Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Предположим, что функция лх) разлагается в тригонометрический ряд, т. е.f(x)является суммой ряда(66.5):00аоf(x) = 2" а п cosnx + Ь" sш. nх.+ '~(66.12),,=1Так как функцияf(x)(и сумма ряда) имеет период 21Г, то ее можно рассматривать в любом промежутке длины 21Г. В качестве основного промежутка возьмем отрезок [-1Г; 1Г] (также удобно взять отрезок[о; 21Г]) и предположим, что ряд(66.12)на этом отрезке можно почленноинтегрировать. Вычислим коэффициенты а п и Ь". ДЛЯ этого проинтегрируем обе части равенстваj-лf(х) dx =j а;-1('dx +в пределах от -1Г до 1Г:(66.12)f(а пn=lj-rrcosnх dx + ЬПjsinnх dx) =-Л"1г= J2ао16 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс4 1dx= 1Гао·Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю в силуформул(66.7)и(66.8) .Отсюдаао1J f(x) dx.1r=:;(66.13)-".Умножив обе части равенства(66.12)наи проинтегрировав поcos171xлученный ряд в пределах от -п до п, получим:1rj f ()х1rаО! cos171xdx+cos171xdx = 2-".+f(а nв силу формул171= nicos171Х .
cos nх dx + Ь n-1Г11.=1icos171Х sil1 nх dx) .-п(66.7) , (66 .9)и(66 .10)из последнего равенства приполучаем:1rjf(x)co s nxdx= а n п.-".Отсюдаf (х) cos nх dx , nАналогично, умножив равенство(66.12)= 1,2, 3, ...наsil1 тх(66.14)и проинтегрировав почленно на отрезке [-п;п], найдем:Ьn~1j1r=:;f(x)SiIlnх dx ,n= 1, 2, 3, . ..(66.15)Числа ао, а n , Ь n , определяемые по формулам(66.13)-(66.15), наf(x), а тригонокоэффициентами рядо-м Фурьезываются 'Х:оэффu'Цuе'Нmа-мuметрический рядфункции(66 .5)с такимиФурье функцииf(x).Для интегрируемой на отрезке [-п; п] функцииf(x)записывают00f(x)rv.2ао + ~L а n cosnx + Ь п sш nхn=1и говорят: функцииf(x)соответствует (поставлен в соответствие) ееряд Фурье .
Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим482S(x) .§ 67.РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ27r-ГlЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ67.1.Теорема ДирихлеВыясним условия, при которых знак соответствия (~) можно заменить знаком равенствафункцииf(x)т. е. условия, при которых ряд Фурье(=),сходится и имеет своей суммой как раз функциюБудем рассматривать функцииf(x),имеющие период Тf(x).= 27Г.Такие функции называют 27Г-nерuодu'Ч,еск;u.мu.Сформулируемтеорему,представляющую достаточное условиеразложимости функции в ряд Фурье.Теорема67.1(Дирихле). Пусть 27Г-периодическая функцияf(x)наотрезке [-7Г; 7Г] удовлетворяет двум условиям:1.
f(x)кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечноечисло точек разрыва2. f(x)Iрода;кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либоэтот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, чтона каждом из них функция монотонна.Тогда соответствующий функцииотрезке и1.ряд Фурье сходится на этомВ точках непрерывности функции сумма рядасамой функцией:2.f(x)при этом:S(x)совпадает сS(x) = f(x);В каждой точке хо разрыва функции сумма ряда равнаS(хо) _ f(xo - О) + f(xo + О)-2'т. е.
равна среднему арифметическому пределов функцииf(x)справаи слева;З. В точках х= -7ГИ Х= 7г(на концах отрезка) сумма ряда равнаS( -7Г) = S(Jr) = f(-Jr + О) + f(Jr - О).2~Таким образом, если функцияf(x)удовлетворяет условиям1и 2теоремы (УСЛО6u.я Дuрuхле) , то на отрезке [-7Г; 7Г] имеет место разложение(66.12):00f(x)= а; + L а n cos nх + Ь n sin nх,n==!причем коэффициенты вычисляются по формулам(66.13)-(66.15). Эторавенство может нарушиться только в точках разрыва функцииf(x)и на концах отрезка [-1Г; 1Г].В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье мажет быть получено указанное разложение во всей области определенияфункции.Замеча'Н,ия.1.Если функцияс периодом 21Г на отрезке [О; 21Г] удовлетвоf(x)ряет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение(66.12),где коэффициенты вычисляются по формулам1ао = :;J f(x) dx,211"о1J f(x)cosnxdx, n =Ь N =:; J f(x)sinnxdx, n =J f(x) dx и J f(x) dx равны в силу свойствааn211"=:;1,2,3, ...
,о1211"1,2,3, ...о11"(Интегралы211"ческой функции2.3 периоди-о-11"-см. п.66.1.)Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимыев ряд Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.Прu.мер67.1.Разложить в ряд Фурье функциюf(x)периода 21Г,заданную на отрезке [-1Г; 1Г] формулойf(x)Q= {~xxРешение: На рисункепри О ~ х ~ 1Г,при-1г ~ Х< о.изображен график функции260f(x).Этафункция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она разложима вряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:1ао = -1го11"1=:;11"1г-11"аn31ГJ f (х) dx = -1 J (- х) dx + -1 J2х dx = -,1г-11"1о1О2J f (х) cos nх dx =:; J (- х) cos nх dx + :; J2х cos nх dx =11"-11"-11"11"Оууy=f(x)27ry=S(x)27rРис.260(х- sin nх 10 + """"21 cos .nх 10) + -2 (х1 cos nх 171")= --1- sin nх 171" +""""27rnn7r- 1Г-1ГПОп= - _1_ (1 _ cos пn) + ~2 (cos пn пn 21)7rnО= __3_ (1 _пn 2( -1) n) .Аналогично находимЬN1=-7rJ f(x)sinnxdx = ...1г1= _(_1)n+l.n-1ГИсходной функцииf(x) '" S(x)f(x)соответствует ряд Фурье.1= -3п4 + L~ - -пn32 (1- (_l)n)cosnx + _(_1)n+ 1 sinnx.nn=lФункцияf(x)непрерывна во всех внутренних точкой отрезка [-п; п],поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равенствоf(x) = S(x),т.
е ._ ~ (cosxcos3x cos5x)f( х ) -- S( х ) -- 37r47r12 + з2 + 52 + . . . ++(в точках х= ±п сумма S(x)2f(x)и+ cos3x _3)....ряда равнаf(-7r+О)+f(7r-О)Графики функцийSinx _ sin 2х12S(x)п+2ппоказаны на рис .4853= -2- = 2п260..•67.2. Разложение в ряд Фурье четных инечетныхфункцийЕсли разлагаемая на отрезке [-7Г; 7Г] В ряд Фурье функцияf(x)является четноt!: или нечетноt!:, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда(он становится так называемым неполным).Если функцияf(x)'Четная, то ее ряд Фурье имеет вид00аоf(x) = "2+ '"'L.., а n cosnx,(67.1)n=lгде2ао = :;2Jf(x) dx,7га n = :;оJf(x) cosn;;dx,7гn Е N.(67.2)оЕсли функцияf(x)не'Четная, то ее ряд Фурье имеет вид00f(x) =L Ь n sin nх ,(67.3)n=lгдеЬN=:; Jf(x)sinnxdx ,7г2n Е N.(67.4)оО Как известно (см.
п .39.4) , еслиф у нкцияf( x )интегрируема на симметричном отрезке [-а ; а] , тоaJf( x )dx={2'-аj f( x ) dx ,оО,еслиf( x ) -четная функция,еслиf(x) -нечетная функция.(67.5)Если фу нкцияf( x ) - четная, то f(x) cosnx - четная функ(f(-x)cos(-n x ) = f(x)cosnx), а f(x)sinnx - нечетная функцияи( -х) sin( -nх) = - f(x) sin nх) .Если же f( x ) нечетная функция, то, очевидно, функцияf(x) cosnx - нечетная, а f(x) sin nх - четная.С учетом формулы (67.5) из формул (66.13)-(66.15) получаем формулы (67.1) - (67.4).•ция§Ряды(67.1)и(67 .3)называются неnолн:ы..мu тригонометрическими рядами, или рядами ПО '/Сосинуса-м и ПО синуса-м соответственно.Прu.мерх Е (-7Г; 7Г), т67.2.= 27Г .Разложить в ряд Фурье функциюf(x)=х,ууy=f(x)y=S(x)хРис.о Решение : На рисункеизображен график заданной функции.261Условиям Дирихле функция унечетная .
Следовательно, а nЬN261=х удовлетворяет. Эта функция1 sin nх 1")= -2 j71'. х sin nх dx = -2 (х- - cos nх 171' + '2'1г1г-= О, n = О, 1, . . . , апопо= -2 ( - -1Г) cos 1Гn,n1гот. е. Ь n = 2. . (_1)n+l (n Е N). Ряд Фурье содержит только синусы :n2 ( -1 )n+l'sin 2х + sil1 Зх - ... ) .= L -..
sш nх = 2 (sin- -х - OOХn=1n1При этом S(±rr) = -1Г + 1г2=О23•(см. рис. 261).67.3. Разложение в РЯА Фурье функций произвольногопеРИОАаРазлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от 21Г.f(x), определенная на отрезке [-1; l], имеет периодf(x), где 1 - произвольное положительное число) иудовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле..Сделав подстановку х = 1 t , данную функцию f(x) преобразуем вПусть функция21+ 21) =(f(х1гфункцию cp(t) = f (~t), которая определена на отрезке [-71'; 1Г] И имеетпериод Т= 21Г.Действительно, если-1Г< t < 1гимеем-!t= -1Г,то Х= -l,еслиt= 1Г,CP(t+2rr)=f(~(t+2rr)) =f(~t+2l) =f(~)т. е.<p(t+ 21Г)то Х=l< х < 1;= cp(t) .487'=cp(t),и приРазложение функциив ряд Фурье на отрезке [-1Г; 1Г] имеет вид<p(t)<p(t) = ~00+ L а n cos nt + Ь n sin nt,n=lгде1J <p(t)cosntdt1га n =;;:(n=0,1,2, ...
),-1ГЬnJ <p(t)sinntdt11г=;;:(n= 1,2, ... ).-1Гполучимf(x)ао=21ГХ dt -Z-,-tВозвращаясь к переменной х и заметив, чтоL.+ аn cos -z- + Ь n -z-'001Гnх1ГnхJrd х,Т(67.6)Sllln=lгдеJ f(x) cos -z1Гnхdx1аn= l1(n= 0,1,2, ... ),-1Ьn= l1(67.7)J f(x) . -z- dx1Slll1Гnх(n = 1,2, ... ).-1Ряд(67.6)с коэффициентами, вычисляемыми по формуламназывается рядом Фуръе ДЛЯ фун:к;'Цuuс периодом Тf(x)= 21.(67.7),За.ме-ч,анuе. Все теоремы, имеющие место ДЛЯ рядов Фурье 21Г-периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций,период которых Т= 2Z. В частности, если f(x) на отрезке [-Z; 1] -ч,еmная,то ее ряд Фурье имеет вид00f(x)ао"1Гnх= 2 + L....- аn cos -z-,(67.8)n=!где2аО = lJf(x) dx,21аn = lоеслиf(x) -Jf(x)1Гnх1cos -1- dx,n= 1,2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
