Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 75

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 75)

теорема43.1).74.3. Основные элементарные функции комплексногопеременногоОпределим основные элементарные функции комплексного пере­z=менноroх+ iy.Показательная функция~Показательная функция ww=e =еZПоложив в этом равенстве Уных значений= eZ=Хопределяется формулой(cos У+ i sin у).О, устанавливаем, что для действитель­х показательная функцияz =eZной функцией действительного переменного:Показательная функцияe ZI .

eZ2= eZI+Z2.(74.1)w = eZсовпадает с показатель­e Z ==еХ •обладает «известным» свойством:Действительно, по правилу умножения комплексныхчисел «<модули перемножаются, а аргументы складываются», п.28.3),имеем:e Z1 • eZ2 =Хе \•+ У2) + i sin(Yl + У2)) =+ У2) + i sin(Yl + У2)) = е Х \ +X2+ i (YI +У2)е Х2 (COS(Yl= е Х1 +Х2 • (COS(Yl= e Z \ +Z2.Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: e ZI :e Z2 =e Z1 - Z2 ,(eZ)n=e nz(nЕN).lezl = еУчитывая, чтофункцияeZХИсходя из определенияlimfuz-+-oo(х-+-оо)выражение, а еХi=О, утверждаем, что показательнаянигде в нуль не обращается, т.

е.eZприz(74.1),eZ= О,eZi= О.легко убедиться, чтоlimfuz-++oo(х-++оо)--? 00 не имеет смысла.eZ= 00,Положив в равенствескую формулу Эйлера еiЧ'(74.1) х = о, у = <р, получим классиче­= cos <р + i sin <р. С ее помощью, в частности,можно представить тригонометрическую форму комплексного числа= т· (cos ip i sin ip) в более компактной форме z = т · еiЧ' (= Izl · e iarg Z),+zназываемой nоказаmеЛЪ1iо11 фор.м.о11 комплексного числа (см. п.~27.3)Показательная функция комплексного переменного обладает испецифическим свойством: она является nериоди'ЧеС'ICоt1 с мни­мым основным периодомQ2Jri.Действительно,ez +27fi = eZ • е27Г;= еХ•(cos 27Г+ i sin 27Г)= eZ ,=т.

е. е z + 27ГieZ • Отметим, что е Х не всегда больше нуля. Например,7Г;е-1 < о.=•Логарифмическая функция~Эта функция определяется как функция, обратная показательной:числоwзначаетсяwназывается логарифмом 'Числа z =1= о, если е= Ln z.= z, обо­Так как значения показательной функции е Швсегда отличны от нуля, то логарифмическая функцияделена на всей плоскостисмысл и выражениеШz,кроме точкиz=Оw = Ln z=zопре­(стало быть, имеетLn( -2)).==Положив zr .

еiЧ', wи + iv, получим, согласно определениюлогарифмической функции, e u +iv = r . еiЧ', или е " . e iv =;: r . еiЧ'. Отсюдаимеем :еи=т,v=<p+2kJr, T.e.u=lnr, v=<p+2kJr(k=0,±1,±2,... ).Следовательно,w = Ln z = u+ iv =ln r+ i(ip + 2kJr)т.е.

Lnz = lnlzl + i(argzArg z ::: arg z + 2kJr,..Формула(74.2)или,+ 2kJr)+ i(argz + 2kJr) , (74 .2)Lnz = lnlzl + iArgz, где= ln Izlпоказывает, что логарифмическая функция ком­плексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е.w ::: Ln z -многозначная функция.Однозначную ветвь ЭТОй функции можно выделить, подставив вформулу(74 .2) определенное значение k. Положив k = о, получим од­нозначную функцию, которую называют гла61iЪ'-М.

З1iа'Че1iuе.м. логариф­маLn zи обозначают символомlnz = ln Izl+iln z:argz,где- 7г < argz ~ 7Г.(74.3)Если z -действительное положительное число, то a.rg z ::: О И ln z :::::: ln Izl, т. е. главное значение логарифма действительного положи­тельного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этогочисла .528ФормулуИзw(74.2)формулыможно переписать так:следует,(74.2)чтоLn Z = ln Z + 2kJri.логарифмическаяфункция= Ln Z обладает известными свойствами логарифма действительногопеременного:Ln(z! . Z2)LnC:)Ln znLn= Lnz!= Lnzl+ Lnz2,- Lnz2,= n· Ln z,1nO/Z = - .

Ln z.о Докажем, например, первое свойство:Ln(zl . Z2)= ln IZl . z21 + iArg(zl . Z2) = ln(lzll·lz21) + i(Argzl + Argz2) == (ln IZ11 + iArgzl) + (ln IZ21 + iArgz2) = Ln ZI + Ln z2. •Прu.мерВычислить74.2.Ln( -1) и ln( -1); ln 2i.Решение: Для числа z = -1 имеем 1Z 1 = 1, argz = 1Г. Следовательно,Ln(-l) = ln 1 + i(Jr + 2kJr) = iJr(2k + 1), ln(-l) = JrZ (формулы (74.2)и (74.3)); ln 2i = ln 12il + iarg2i = ln 2 + i~.•QСтепенная функцияw= zПn - натуральное число, то степенная функция определяетсяw = zn = т (cos n<р + i sin n<р). Функция w = zn - однознач­ная. Если n = 1 (q Е N), то в этом случае1 q q г:,z __ Q!"i"":II1(arg z + 2kJr..

arg z + 2kJr)ЕслиравенствомWn= zq =У""Vlzlгде!= zqЗдесь функция wCOSq+zsш,qk= O,1,2, ... ,q-l.есть многозначная (q-значная) функция. Одноk определенноезначную ветвь этой функции можно получить, придавk = О.Если n = Р., где Р, q Е N, то степенная функция определяетсяравенствомqр.(l)p(p(argz+2kJr).. p(ar g z+2kJr))w=zq = zq= QGIIVlzl P cos+rsш.значение, напримерqqр.Функция w=zq-многозначная.Степенная функция wтелем а= za С произвольным комплексным показа­= а + if3 определяется равенствомw = za = е Ln z.а2Функцияw= zaфункцией. Так,При.i'определена для всех. L.H(1L+27rk)= е'П>7r=е2z"1=еО, является многозначной-27rk_К, где2k= О, ±1, ±2, ...k = О имеем: ii = е -"2.Тригонометрические функцииТригонометрические функции комплексного аргументаz= х + iyопределяются равенствамиsin z=e iz _ e- izcosz-----=-:--2iПри действительных=sinztgz = - - ,cosz2=sшzэти определения приводят к тригонометриче­zским функциям действительного переменного.

Так, при.eix _ e- ix1. .. .1sшzcoszctgz = -.-.z = х (у = О)...= 2i (соsх+~sшх-(соsх-~sшх)) = 2i2~sшх = sшх.2iТригонометрические функции комплексного переменного сохраня­ют многие свойства тригонометрических функций действительного пе­ременного. В частности,sin 2 z+ cos 2 Z= 1,sin 2z = 2 sin z cos Z,COS(Zlsin(z+ Z2)+ 27Г)cos(-z)= cos ZlCOS z2 -sin zl sin Z2,= sin z,= cosz,sin( -z) = - sin z,tg(z+ 7Г)= tgz,COSZ=Опри z(k= 0,±1,±2, ... ),2 tgz2'1 - tg ztg2z=sin (z+ ~). (37Г)+ 2""SШ Z7г="2 + kK= cos z,= - cos z,и т.

д. Докажем, например, первое свойство:.sш2Z+ cos 2 Z =(eiZ _ e-iZ) 22i+(eiZ+ e- iZ )22e 2iz _ 2 + e- 2ize 2iz + 2 + e- 2iz------+----:----44_e2iz+2-e-2iz+ e 2iz + 2 + e- 2iz4534=4=1.•Отметим, что тригонометрические функцииzлексной плоскости1тlimz .... ±ooи СОБsin zzв комп­неограничены:sin z =Так, например, cosi = е +2е-100,1тlimz .... ±ooСОБz=00.;::;: 1,54 > 1, cos3i > 10.Гиперболические функцииЭти функции определяются равенствамиeZ _ еshz = - - - -•2e Z + еchz= - - - -•2shzthz = - h 'сchzcthz= - h .s zzЛегко заметить связь между гиперболическими и тригонометриче­скими функциями. Заменяя в указанных функцияхилиshiz = isinz,zнаполучим:iz,sinz = -ishiz,ch iz = cosz(а также= i tg z, ctg iz =tg izПользуясьсвязывающихэтими-i ctg z).равенствами,гиперболическиеможнофункции .получитьТак ,рядзаменяяформул,в формулеsin 2 z + cos 2 z = 1 тригонометрические функции гиперболическими, получим(-ishiz)2 + (chiz)2 = 1,22или - sh iz+ch iz = 1.

Так как здесь z - любое комплексное число, тоiz можно заменить на z; получим формулу ch 2 Z - sh 2 Z = 1. Приведемеще ряд формул:ch2z=ch2 z +sh 2 z,ch(-z)=chz,sh 2z = 2 sh z ch z,sh( - z) = - sh z,Ch(Z1 + Z2) = chz l chz 2 + shz l shz 2 ,shz + chz=eZ,и т.Д.Из определения гиперболических функций следует, что функцииsh zиch zni.периодические с периодом2ni;функцииth zиcth zимеютпериодОбратные тригонометрические и гиперболические функцииЧислоwназывается ар7ССUНУСО.м числа z, еслизначаетсяw = Arcsin z .Используя определение синуса, имеем zsin w = z,и обо­= sin w = е iw "2 z.е -iw ' или,e 2iw -2ize iw -1 = о. Отсюда eiw = iz+ J(iz)2 + 1, Т.

е. e iw = iz+ V'1=Z2(перед корнем можно не писать знак ±, так как V'1=Z2 имеет двазначения). Тогда iw= Ln(iz +~,или w= t Ln(iz + V1="Z2).Таким образом,w = Arcsinz = -i Ln(izФункцияw=+ ~).многозначна (бесконечнозначна). АналогичноArcsin zопределяются другие обратные тригонометрические функции. Можнопоказать, что= -i Ln(z + VГZ2=1),ii - zArctgz = -- Ln - - (z f:; ±i),2i +zArccosz..Arcctg zZ - 2= -22 Ln z +i(z f:; ±i).Функции, обратные гиперболическим , обозначаются соответственноw=Arshzтангенс), w(ареасинус) ,= Arcthzw=Archz(ареахосинус) ,=wArthz(ареа­(ареак:отангенс).Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения:Arshz = Ln(zArthz+ ~),11+z= -2 Ln -,1- zArchz= Ln(z + Jz2"=1),Arcthzz+1= -21 Ln -.z- 1Все эти функции бесконечнозначны.74.4.

Дифференцирование функции комплексногопеременного. Условия Эйлера-ДаламбераПусть однозначная функция wокрестности точкиz,lim t:.wc.z->O~= j(z) определена внекоторойвключая и саму точку. Тогда пределt:.z=lim j(zc.z->O+ t:.z) - j(z) = j'(z),t:.zесли он существует, называется производноЙ фун~циито'Ч~ето'Ч~еz,а функцияj(z)(74.4)j(z)вназывается дифференцируемоЙ вz.Подчеркнем,что в равенстве(74.4) t:.z любымz + t:.z можетобразом стремится к нулю, т. е. точкаприближаться к точкеzпо любому из бесконечногомножества различных направлений (см. рис.283)(ваналогичной ситуации для функции одного действи­тельного переменного точка хРис.283+ t:.xприближается кточке х лишь по двум направлениям: слева и справа) .Из дифференцируем ости функцииj(z)в некоторой точкеzсле­дует ее непрерывность в этой точке (отношение ~~ при 6.z ~ О мо­жет стремиться к конечному пределу~w-+J'(z)лишь при условии, что иО). Обратное утверждение не имеет места.При каких условиях функция= j(z)wбудет дифференцируемойв данной точке?= и(х; у) + iv(x; у) определена в не­z = х + iy, причем в этой точке действи­тельные функции и(х; у) и v(x; у) дифференцируемы, то для диффе­ренцируемости функции w = j(z) в точке z необходимо и достаточно,Теорема74.1.Если функция wкоторой окрестности точкичтобы в этой точке выполнялись равенствадидхРавенства(74.5)av-(74.5)ду'называются условиямuЭi1лера-Дала.мбера (или условиями Кошu­уРи.ма'Н.а).о Необходu,м,осmъПусть функцияма вточкествуетинеz,j(z)дифференцируе­тогда пределзависитотпути,(74.4)посуще­zкоторому6.z = ~x+i~y ~ О.

Характеристики

Список файлов лекций