Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Для всякого оригигде 80 -показатель роста функцииf(t),причем функция Р(р) является аналитическ,ОЙ в ЭТОЙ полуплоскости ( 8 ) 80)'о Докажем первую часть теоремы. Пусть р =8+i(!Rep=s >If(t)1~ м=произвольная11 f(t) . eо80. e sat ,pt(см. рис.точкаполуплоскости302).Учитывая, чтоа<~e'p:>.'~,~::::находим:dtl~11f(t). e-ptl dtо....~о.,'"80Рис,302так как 8,- 80>ОИle- pt I = le- 5t.= e- st . I cos (Jt -e-i"t Ii sin (Jtl= e- st .Таким образом,=IF(P)I11оf(t)· e-dtl ~ ~.8 - 80ptОтсюда вытекает абсолютная сходимость интегралажениеF(p)(78.2)(78.1), т. е. изобраRep = 8 > 80. •существует и однозначно в полу плоскостиСледствие78 .1(неоБХОАИМЫЙ признак существования изображения).
Если функцияF(p)тоявляется изображением функцииlim F(p)р--+оо= О.Это утверждение непоср'едственно вытекает из неравенствакогда Re рТакRep >= 8 --+как80, тоf(t).(78.2),+00 . .F(p) F(p) --+аналитическаяО при р--+функциявполу плоскости00 по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции=F(p)5, F(p)= р2не могутбыть изображениями.Отметим, что из аналитичности функцииособые точки должны лежать левее прямоймой этой прямой. ФункцияF(p),осивсе еена сане удовлетворяющая этому условию,не является изображением функциинапример, функция Р(р)F(p) следует, чтоRe р = s = 80 илиf(t).Не является изображением,= tgp (ее особые точки расположены на всей8).Теорема78.2(о единственности оригинала). Если функцияслужит изображением двух оригиналовfl (t)и!2(t),F(p)то эти оригиналысовпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.(Примем без доказательства. )Прu.мер78.1.
Найти изображение еди-l(t)11------ничноt\ функции Хевисайдаl(t)(см . рис.303).= {~приtприt<О~ О,оРис. зазQРешение: По формулеР(р)(78.1) приJ 1 · e- pt dt00=Ь-+ ооОт. е. F(p)(80ьJe- pt dtliт== Rep > О8= О)находим:ь11= lim -- . e-ptl = -,Ь-+ ООО= ~, или, в символической записи,РОРl(t) ~ ~ , или 1 ~ ~ .•За.ме'Ч,анuе. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в видеf(t),подразумевая, чтоf(t)Прu.мер= {~(t)приtприt<~ О,о.= eat , где78.2. Найти изображение функции f(t)а-любое число .QРешение: Данная функция является оригиналом. По формуле(78.1)имеем00F(p) =Jeate-pt dt= limьЬ-+ ООоJe-(p-a)t dtо=еслиRe(p -а)> о..Q78.3.Ь-+оо Р. (111т-аое-(р-а) .
ь)1------Ь-+ООР-аР-р- а'аТаким образом,e at == _1_Прu.мер1ь= - lim - - . e-(p-a)tl =(Rep> Rea).р- а(78.3)•Н айти изображение функцииf(t)= t.Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет видьJt . e- pt dt = lim Jte- pt dt =00Ь-+ оооlim11. Ь· e-pbl = . /Ь--+ оо Р1L .=dV --о=( т. к.[у 821+а2tе-pt dtI du__= dt1v-Рb.11тЬ--+СХ)( -_.tРе_р tl. \.1т Ь . е -sbt~Ь--+ОО12.РОе-ptb-= о) ,)1 _tl-ерр2О]=1-2Рт. е.(78.4)•~Заме'Ч,а't/:uе. Функция F(P) = _1_ является аналитической не~р-атолько в полу плоскостиRep> Rea,где интеграла на всей комплексной плоскости р, кроме точки р=(78.1)сходится,а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений.
Далее для насбудет более важным, как правило, само изображение функции, а необласть, в которой оно выражается интегралом(78.1).Свойства преобразования Лапласа78.2.Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большогочисла разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналовпо их изображениям.ЛинейностьЛинейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если Л (t) ~и С2 -постоянные числа, то С1' Л(t)+ С2' 12(t)F 1 (р), 12(t) ~ F2(P), Сl~ С1 .
F 1(P) + С2' F 2(P).О Используя свойства интеграла, находим! (С1 . Л (t) + С200.12 (t )) . е - pt dt=о! 11 (t) . e00= Сl .! ·/2(t)· e00ptdt + С2Оptdt = С) . F j (р)+ С2 . F 2 (p).•ОПри мер78.4.Найти изображения функций siП1.<.lt,любое число), с (сопst),а Решение: Пользуясь свойством линейности, формулойдим:.SШ1.<.lt=eiVJte2i_iwt1(1р. 2isin 1.<.It~1.<.1Р2(1.<.1 -(78.3),нахо= с . 1 ~ с . 1, т.
е.с.?рс1.<.1+ i1.<.l2 .(78.5)+ 1.<.1 2'(78.6)+ 1.<.1р·cos 1.<.1 t =:=Р- i1.<.lАналогично получаем формулур1)=. - --- - ---т.е.Далее, сCOS1.<.ltch 1.<.It, sh 1.<.It.=. р..Наконец , сЬ wt = еc.vt-c.vt+2 е-=- 1 . _1_-;- 2 р - wchwt~+ 1 . _1_2 р +wР2-wР-р2р_ w2т. е.2'(78.7)2'(78.8)Аналогично получаем формулуshwt ~w2Р-w•ПОАобие±.F(x), т.
е. умножениеЕсли f(t) ~ F(p), л > О, то f(лt) ~аргумента оригинала на положительное число л приводит К делениюизображения и его аргумента на это число.о По формулеf(лt) ~(78.1)имеемJ= f(Лt)· e- pt . dt= [положив лt= t 1] =о1= л'J= f(t1) . е_E t1А.dt]1= л'оJ= f(t) .
е _Е!А• dt= л1 .F (Р)Ло(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).•Например, пусть cos t ~ р2 ~ l' ТогдаСмещение( затухание)Если f(t) ~ F(p), а = const, то е а! . f(t) ~ F(p - а), т. е.умножениеоригинала на функцию e at влечет за собой смещение переменной р.о в силу формулыeat . J(t) ~Jе00(78.1)а!.имеемf(t)e- pt dtо(Re(p - а)> 80)'19 Конспект лекцлй по высшей математике.
Полны ...урс=J= f(t)e-(p-ajt dt = F(p - а)о•Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствиямежду оригиналами и их изображениями:Прu.мер78.5.еat.еat. sш wt(ра)-2+wр - а.. coswt =:= (р-а)2+w(2'(2'78.9 )78.10)Найти оригинал по его изображениюF (р)QW•7'2р- 5= р2 _ 6р + 11 .Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:2р - 52 (р - 3) + 1F(p) = р2 _ 6р + 11 - (р _ з)2 + 2р-3=2.v2+_.v2(p_3)2+(V2)2(р_З)2+(V2)2~~ 2 .
е зt . cos V2t + ~. e3t siп V2t = f(t).(См. формулы(78.9), (78.10)•и свойство линейности.)ЗапаздываниеЕсли~f(t)F(p) ,Т>О, тоf(t -Т) ~ е- РТ F(p), т. е. запаздывание оригинала на положительную величину Т при водит к умножениюизображения оригинаJIа без запаздывания на е- РТ .о Положив t - Т =tl, получимJ f(t - т)· e00f(t - Т) ~О= J f(t 1)е- РТ . e- pt100J f(t1)e-Р(t1+Т) dt 1 =dt 1 = е- J f(t)e- Pt dtе00ptdt =-Т00РТо=РТ F(p).•оПоясним термин «запаздывание». Графики функцииимеют одинаковый вид , но график функции7f(t-T)f(t) и f(t - Т)сдвинут на Т единицf(t)f(t)l(t-r)f(t-r)~---iIIРис.вправо (см. рис.304).rrОО304Рис.Следовательно, функцииf(t)и305f(t-r)описываютодин и тот же процесс, но процесс, описываемый функциейТ),f(t -начинается с опозданием на время Т.Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различнымианалитическими выражениями; функций, описывающих импульсныепроцессы.Функция1 (t -Т)={1О'Ной фу'Н'К:'Цuей (см.
риспри t ~ Т,при t < Тназывается обобщен/ной едu"Нu'Ч,-305).Так как l(t) ==. 1то l(t - Т) ==. 1.е- РТ .р'рЗапаздывающую функциюg(t) =можно записать так:Прu.мер78.6.{~(t - Т)g(t) = f(t -Т)приt~ Т,приt<Т. l(t -Найти изображеЮ1€Т).=t -f(t)1.о Решение: Для того чтобы быть оригиналом, функцияудовлетворять условиям1-3(см. п.78.1).f(t)должнаВ этом смысле исходнуюзадачу можно понимать двояко.Если понимать функцию,f(t)какприt ~ О,приt< О,т. е.
f(t) = (t - 1) . l(t) (см. рис. З06, а), то, зная, что t ~:h(см.рформулу (78.4)), 1 ~ 1 и, используя свойство линейности, находимрf(t) = (t - 1) . l(t)11~ 2" - - = Р(р).р579рf (t)Если же понимать функцию= {t -f(t)какпри t ~1Опри1,t < 1,f(t) = (t - 1) . l(t - 1) (см. рис. ЗОб, 6), то, используя свойствозапаздывания, находим f(t) = (t - 1) . l(t - 1) ~ А е- Р = Р(р).•т. е.рf(t).f(t)f(t)1 f---оо-1Рис.307),307Найти изображение функции78.7.Решение: Даннаярис.Рис.306f(t)=Q3баПримеро1{Опри t < О,1приО~t~3,Оприфункцияt > 3.описываетединичныйимпульс(см.который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функцииПоэтому f(t)= l(t)Пример78.8.l(t) и обобщенной единичной функции 1(t-3).- l(t - 3) ==. 1- 1р .
е- ЗР = Р(р).•рНайти изображениефункцииf(t)f(t)={~4-tQприt< О,при О ~ t ~при2308.2,< t < 4.Решение: Функция-оригиналжена на рис.2t ~ 4,оизобраЗапишем ее одним ана2Рис.литическим выражением, используя функции Хевисайдаf(t) = t ·l(t) - t ·l(t - 2)+ (4 -4308l(t)иl(t-T):t) ·l(t - 2) - (4 - t) ·l(t - 4),т.е.f(t)= t· l(t) -;- (t - 2 + 2) ·l(t -2) - (t - 2 - 2) . l(t - 2)+ (t -4) ·l(t - 4).Раскроем скобки и при ведем подобные слагаемые:J(t)= t· l(t)- 2(t - 2) · l(t - 2) + (t - 4)· l(t - 4) .Изображение функцииf(t)f(t)будет равно11 2р2 · 2"е-~ 2" рр•1 4 р = F (р ).+ 2"ер3а.ме'Чан:uя.1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,тесть Р(р) =l_1'Р1-еJf(t)e-рLdt.о2.
Свойство опережения f(t+T) ~ еРТ(Р(р) меняется значительно реже .J!(t)e-РLdt) притоДифференцирование оригинала~Еслиf(t) ~ F(p) и фу нкции f'(t), f"(t), ... ) f(n)(t) являются ори-гиналами , тоf'(t) ~ р. F(p) - 1(0),f//(t) ~ р2 . Р(р) - р. 1(0) - 1'(0),f//'(t) ~ р3 . F(P) - р2 . 1(0) - р. Р(О) - f"(O),(78.11)(78.12)(78.13)......... . .. . ............ ,(78.14)а По определению изображения находим1'(t) ~JOOрL1'(t)e- dt=[I vdu==l(t)_pe-и= e- pldv = f'(t) dtрLdt ]=о= l(t)e-Pll~ +рJ f(t) e00pldt= -1(0) + рР(р) .оИтак,f'(t)~p·F(p)- 1(0).
Пользуясь полученным1// (t):результатом, найдемизображение второй производнойf//(t)= (J'(t»)'~ р(р . Р(р) - f(O») - f'(O)= р2. F(p) - р. f(O) - f'(O) .Аналогично найдем изображение третьей производнойI (t)I11~ р(р2 . F(p) - р . f(O) - 1'(0») - 1"(0)= рЗ . F(p)Применяя формулу(78.11) (n - 1)flll(t):=- р2 ·1(0) - р. 1'(0) - 1//(0).раз, получим формулу81(78.14).•За.ме'Ча'Нuе. Формулы(78.11)-(78.14)просто выглядят при нулевыхj(O) = О, то 1'(t) ~ р. Р(р); если j(O) == 1'(0) = О, то !"(t) ~ р2 . Р(р), и, наконец, если j(O) = 1'(0) = ...... = j(n-l)(О) = О, то j(n)(t) ~ рn . F(p), т. е. дифференцированиюначальных условиях : еслиоригинала соответствует умножение его изображения на р.Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе сосвойством линейности широко используется при решении линейныхдифференциальных уравнений.Прu.мерНайти изображение выражения78.9.xfll(t) - 2x"(t) - 3x'(t)если х(О)Q= 3,х' (О)=О, х" (О)Решение : Пустьламx(t) ~(78.11)-(78.13) , имеем= - 2.Х(р)x'(t) ~ р' хх" (t) ~ р2-Х.Тогда,согласноформу-3,.Х -xfll(t) ~ рЗ.
Х2+ 2x(t) + 2,Р. 3 - О,- р2. 3 - р' 0+2 ,2= 2·1 =='р_.Следовательно,+ 2x(t) + 2 ~x/ll(t) - 2x"(t) - 3x'(t)~ р3.х-3р2?+ 2-2(p~.Х -3р)-3(р. Х - 3) +2Х2+ -.•РДифференЦирование изображенияIiЕслиj(t)~ Р(р), тоР'(р) ~ -t·j(t),р" (р) ~ (_1)2 . t 2 . j (t),.... ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
