Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е.с центром в начале координат).z,R =Izol такоIzl < R,удовлетворяющих неравенствуабсолютно сходится. НеравенствуIzl < Rудовлетворяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиусаR~с центром в точкеz =О.Izol = R называется радиусом сходимости ряIzol < R - 7f,ругом сходимости ряда. В кругеВеличинада (76.5), а кругIzol < R ряд (76.5) сходится, вне этого круга - расходится; на окружIzol = R могут располагаться как точки сходимости, так и точкиностирасходимости ряда.Принято считать, что= О;ке zR= 00,Кругом сходимости рядаточкеz== О, когда ряд (76.5) сходится в одной точ(76.6) является кругIz - zol < Rс центром в= zo.РадиусRRкогда ряд сходится на всей комплексной плоскости.limn .... оосходимости1.....fzL1(илиС n +1рядаR(76.5)limn ....
ооможно вычислить по формуле1\.IICJ ), получаемой после применеIcnlnния признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членовисходного ряда.Приведем (без доказательств) некоторые сво71сmва степенного ряда.1.Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция.2.Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз.
Полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходныйряд.Прu.мер 76.1. Найти область сходимости ряда00Ln=оn~.n.Q Решение: Здесь сп = ~!' с n +l = (n ~ 1)!'R = lim I~ I = lim (n + l)!n .... оо С п +1Т. е.Rкость= 00.n .... ооlim (nn!n .... оо+ 1) = 00,Следовательно, областью сходимости является вся плосz.•00Прu.мер 76.2. Найти область сходимости ряда n~oQ Решение: Здесь RqбластиIz - il < 2.Прu.мер76.3.2n + 1 (n= nl~~(n+ 2) = 2.+ 1)2nI(z i)n(n;1)2n.Данный ряд сходится в1•Определить радиус сходимости рядаи исследовать сходимость ряда в точках ZI4= О,z2= i,z3=3-2i.QРешение: Воспользуемся признаком Даламбера.
Здесь22n 2n+21.I и n +l I . Iz + 1Vn2IUn+ll= Izуn+l~,11т - - = 11т гп+1 2 =Izl·n->ооиn->ооn+llz nl2nllunl= Izуnг.::'nРяд сходится при всех z, удовлетворяющих неравенству Izl2Izl <Кругом сходимости является круг с центром в точке1.радиусом< 1,т. е.zО и=1.=ОТочка ZIлежит внутри круга сходимости, в этой точке рядсходится абсолютно. Точкаz2=iлежит на границе круга сходимости,в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) и расходиться. Подставляя значениеi)2nполучим (_1)n+l (vn= -ряд с общим членом и nзнаку Коши (теоремаряд2n(_1)n+l Zг.::00Ln=оz2=iв выражение общего члена ряда,(1)n+l (1)nvn-= ( - 1)2n+l = __1_.vnvnЧисловой= fп расходится согласно интегральному при-60.5).Следовательно, в точке Z2=iстепеннойрасходится.уn=3 -Точка zз2iлежит вне круга сходимости, ряд в этой точкерасходится.•РЯА Тейлора76.3.Теорема76.4.Всякая аналитическая в кругеIz -zol < Rфункцияможет быть единственным образом разложена в этом круге вI(z)степенной ряд00I(z)=Lcn(z - zo)n,(76.7)n=окоэффициенты которого определяются формуламиfС'n = '----/(_n)--'n.---(z---'--o) = _12ni-,IЮ,~l(( - zo)n,d(:<,(n= 0,1,2,3, ...
) ,(76.8)lrгде [т внутрипроизвольная окружность с центром в точкекруга.Степенной ряддля функцииI(z)(76.7)называется рядом Теuлораzвнутри данного круга и проведем окружность с центром в точкедиусомкругаr < RIz -zolтак, чтобы точка<r(см. рис.295).zлежащая. . . ..... ....... . ",z, .'..г·····... ... ZO . ...в рассматриваемом круге.О Возьмем произвольную точку..i)zo,Zoи ранаходилась внутри. .....:: "н -: .:... ~r·Рис.295.Так как функцияj(Z)аналитична в кругеIz - zol < ти на его границе lr, то ее значение в точкеz можно найти по формуле Коши (75.9):j(z) = -21.точка на окружности lr· Имеем:f !(~) d1" где ~ Z<, -JrZI•1111~ - z - (~- zo) - (z - zo)= (~- zo) (1 -Так как Iz - zol < I~ - Zol, то I~ =: ;~ I <1,"FZO(_;~)1-~{-zoследовательно, выражение1можно рассматривать как сумму членов бесконечно убываю1 _"FZOZ-Zo{-zoщей Геометрической прогрессии с первым членом ~ и знаменате<, -z - zQ .<, - Zoлем с1z - Zo1~- ZZoТаким образом,=~-Zo(z - zo)2(z - zo)n+ (~- zO)2 + (~- zо)з + ...
+ (~- zo)nH + ...Умножим обе части этого равенства на величину -21.f(~)и проинтеJrZгрируем его почленно по контуруf12+(z-zo) -2'JrZт. е.~r(fЮn1)зd~+ ... +(Z-ZQ) -2'ZoJrZL...n=о1где сп -- -2'JrZПолучим:f(~~ -~ (z - Zo )n Г1f( z ) --lr.JrZfI•( fЮ d~)n+l~Zo-lr,илиf ( fЮd~)n+1 (n -- 0,1,2, ... ).Zo~ --fЮ)n+ld~+ ... ,Zof( z ) --~- Zo )n ,L...
сп (Zn=оИспользуя формулу(75.10),1,.получим представление коэффициентов ряда через n-е производныефункцииf(z)в точкеzo:сп =f(n)(zo)In.(n = 0,1,2, ... ).Таким образом, мы получили разложение функциипенной рядлам(76.7) ,f(z)в стекоэффициенты которого определяются по форму(76.8).Докажем единственность этого разложения.Допустим, что функцияf(z)в кругеIz - zol < Rпредставленадругим степенным рядомf(z)= Ь о + Ь 1 (z -zo)+ b2(z - zO)2 + ... + b (z - zo)n + ...l1Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число раз, будем иметь:j'(z) = Ь 1 + 2b 2 (z - zo) + 3Ь з (z - ZO)2 + ... + nbn(z - zo)n-l + ... ,j//(z) = 2Ь 2 + З· 2Ь з (z - zo) + ... + n(n - l)b n (z - zo)n-2 + ... ,jlll(Z) = 3 · 2Ьз + ...
+ n(n - 1)(n - 2)b n (z - zо)n-з + ... ,... . ..................... ,j(n)(z) = n! . Ь n+ (n + 1)! . Ь n + 1 . (z - zo) + ... ,Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде z.чаем.= Zo,__ ,_ j//(zo)_ j(n)(zo)Ь о - J(zo), Ь 1 - j (zo), Ь 2 2! , ... , ь n n! , ...Сравнивая найденные коэффициенты Ь n ряда с коэффициентами ряда= спустанавливаем, что Ь n(nполу_(76.7),= О, 1,2, ... ), а это означает, что указанные ряды совпадают.Функцияj(z)разлагается в степенной ряд единственным обра-~M.•Приведем разложения некоторых элементарных функций в рядТейлора (Маклорена):zzЗ= 1 + l! +z22!z3sin z = z - З!+eZZ2=1-cosz-2'.+ 3! + ... ,z5z7Z4z65! - 7т+ 1"4. - -6'.
+ ... ,z2ln(l(1+ ... ,z3+ z) = z - "2 +"3 - ... ,+ z)С>_о:0:(0: - 1) 2- 1 + ,Z+ 2' z1. .+0:(0: - 1)(0: - 2) з3'.z+ ...Первые три разложения справедливы во всех точках комплекснойплоскости, последние два~Заменивeiz.1!= 1 + 2Zzнаiz-в кругеIzl < 1.в разложении функции(')22!получим:eZ ,(')3+ ~ + ~ + ... =З!=(1 - ~~ + ~: - .. .) + (z - ~: + ~: - ...),т.
е. формулу Эйлера e iz = cos zi+ i sin z.7Нули аналитической функции76.4.Как показано выше , всякая функцияности точкиzo,1(z), аналитическая в окрестразлагается в этой окрестности в степенной ряд(76.7):коэффициенты которого определяются по формулам~Точка(76.8).I(z), если I( zo)называется нулем фуюс'ЦuuZoэтом случае разложение функцииI(z)функции= о,но и Сl= С2 = ...
= Ст -l = о,в окрестности точкиI(z)I(z) = Cm(z - zo)m+ Cm+l(Z -ZoZoвв= I(zo) = о. Если нестепенной ряд не содержит нулевого члена, т. к. сотолько со= о.в окрестности точкиа Стf=.о, то разложениеимеет видzo)m+l+ ... + Cn(z - Zo)n + ... ,(76.9)а точкаZo называется 'Нулем 'Крат'Ности т (или нулем т-го порядка) .= 1, то Zo н аз ывается простым 'Нулем.Из формул (76.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует,что если Zo явл яется н улем кратности m функции I(z) , то I( zo) == /'(zo) = ... = l( m -l)( zО) = о , но I(m) (zo) f=. о .
в этом случае представление функции степенным рядом (76.9) можно переписать в видеI(z) = (z - ZO)m<p(Z), гдеЕсли т(76.10)= Ст + С т +l (Z - Zo) + ...Для функции <p(Z) точка z = Zo уже не является нулем , так как <p(zo) =<p(z )= Ст~f=.о.Справедливо и обратное утверждение: если функциявид(76.10), где m zo, причем <p( zo) f=. о , тонатуральное число, аточкаZo есть<p(z)I( z )имеетаналитична в точкенуль кратностиmФУнкции/(z).76.5. РЯА ЛоранаТеорема 76.5.(о ~r <R~Всякая аналитическая в кольце00)функция1(z ) можетв рядr <Iz - zol <Rбыть разложена в этом кольце+ 00L1(z ) =cn(z - zo)n ,(76.11)n=- оокоэффициенты которого определяются формулойС-n -121l"if (~1(0_ zo)n+ldE,(n= о, ±1, ±2, ...
),(76.12)Lгде L -произвольная окружность с центром в точкевнутри данного кольца.zo,лежащаяРяд (76.11) называется рядом Лорана Для функцииj(Z) в рассматриваемом кольце.QВозьмем произвольную точкупроведем две окружностиL1иzL2внутри кольцаr < Iz - zol < RиС центрами в точке Zo так, чтобыточка Z была между ними и каждая окружность находилась внутриданного кольца (см.
рис.Функция296).аналитична в кольце меj(z)жду окружностямиL1ИL2И на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для многосвязной области имеем:jЮ d~ =~-zРис.где обе окружностиL!иL2296обходятся против часовой стрелки.Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства(76.13),рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора.На окружностиI."~ --ZoZo1~- zL2выполняется неравенствоIz - zol <I~- zol,илиI < 1. Поэтому дробь ~можно JIредставить в виде." - Z.= (~ -11~--~--~--~(~ - zo) (1zo) - (z - zo)E::::;~)z - Zo1=~--Zo+ (~ -(z - zo) nzO)2+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
