Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Однако, ряд Фурье суммируется по индексупринимающему дискретные значенияnn,= 1,2,3, ... , в интеграле Фурьепроизводится интегрирование по непрерывной пере мен нойw.Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим ввиде замечаний.За.ме-ч.анu.я.Если функция1.'Четна.я, то формула Фурьеf(x) -(68.5)принимает видJ20:0f(x)=где A(w)A(w)coswxcUv,J f(t)coswtdt;0:0=;в случае нечетной функцииJ B(w)sinwxcUv,00f(x)=-где B(w)2Если функция-00(68.7)оf(x)задана лишь на промежутке (О;можно продолжить на промежутокностиJ f(t)sinwtdt.=;о2.(68.6)оо+(0),то ее(-00; О) разными способами, в частчетным или нечетным образом: в первом случае она будетпредставлена формулой3.Формулу Фурье(68.6), во втором - формулой (68.7).(68.5) можно представить в симметричной формезаписи, если положить в формулах (68.6).иB(w) =(68.7) A(w)~jj(w).
В случае четной функции{ioof(x) = у;! A(w)coswxcUv,где A(w)(ioo=у;! f(t)coswtdt;=у;в случае нечетной функцииf(x)= ~A(W),(2= у;I-00 -где B(w)B(w)sinwxcUv,4(2!00f(t) sinwt dt.~ Функции A(w) и B(w) называются соответственно ?Сосинус-nреобразование.м и синус-nреобразование.м Фурье для функцииf(x).4.Интеграл Фурье(68.4)в 'К:омnле'/Сс'Н,оl1 форме имеет видJ e'u;xdv.J J f(t)e-!UJtdt;100.00.f(x) = 21Г-00-()Оинтеграл Фурье(68.5)имеет вид1f(x)J c(w)eiwxdv.J,00= 21Г-00J f(t)e-iwtdt; или в симметричной форме записи00где c(w) =-00J c(w) e!UJx dv.J,100.f(x)= -21Г-00гдеJ f(t)e-iwtdt00c(w)=-00(c(w) =bc(w)).у21ГПри.мер68.1.Представить интегралом Фурье функциюf(x)={е- Х ,х Е (О; +00),О,х=О,е ,ХЕ(-ОО;О).Ха Решение: Функция удовлетворяет условиям представимости интегралом Фурье, абсолютно интегрируема на промежуткео0000J If(x)1 dx = J eXdx + J е-00Функция нечетная, применим формулу~1iХdx= 2.о-00B(w) =(-00; +00):(68.7):J e- t sinwtdt+00О=~1i.
_w_.1 + w2Следовательно,2f(x)=;J 1:W2·sinwxdv.J,+00о4XE(-ОО;О)U(О;+оо).•3аме'Ча'Нuе. Интересно отметить, что если х1(1)= 1, то= ~ 100 wsinw2 dw.1гО1+wС другой стороны, 1(1) = e- 1 = 1. Таким образом,е001о.у sш у d1 + у2 У= 1(1) . ~ = ~.22еИными словами, при помощи представления функций интегралом Фурье иногда можно вычислить величины несобственных интегралов.ГлаваXVI.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯI Лекции 59-62§ 69.IОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯТеория поля-крупный раздел физики, механики, математики, вкотором изучаются скалярные,векторные, тензорные поля.К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многиезадачи физики, электротехники, математики, /о.'lеханики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствуетизучению и других.
Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силывсе они изменяются обратно пропор-ционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картинуобтекания препятствий жидкостью и т.
д.Математическим ядром теории поля являются такие понятия, какградиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие.Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.§Полем называется областьVпространства, в каждой точке кото-рой определено значение некоторой величины. Если каждой точкеМ этой области соответствует определенное число И=U(М), говорят, что в области определено (задано) с~аля.р'Ное поле (или фун'К:'Цu.яmO"iKU).
Иначе говоря, скалярное поле -это скалярная функция U(М)вместе с ее областью определения. Если же каждой точкепространства соответствует некоторый вектор ачто задано вe~тop'Нoe поле=JvIобластиа(М), то говорят,(или ве'К:торна.я фун'К:'Цu.я mO"iKU).При мерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела,... ),... ),атмосферного давления, плотности (массы, воздуха,электрического потенциала и т. д.
Примерами векторных полейявляются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.Если функция U(М) (а(М)) не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется cтa'ЦиOHapHЪtM (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например,скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется неcтa'ЦиOHapHЪtM (или неустановившимся).Далее будем рассматривать только стационарные поля.ЕслиV -область трехмерного пространства, то скалярное поле Иможно рассматривать как функцию трех переменных х, у,точки М):и= U(х; у; z).499z(координат(69.1 )==(Наряду с обозначениями ИU(М), ИU(х; у;U(1'), где f - радиус-вектор точки М.)=Ииспользуют записьz),Если скалярная функция U(М) зависит только от двух пере менных, например х и У, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют nлосх;uм.=Аналогично: вектор ао'(М), определяющий векторное поле,можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов х, у и z:Вектор0,=о'(х; у ; z) (или0,=0,(1')).о'(М) можно представить (разложив его по ортам ко0,=ординатных осей) в виде0,= Р(х; у; z)z + Q(x; у; z)] + R(x; у; z)k,где Р(х; у;z), Q(x; у; z), R(x; у; z) -проекции вектора о'(М) на оси координат.
Если в выбранной системе координатций вектора а=одна из проекOxyzо'(М) равна нулю, а две другие зависят только отдвух переменных, то векторное поле называется nлосх;uм. Например,0,= Р(х; y)z + Q(x; у)].Векторное поле называется oonopoiJHtJtM, если о'(А1)вектор, т. е. Р,RиQ-поле тяжести. Здесь Ртяжести,~иВm --постоянныйпостоянные величины. Таким полем является=О,Q=О,R=-mg, g -ускорение силымасса точки.дальнейшембудемпредполагать,чтоскалярныефункции(U(x;y;z) - определяющая скалярное поле, P(x ;y;z), Q(x;y;z)R(x; у; z) - задающие векторное поле) непрерывны вместе со своимичастными производными.Прu.мер 69.1. Функция И=/1 - х2 -у2-z2 определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центромв начале координат и радиусом R= 1;скалярное поле И=определено во всем пространстве, за исключением точек осиней х 2х2z+уOz2(на+ у2 = О).Прu.мер 69.2.Найти поле линейной скоростиVматериальнойточки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростыоwвокруг осиQOz(см.
п.7.4).Решение: Угловую скорость представим в виде векторана осиOz,W,лежащегонаправленного вверх. Имеем:w = (О; О; w)Построим радиус-вектор f= (х; у; z)(W = wk).точкиJlif(см. рис.267).Численное значение линейной скорости V (модуль), как известноиз курса физики, равно wp, где р расстояние вращающейся точкиM(XjYjz)от оси вращения (оси оz).но рвекторомrи осьюOz).Следовательно,= rsin<p(<р-угол между= VJP = VJ· r· sin<p,Vт. е.V =ji:Jxrl·=Вектор скоростивращения,Vсовпадает снаправлен в сторонунаправлениемzвекторного произведения w х r (V ..1 т, V ..1 w, векторы w, Т, V образуют правую тройку).
Следовательно, V = w х Т, т. е.V=ijkооVJzХилиV=у= -VJуi + VJX] + О . kухРис.(-VJУj VJXj О).Поле линейных скоростей267V тела, вращающегося вокруг неподвиж-ной оси, есть плоское векторное поле.§ 70.70.1.•СКАЛЯРНОЕ 11ОЛЕПоверхности и линии уровняРассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией И= U(х; у; z).Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.~Поверх'Ностью уров'Н,я скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.U(х; у;Давая в уравнении(70.1)z)= С.(70.1)величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бырасслаивают поле.
Через каждую точку поля проходит только однаповерхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение(70.1).Для скалярного поля, образованного функциейИ=)1 -х2-у2-Z2,поверхностями уровня является множество концентрических сфер сцентрами в начале координат:с= 1 получим х + у + z2 = О,22J1 - х2 -у2-z2= с.В частности, прит. е. сфера стягивается в точку.Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.~В случае плоского поля И= U(х;у)равенство U(х;у)= с представляет собой уравнение ли'Нии уровн..я поля, т. е.
линия уровня-это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U(х; у) сохраняет постоянное значение.В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являютсялиниями уровня и представляют собой функции координат точек местности.Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п.12.9).70.2. ПроизвоДная по направлениюДля характеристики скорости изменения поля И= U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».Возьмем в пространстве, где задано поле И=U(х; у;z),некоторую точку М и найдем скорость изменения функции И при движенииточки },;[ в произвольном направлении Л. Пусть вектор Л имеет началов точке М и направляющие косинусыzХcos а,cos (З, cos ')'.Приращение функции И, возникающеепри переходе от точки М к некоторой точке~__;з :t.z_ ____ L ______ _М ! в направлении вектора Л определяетсякак..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
