"<p(w n )6.wn = .....~1гили(68.3)получаем00(68.4)-00называется форму.л.оiJ.
Фурье, а интеграл в пра(68.4)вой части формулы-uнтегра.л.ом Фурье для функцииf(x).Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функцииf(x);в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен среднему арифметическому ее односторонних пределов:~1 1dwоf(t)cosw(t-x)dt=f(x-О);f(х+О).-00Формулу(68.4)можно переписать в другом виде (в виде однократного интеграла):1f(x) = ;:J dw J f(t) cosw(t - х) dt =0000о1= ;:-00J dw J f(t) (coswt . coswx + sinwt· sinwx)dt =00о00-001dw(~ 1f(t)coswtdt.coswx+~ 1f(t)sinwtdt.sinwx),о-00-004т. е.J(A(w)00f(x) =coswx+ B(w) sinwx) cUv,(68.5)огде1A(w) = -7rJ f(t) coswtdt,J f(t) dt.0:0-001B(w) = -7r00sinwt-00Как видно, есть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье: в обоих случаях функцияf(x)раскладывается на сумму гармонических составляющих.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
