Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 83
Текст из файла (страница 83)
.. ... ,F(n)(p) ~ (_1)n . (n . j(t),.. . . .. ... ... ,т. е. дифференцированию изображ е ния соответствует умножение егооригинала на (-t).О Согласно теореме 78.1 существования изображения, Р(р) являетсяаналитической функцией в полуплоскости Re р = 8> 80.Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операцииопустим), получим(1 f(t) . e- dt)' J(J(t) . e-Pt)~ dt =J f(t)· (-t)e- dt = J(-t· f(t»)e00F'(p)=ptоро0000Ptоt·dt ~ -t· f(t),от. е. F'(P) ~ -t · f(t). Тогда F"(p)FIII(p) ~ -t(e .
f(t»)Pt=(Р'(р»)' ~ -t( -t· f(t»)== t2.f(t),•j(t) И вообще F(n)(p) ~ (-1)n. t n . j(t) .-t 3 .Прuм.ер 78.10. Найти изображения функций t n (n Е N), e atsinwt, t· coswt , t· shwt, t· chwt, eat . t· sinwt, eat . t· coswt..tn ,Q Решение: Так как 1 ~ ~, то, в силу свойства дифференцированияизображения, имеем -t· 1 ~. -~ , т. е.р1~?tр-Далее находим _t 2 ~ (~)' = -5-, т. е. t 2 ~рррренцирование, получимtn.::;:5. ПРОДQЛЖая дифферn!----п::t=т.рС учетом свойства смещения получаемеatn.n!.
t = --,-----,.....,--;--;-.Согласно формуле (78 .5), sinwt ~(т. е.-(р22wp+ ( 2)2-'--;- -( 'sшР2 W+wwt ,.(рр2 )'р2_а)n+!w2'+w.Следовательно,~ - t sin wt,или.tsшwt::;:Аналогично, ис пользуя формулы.2wp(р2(78.6) , (78 .7)р2t cos wt ::;: (?w22 2')2р:..;..t ch wt ::;:_+Wр-t sh wt::;:(р2р2(р2583(78.15)+ w-? ) 2 '-2? 'W )-+w2-2 2'W )и(78.8),находим(78.16)С учетом свойства смещения и формулееat.(78.15)и(78.16),получаем2w(p - а)..
t . sш w t 7 ((р-а ) 2 +w 2 ) 2 'tat(р - а)2 - w((р _ а)2 + ( 2)2·2t.. . cosw=;=•Интегрирование оригиналаЕслиIif(t)* Р(р), то /гинала от О доttf(r) dr* Ff), т. е. интегрированию ориосоответствует деление его изображения на р.tQ Функция <p(t)Пусть<p(t)*= / f(r)dr является оригиналом (можно проверить).оФ(р) . Тогда по свойству дифференцирования оригиналаимеем<p'(t)(так как <р(0)*р. Ф(р)= О) .. А так как<p'(t)= () f(r) dr)' = f(t),ото Р(р).== р. Ф(р)- <р(0)р. Ф(р).
Отсюда Ф(р)tt=Р(Р) , т. е. / f(r) drр* Р(р) .р•оИнтегрирование изображения00Если f(t)* Р(р) и интеграл /00Р(р) dp сходится, то / Р(р) dpр* f~t),т. е. интегрированию изображения от р доделение его оригинала наQИспользуя формулу*р00соответствуетt.(78.1)и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опу с каем), получаем1Р(р) = 1(1dpрр=оf(t)e- Pt dt) dp1(_~e-Ptl~)=1(1оf(t) dt =e- pt dP) f(t) dt =р1f~t) e- ptdt* f~t).•Прu.мер 78.11. Найти изображение функции si~ t; найти изобраtжение интегрального синуса!sin Т dT..ТО00г"\. Решение: Так как siп t =='..Jр2•1+то siп t ==!1 dp1't·р2 + 1= "27г - arctgp ,рт.
е. si~ t Ф ~ - arctgp = arcctgp. Применяя свойство интегрированияt•оригинала , получаем ! siпТ'Т dT == .Е..- ~.2рроУмножение изображенийtР1 (р) . Р2 (р) Ф! 11 (Т) . 12(t - Т) dT.(78.17)ОtJ11 (Т) . 12(t - Т) dT является оригиО Можно показать, что функцияоналом.Используя преобразование Лапласа(78.1),можно записатьJ11(T)'12(t-Т)dТф!ОО(! 11(t)'12(t-т)dт= ! e-ptdt! 11 (Т) . 12(t - T)dT.ttооtОDинтегрирования полученного двуо ~ Т ~ t (см.
рис.Изменяяt-Т= tl,ТОкратного интеграла определяется условиями О ~< 00,e-ptdt=о00Область)порядокt<309).интегрированияиполагаяРис .309получимtJfl(T) ' fz(t - T)dT Ф J fl(T)dT J e- pt . 12(t - T)dt =00о00о! 11 (т)е-r00=О! 12(t )e00РТdT1О585Pt,dt l = F1(p)· F2 (p) .•~Интеграл в правой части формулыфу'Н~цuuи11(t)12(t)(78.17)называется сверm~оii.и обозначается символом11(t)* 12(t), т. е.t! 11 (7) . 12(t - 7)* 12(t) =11 (t)d7.ОМожно убедиться (положиви), что свертывание обладаетt- 7=* 12(t)свойством переместительности, т. е.
Л(t)= 12(t)* Л(t).Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.Прu,м,ерНайти оригинал функций78.12.Р() 1Р - (р2 + (.,-2)2Q Решение : Так как Р(р) -(р2ИР(Р)=(р2Р+ (2)2 .11и1== l·sinwt+(2)' (р2 +( 2 )' р2 +w 2 . w'тоt 11WWР(р) ~ ! - . sinW7' - . sinw(t - 7) d7о1=t= -2w2 . !(COSW(27 -=t) - coswt) d7о= _1_2 (~ . sinw(27 _ t)l2w2wО_coswt. 71tо)1 (1-sinwt-tcoswt) = 1 .= -22wт.
е.(рt21-з(sшwt-wt·соswt),w2w~ 2 ~ -13 ('sш+w-)2wwt - wt . cos wt ) .Аналогично получаем•Следствие78.2. Если 11* 12~ Р1 (р). Р2 (р)И1{ (t)также являетсяоригиналом, тоtр. Р! (р) . Р2 (Р) ~! 1{о(7) . 12(t - 7) d7+ 11 (О) . 12(t).(78.18)а Запишем произведение р. F 1(р) . F 2(р) В видер' F1(р) . F2(p) :: р. F1(р) .
F2(p) - 11 (О) . F2(p) + 1; (О) . F2(P),илиПервое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам 1~ (t) и{ (t) ~ р.F1 (р) - 11 (О))И12(t).Поэтомуна основании свойства умножения изображений и линейности можнозаписать р . F 1(р). Р2 (р)~1{ (t)* 12 (t) + 11 (О) . 12(t)илиtJ1{ (Т) . 12(t - Т) dT + 11 (О) . 12(t).р' F1 (р) . F2(p) ~•о§Формула(78.18)называется ФОРМУJtо11. ДюамеJtSl..На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в видеtJ12(Т) .
1{ (t - Т) dT + 12(t) . 11 (О) .р' F1 (р) . F2 (p) ~ОФормулу Дюамеля можно применять для определения оригиналовпо известным изображениям.ПримерНайти оригинал, соответствующий изображению78.13.2 р2F(P)Q= (р2 + 1)2'Решение: Так как2р 2(р2Р1----".--=-------".+ 1) 2= 2р· - - . - р2+1+1р2ито на основании формулы Дюамеля2р·1- 2 - - . ---/--р+1 р+111 (t) .
f2(t) ~ 27Гi(78.18)sint,маяRe z ='у>доказательства) .80+=:=. cos t ,имеемt · cos t+ sin t.(J12(t)~ F 2 (p), тоР1 (z) . Р2 (р - z)dz,, -iooгде путь интегрированияр-2-р1о,+iooJ+1tУмножение оригиналов1рJcos Т . cos(t - Т) dT + 0=~2Если Л(t) ~ F 1 (р) И1-2-- ~80-вертикальная пря-(см . рис .310)О(примем безРис.310•РезюмеРассмотренные свойства преобразования Лапласа представляютсобой основные правила (аппарат) операционного исчисления . Дляудобства пользования перечислим эти свойства .f1 (t) + С2 . f2(t)+ С2~ Сl .
Р1 (р)1.Линейность: С1 .2.Подобие: f(лt) ~ ~. F(х),л > О.3. Смещение: eat . f(t) ~ Р(Р - а).4. Запаздывание: f(t - Т) ~ е- РТ . Р(р), Т>5. Дифференцирование оригинала:. Р2 (р).О./'(t) ~ р' Р(р) - /(0),f"(t) ~ р2 . Р(р) - р. /(0) - /'(0),flll(t) ~ р3 . Р(р) - р2 . f(O) - р' 1'(0) - f"(O) ,6.Дифференцирование изображенияР'(р) ~-t· f(t) ,Р"(р) ~(_1)2 . t 2 . f(t),tJ/(Т) dr ~ p~) .8. Интегрирование изображения: J Р(р) dp ~ f~t) .7.Интегрирование оригинала:о00Р9. Умножение изображений: F1(p)· Р2 (р) ~о=!I*h·10.
Умножение оригиналов:tJЛ(Т)' f2(t - T)dT =-y+ioo!I (t)-f2(t) ~2;iJ Р1 (z)·F2(p-z) dz.-y-ioo78.3. Таблица оригиналов и изображенийСоставим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) иих изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображениеи наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционномуисчислению» (авторы В. А. Диткин И П. И. Кузнецов) .Та6.л:uu,а орuгUНaJtов и uзо6ро:;ж;енuiJ.N!ОригиналИзображениеJ !(t)e00f(t)F(p) =Ptо1112e at3t4sinwtр2 +w25coswtр2 +w26shwt7chwt8e at .
sinwt9e at . coswt10e at ··shwtat11e12t n (n -13.~р-а1chwte at .?wРр214t . sinwt15t . coswt16t . shwt17t . chwt18e at . t . sin wt19e at . t· coswt202~3 (sin wt - wt cos wt)212~З (wtchwt - shwt)Р_ w2w(р _ а)2 + w2р2р-а(р - а12 + w2(р_а)2_ w2р-а(р_а)2_ w2n!целое)tnw_ w2рn+I(рn!_ a)n+l2wp(р2 +w2Y~2 w(p~ + W2 )22wp(р2 _ w2Y~2 +wеР - W2 )22w(p - al((р _ а)2 + w2:/{Р - а)2 - w((р _ а)2 + w2 )21(р2 + W2)21(р2 _ W2)2dtОригиналN~ИзображениеJ f(t)e00f(t)F(p)=ptdtо22sin(wt± 'Р)23cos(wt± 'Р)§ 79.79.1.w cos ~ ± р sin ':Ер' +W2pcos ~ =f w sin ':Ер +w 2ОБРАТНОЕ ГlРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСАТеоремы разложенияРассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложе'Нuя, позволяющие по заданному изображениющий ему оригиналТеорема79.1.находить соответствуюF(p)f (t).Если функция Р(р) в окрестности точки р=00 можетбыть представлена в виде ряда Лорана00Р(р)""'=~n=о рСпn+!= -соС!С2рр+ 2" + 3" + ...
,рто функцияtnсх)= 2: Сп' ,N. = со + С! t + ...f(t)(t > О)n=оявляется оригиналом, имеющим изображение Р(р), т. е.Р(р)00= 2:n=о рn:l ~ 2: Сп' tn = f(t).с00,N.n=оПримем эту теорему без доказательства.Прuм.ер79.1.Найти оригиналР(р)Q11РР= _. sin -;f(t),Р(р)если=Р-2-'р+1Решение: ИмеемF (р) =~ . sin ~рр=~ (~рр- ~3'. р~з+~-, ~5::>. Р-...) --~2- ~3' ~4р. р+~'" ~6О.
Р-...Следовательно, на основании теоремы 79.1t>1 tЗ=t -f(t)3т З!О.Зап'ишем лорановское разложение функции Р(р)окрестности точки р = 00:Р( ) _ _ р_ _р_ ~ .1~ ( 1 - p~, 1111 1< 1,гдеIpl >т. е.+=~ в+1р-=р -р2+1- р 2(1+?-) -.Р 1-(-?-)=5+ 5т1 t5! - ... ,;4 -...)1. Следовательно, f(t)=~-:1 + ;5 -...
,2=1-t2!+4t4! - , .. , т. е.f(t) = cost, t > О .Теорема•Если Р(р) = ~~~~ - правильная рациональная79.2.дробь, знаменатель которой. в(р) имеет лишь простые корни (нули)Pl,P2,··· ,Рn, то функция(79.1)является оригиналом, имеющим изображение Р(р).о Отметим, что дробь ~~~~ должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниж е степени многочлена В(р)); в противном случаеневыполняетсяlim~=Р(р)=О (п .н е обходимый78 .1),признак существования изображеният. е. Р(р) = вА(р( )) не может быть изображением.рРазложим правильную рациональную дробь ~~~~ на простейшие:Р(р) = А(р) = _C_l_ + ~ + .. , + ~,В(р)где Ck(k= 1, 2, .
. . , n)р- р)Р- Р2Р(79 .2)- рnн еопределенные коэффициенты . Для опре-деления коэффициента Сl этого разложения умножим обе части этогоравенства почленно на рА (р)В( р ) . (р - Pl)-Рl= Сl + (р -:Рl )(С2-Р - Р2+ -Сз- + '" + -СП. )'Р-Переходя в ЭТОм равенстве к пределу при р ~С) =limр-->р,вА((р)). (рР_ PI) =[Q]О=limРзР-Pl , полу чаемА(р)Р-->РI В(р ) -В(р,)р-р,=РnИтак, Сl(79.2):J~l))' Аналогичным путем (умножая обе части равенства=на Р -Pi)найдем Ci = :'~;)' i= 2, ... ,n.Подставляя найденные значения Cl, С2, ... , СП В равенство(79.2),получимF(p) = А(р) = ~(Pl) .
_1_В(Р)В (Pl) Р - РlТак как по формуле+ А,(Р2)В (Р2). _1_Р - Р2+ ... + А,(Рn)В (Рn). _1_.Р - Рn(78.3)_1_ == eP2t- Р2',... ,Р1--'----;-еpnt,Р- Рnто на основании свойства линейности имеемА(р)F(p) =В(р)=ttA(Pk) . _1_ ==A(Pk) . ePkt = f(t).k=1 B'(Pk) р - Pk . k=l B'(Pk)•За.ме'Ча'Н.uе. Легко заметить, что коэффициентыопределяются как вычеты комплексной функциилюсах (формула (77.4)): Ck=:'~:))Можно показать, что еслино корни(нули) Рl,Р2,... ,Рn=Ck (k = 1,2, ... , n)F(P) в простых по-Res(~~1;Pk)'F(p) =~~~1знаменателя- пра13ильная дробь,В(Р)имеют кратноститl, т2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
