Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 84
Текст из файла (страница 84)
,т n соответственно, то в этом случае оригинал изображенияF(p)определяется формулой(79.3)ТеоремуТеорема79.279.3.можно сформулировать следующим образом:Если изображениеF(p)= ~t~~ является дробно.. · ,Рn - престые или кратныеf(t), соответствующий изебражерациенальней функцией ет Р И Рl,Р2,полюсы этей функции, те еригиналниюF(P),епределяется фермулейF(P) =~~~ ~tk=lRes(F(Pk) . ePkt ) = f(t).(79.4)79.2.liJФормула Римана-МеллинаОбщийспособопределенияоригиналапоизображениюдаетобратное nреобразованuе Лапласа (формула обращения РиманаМеллина), имеющее вид1f(t),+iooJ= -.27Г2F(p)· ept dt,где интеграл берется вдоль любой прямойПри определенных условиях интеграл,+iooмуле f(t)liJ= -21.7Г2JF (р) .
ept dtn=L(79.5)=, > So.Rep(79.5)вычисляется по фор-Res ( F (р) . ept ; рk ) .k=!-y-ioo3а.ме'Чанuе. На практике отыскание функции-оригинала обычнопроводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображенияF(p)соответствующий ему оригинал; второй путь состоит втом, что функцию Р(р) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности,найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойствоумножения изображений, формулу обращения и т.д.Прu,м,ер 79.2.
Найти оригинал по его изображению F(P)=~.рQ+4Решение: Проще всего поступить так:р - 3р3F(p) = - . - = - . - - - - =р2 + 4р2 + 4р2 + 4р- 2'3 . р2 +2 22 ~ cos 2t - ~2 sin 2t = J( t)(использовали свойство линейности и формулыЕсли же использовать теорему79.2(78.5)и(78.6)).разложения, то будем иметь:+ 4, В'(р) = 2р, корни знаменателя Рl = 2i и= -2i и, согласно формуле (79.1),А(р) = р - 3, В(р) = р2Р2f(t) = 2i - ~ e 2it + -2i -.3 e-2it = ~ (2i(e2it + e-2it) _ 3(e2it _ e-2it))2·222(-22)421= 4i (2i(cos 2t + i sin 2t + cos 2t - i sin 2t)- 3(cos 2t + i sin 2t - cos 2t= ~/4icoS2t -6isin2t)=~sin2t = f(t).+ i sin 2t))= cos2t -•Прu.мерзадано какQНайти функцию-оригинал, если ее изображение79.3.= рз(р1_1)'F(P)Решение: ЗдесьА(р) = 1,В(р) = р3(р_1),В'(Р) = 4p 3_3 p 2'Pl = 1 -простой корень знаменателя, Р2Используя формулы(79.1)= ее3-кратный корень (т= 3).имеем:1lim (ept . (р - 0)3 )"2! р--+О р3(р - 1)4- 3f(t) == О -(79.3),+ -1f(t) = -1- .
е Нт. е.и+ '21.~~t(eр _ 12Pt) "t= ... = е -t'2-t- 12t - t - 1.2't -Приведем другой способ нахождения f (t). Разобьем дробь р3 (р1_ 1)на сумму простейших дробей: F(p)Следовательно, f(t)= -1 -2t-t2= р3(р-11 ) = _1_ ~ - ~ + ~1'РРрр+ et .Приведем третий способ нахожденияпроизведениер3( 1р-1f(t).Представим~. р~1' и так как р~ ~) =р2t2какF(P)И р~1 ~ e , .то,tпользуясь свойством умножения изображений, Ю,lеем:J~T2et-r dTtF( ) ==Р.22и= тt r= e - dT= [dv= _e2тt -dTrI du =v]=о1 е t-r 21=-'2тtJ.t1 20+'2'теt-rdт=[u=тdv=et-rdтI v=_et-rdu=dTо1 2=--t2ttоо+О+(-т·е t_r)l -е t_rl1 2 -t+0-1+e t ==--t2t2= et - '2 - t - 1 = f(t).•§ 80. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМПусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентамиу(n)+ aly(n-l) + ...
+ аnу4= f(t),(80.1)удовлетворяющее начальным условияму(О)где СО,Cl, ... ,= Со,Сn-l= Cl,у/(О)-... ,заданные ЧИСJ1а.Будем считать, что искомая функцияy(t) вместе с ее рассматриf(t) являются оригиналами.f(t) ~ F(P) = F. Пользуясь свойствамиваемыми производными и функцияПустьy(t)~ У(р)= У идифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1)от оригиналов к изображениям:(рnу _pn-1СО_рn-2Сl- . .. -Сп-.t)+аl (pn-1y _рn-2 Со - ... -С n -2) + ..... . + аn-l (рУ -Со)+ аnУ = F.Полученное уравнение называют onepamopHЪt..М (или уравнением визображениях) . Разрешим его относительно У:у(рn + аlрп-l + ...
+ an-lp + ап)+т. е.Y(p)·Qn(p)Сl ( Р= F + со (рП-lп-2+ alPп-З+ аlРп-2 + ... + an-l)++ ... +а п -2= F(р)+R П - 1 (р), где Qn(p) и R n- 1 (р) -многочлены от р степениnиn - 1)+ .. . + Cn-l ,алгебраическиесоответственно.Из последнего уравнения находимУ( )р= F(p) + R n - 1 (р)(80.2)Qn(p)'Полученное равенство называют оnераmорны,м, решенuе,м, дифференциального уравнения(80.1).Оно имеет более простой вид, если всеначальные условия равны нулю, т. е.
у(О)= у/(О) = ... = y(n-l)(О) = О .в этом случае У(р) = F(p) .Находя оригинал(80.2),Qn(p)y(t), соответствующийнайденному изображениюполучаем, в силу теоремы единственности, частное решениедифференциального уравнения3aMe"iaHue.ется справедливым при всехПр'U.мер80.1.ное уравнение у//Q(80.1).y(t) во многих случаях оказывазначениях t (а не только при t ~ О).Полученное решениеРешить операционным методом дифференциаль- Зу/Решение : Пустьy(t)+ 2у = 12e3t~ У(р)при условиях у(О)= У.= 2, у/(О) = 6.Тогдаy/(t) ~ рУ - у(О) = рУ - 2,y//(t) ~ р2 у - ру(О) - у/(О) = р2 у - 2р - 6,ие31.1=--.595р-зПодставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаемоператорное уравнение: р2 у - 2р - 6 - 3(рУ - 2) + 2Уда У= 12~з, ОТСЮр-2р2 - 6р + 12() мб(р _ 1)(Р _ 2)(р _ 3)' Находим у t .
ожно разбить дро ь на(р) =сумму простейших (У(р)= -.L1 + ~2 + ~3)' но так как корни знар-р-р-менателя (Р1= 1, Р2 = 2, рз = 3) простые, то удобно воспользоватьсявторой теоремой разложения (формула (79 .1», в которойА(р) = 2 р2В'(Р) = (р-2)(р- 3) +(р6р--+ 12,1)(р- 3) +(р-1)(р- 2).Получаем:y(t) =8e 1· t(-1)·(-2)Прu.мер80.2.+8e2 . t1·(-1)12 з t+ _е.2·1Найти решение урав-ненияl. tу"+ 4у ={t < 2,3 - t,еслиt < 3,О,если tпри условии у(О)_8e 2t + 6е Зt ••f(t)1если О ~2= 4e t'~2< О, t~3о= О, у'(О) = О.Рис.311а Решение: График данной функции имеет вид , изображенный на рисунке311.С помощью единичной функции пр аву ю часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:f (t)11= - t .
1 (t) - - t . 1 (t - 2)2211=-t· l(t) 2+ (3 - t) . 1 (t -2) - (3 - t) 1 (t -3)=-(t - 2 + 2) ·l(t - 2) - (t - 2 -1) ·l(t - 2) + (t - 3) ·l(t - 3)21=1= -t ·l(t) - -(t - 2) ·l(t - 2) -l(t - 2) - (t - 2) ·l(t - 2)+22+1(t-2)+(t-З)·1(t-З)13= -t·1(t)--(t-2)· 1(t-2)+(t-3)·1(t-3).22Таким образом, имеему"13+ 4у = 2t. l(t) - 2(t -2) . l(t - 2)+ (t -З) .l(t -З).Операторное уравнен ие, при нулевых начальных условиях имеетвид21 13 1 -21_зpY+4Y=---:----еР+- еР.2 р22 р2р2596OrсюдаУ( ) _ ~ .1р - 2 р2 (р2Так как1+р2(р24)+ 4)1(1=4р2 - р21)1(1 "21. +2) == ~ (t - ~+4:р2 -=4р222. 42sin 2t) 'то по теореме запаздывания находим:y(t)=~(t - ~~sin 2t) -(t -2)) l(t - 2)++ ~ (t - 3 - ~ sin 2(t - 3)) l(t - 3).~ sin 2(t -2-•АналОГИЧliO применяется операционный метод для решения системлинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.Покажем это на конкретном ПРИJ\oюре.Прu.мер80.3.{Решить систему дифференциальных уравненийХ' = у - z,у'= Х + У,z'= Х + z;х(О)= 1,у(О)= 2,z(O) = 3.а Решение: Пустьх= x(t)~ Х(р) = Х;у= y(t)~ У(р) = У;z= z(t)Находим, чтох' ~ рХу' ~ рУ- 1;- 2;z' ~ pZ - 3.Система операторных уравнений принимает вид{рх - у.
+ Z = 1,Х - (р - l)У = -2,Х+ (1 - p)Z = -3.Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:р-2Х(р) = р(р _ 1)'У(р) = 2 р 2-р(рZ (р)Р- 2_ 1)2 '= 3р2 - 2р ~ 2р(р_5971)2~Z(P)= Z.Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:Х(р)У(р)р-2= р(р _=Z(p) =1)2р-2-:р2(р-l)Рр(р-l)р(р-l)р(р-l)2р 2 - Р -2 =_~ + _4__3р 22 =_~ + _5__р(р_l)2-2р -р(р_1)2Ответ: x(t)=2-РРet , y(t)р-lр-1=~ _ _1_=2_et=x(t)р1(p_l)21(P-l)= -2 + 4e t -2p-l ',~-2 + 4e t _ te t = y(t) ,~-2 + 5e t _ te t = z(t).te t , z(t)= -2 + 5e t -te t .•С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечныхразностях (разностных уравнений); ПРОИЗВQДИТЬ суммирование рядов;вычислять интегралы .
При этом решение этих и других задач значительно упрощается .11РИЛОЖЕНИЯПравила дифференцирования1.(u ±v)'=u'±v';2.(и·3.(V )' =v)' = u'vи "v:ц+ UV',- UVv2'в частности, (си)'в частности,= с· и';(f.v )' =,_CV .-;Т'= y~ . и~, если у = f(u) , и = <р(х);5. y~ = ;, , если у = f(x) их = <р(у) .4. y~уФормулы дифференцирования2.= О;(иС\')' = а· иС\'-l3.(а и )'1. (с)'=а4. (log и)'= - sinu· и';= cos1.2 и . и';= -~u . и';(arcsin и)' =1.
и';8. (ctgu)'sш9.~10. (arccosu)'1~. и';= ~1+1 .. и';(arcctgu)' = -~ . и';l+и11. (arctgu)'12.=-и~13. (shu)'= chu · и';14 . (chu)'=ти ·и';15 .(thu)'=16. (cthu)'== 2Jи .и';=ечастности , (1n и)'= cosu· и';5. (sinu)'7. (tgu)'·[nа· и', в частности, (е и )'= _1_. и' ви ·[n а'а6. (cosu)'и.
и', в частности, (VГU)'1 ·и';ch 2 и-+·и'.shи59и. и';= 1.и'·и'Таблица ОСНОВНЫХ интегралов1./и сх du2. /=иН!0:+1=1- -1)d;: = ln lul + С;З. /audu= Llпа4. /+ С (о:е и du+С·'= е и + С;5. / sin и du= - cos и + С(/ sh и du= ch и + С) ;6. / cos и du= sin и + С(/ ch и du= sh и + С) ;7.Jtgudu = -ln Icosul + С;8. / ctgudu = ln I sinul + С;9./ cosdu10.= tll и + С) ;(/ 4ch-=tgu+Cи2и(/ s~lf и = - cth и + С) ;/~ = -сtgu+Сsш11. /и~usшu= ln Itg 1!2I + С·'12. /~cosu = ln Itg(1!213.
/du= arcsin 1! + С;Ja2 - и2а14. /Ju 2 +а 215. /duа2duF+ u2= ln lu +Vu 2 + а 2 1 + С ;= 1а arctg 1!а + С '·I16. /. du= -1.. . ln а + иа2 - и22аа- и17.va/2 -С·'+ zr.)1+4и 2 du = 1! .2va2 -I+ С '·2и 2 + fL arcsin 1! + С·2а'Таблица разложении в РЯД Маклорена некоторых элементарныхфункцииеХххnх2= 1 + -1'.+ .-2' + ... + I + ... ,х Е=х -sin хх3-З!х5+ - - ... + (-1) n (х22!х 2n + 15!2п+1)!х44!х 2n+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
