Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Найдем преlim sin z -!з- = 00. Следовательно,'--+Оzz= О является полюсом. Можно убедиться, что lim z2~= 00 ,Zlim z3 ~ = 1 =1- О. Следовательно (см. (76.17)), точка z = О - полюсZ--+Ozz,--+о•третьего порядка.Прu.мер76.8.Исследовать особенности функцииj( z ) =z +3.z (z + 2)(z - 1)2а Решение: Для данной функции точкиполюсы, zзz! =О и•Прuм,ер 76.9. Выяснить поведение функций j(z)2=~l+ zпростыеz2 = -2 -полюс второго порядка.= 1-В окрестности точки z= z ~ 3 ' g(z) == 00.а Решение : Сделаем подстановку z = Ь· Тогда функция j(z)примет виджениеjj(t) = 1_W3w'=z~3При условии 13wl < 1 имеет место разло(t) = w (1 + 3w + (зw)2 + ...
). Возвращаясь к старой пере менной, имеем1j(z) = --3z-1(3 з2)= -z 1+-+2"+'"z zПоэтому точк аz1 3 з2-+2"+з+'"z zz=3n= '"~ -:--+1ZN '(см. послед-2tI/I0ЖНО убедиться, что z =00для функцииg(z)правильной точкой.=~1+zявляется•ВЫЧЕТ Функции§ 77.77.1.Понятие вычета и основная теорема о вычетахвыч,еmом, аналитической функцииточкела 2~iстиfj( z) в изолированной особойZo называется комплексное число, равное значению интеграj(z) dz, взятого в положительном направлении по окружноLс центром в точкеLj(z) (Т.е.13кольце Оzo,лежащей в области аналитичности функции< Iz - zol < R).Обознач ается вычет функцииZoIzl > 3.n=о= 00 является устранимой особой точкойнее замечание).~00сим воло мResj(zo)илиj( z) в изолированнойRes(f(z);zo) .
Таким образом,Res j( zo)= -21. f7Пособой точке(77.1 )j( z) dz.LЕсли в формуле(;-1(76.12)=~2JrZположитьf j( z) dzилиn= -1, то получимRes j(zo) =C-I,L~т. е. вычет функцииj( z)относительно особой точкиZoравен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функцииj(z)в ряд Лорана(76.11).Теорема(Коши). Если функция77.1в замкнутой областиD,конечного числа особых точекобластиD,тоj(z)является аналитическойограниченной контуромL, за исключениемzk (k = 1, 2, .
.. , n), лежащих внутриnf j( z) dz = 2Ki L Res j(Zk).L(77.2)k=lо Вокруг каждой особой точкиzkопишем окружностьона целиком содержалась в областиD,lkтак, чтобыне содержала внутри другихособых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общихточек (см. рис.300).Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см.замечание на с.545)имеем :f j (z) dz = f j (z) dz + f j (z) dz + .. . + f j (z) dz,L11In12где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки.
Но, согласно формуле(77.1),имеем:fj( z) dz= 2Ki Resj(ZI),f j(z) dz = 2Ki Res j(Z2),12fРи с.j(z)dz= 2KiResj(zn).In300Следовательно,f j( z)dz = 2KiResj(zl) + ... + 2KiResj(zn),т. е.fLj( z) dz•= 2Ki k~l Resj(zk)'77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетовв вычислении интеграловПравuлъ'Н:ыеz = Zouлuустранимыеособыето'Чх;u.Очевидно,есть правильная или устранимая особая точка функцииеслиj(z),тоRes I(zo)=о(в разложении Лоранаствует главная часть, поэтому С-IПолюс. Пусть точкаzoв этих случаях отсут-.является простым полюсом функцииI(z)Тогда ряд Лорана для функцииf(z) =(76.11)= О).в окрестности точкиI(z) .имеет видzoс002:Cn(z - ZO)n + --=L..
Отсюдаn=ОZ - Zo00n=ОПоэтому, п ереходя в этом равенстве к пределу причаемI Res I( zo)За.ме"tа'Нuе. Формуле=С-I(77.3)=)~П;О (z -z-tZO,полу-(77.3)zo)f(z)·1для вычисления вычета функциив простом полюсе можно придать другой вид, если функцияf(z)I(z)является частным двух функций, аналитических в окрестностях точкиПустьz= Zozo.= ~(;f' где <p(Zo) i= О, а 9(Z) имеет простой нуль при9(zo) = 0,9'(Zo) i= О). Тогда, применяя формулу (77.3),j( z )(т. е.._ .<p(z) _ .имеем . Resj( zo) - )~~(z - zo)9Гz) - z~n;o<p(z)_ <P(zo) .9(Z)-9(ZO) -91(Zo)' Т. е.z-zo<p(z)Res ( M;zOПусть точкаZo)(77.4)является полюсом т-го порядка функциигда лорановское разложение функции_<p(zo)=~.n00С-II(z).в окрестности точкиI(z)С-2ZoТоиме-С-тет вид j( z ) - n~o C,,(Z-zo) + z _ Zo + (z _ zO)2 + .. .
+ (z _ zo)ffi' Отсюда(z- ZO)''' j( z ) =002:,,=0Cn(z-ZО)n+ m + С _ m +C-т+I (z-ZO)+, . '+СI (z-zО)m-I.Диффе ренцируя последнее равенство (т- 1)раз, получим:(["'-1dz m- I ( z - zo)'''/(z ») =00= (m-l)!Сl + Lс n (n+т)(n+т-1)(n+т- 2) . . . (n+2)(z-zo)n+l.n=оПереходя здесь к пределу при z -71Zo,получаем([",-!Resj(zo) = ( т - 1)'. Z-+Zolim dZ т-l (z - zo)m/(z»).(77.5)Существе'Н'Но особая mO"t1Ca. Если точка Zo -- существенно особаяточка функции /(z), то для вычисления вычета функции в этой точкеобычно непосредственно определяют коэффициент С-l в разложениифункции в ряд Лорана.Прuмер 77.1. Найти вычеты функции I(z) =i+ 24 в ее особыхz - zточках.<)Решение: Особыми точками функции=О -стой полюс,z2по формуле(77.4)(77.5),+2z )411= -21 ,-+оlimНайти вычет функции77.2.<)(+_z- 2)1- zI(z)= О.z1-пронаходим:1 lim ( (z-0)3 z3= -,2.
z-+oz -Прuмерявляются: ZI == З). Следовательно,имеем Res(f(z); 1) = (z f -+ z24)' Iz=1 = з1 ~ 42 = -з.Используя формулуRes(f(z); О)I(z)полюс третьего порядка (т=e1Z111 = З. •= -·62в особой точкеРешение: Лорановское разложение данной функции в окрестностиz = О было найденоRes(f(z); О) = 1.точкит. е.в примере76.4.Из него находим С-l= 1,•Теорема о вычетах часто используется для вычисления интегралаот функции комплексного переменного по замкнутому контуру.ПрuмерIz <)1-Вычислить=iIz -(L(77.2),= (z _ l)i(z'2 + 1) имеет(см . рис .
З01) простой полюс(77 . З) иdzz-l= 27Гi [limz-+i'(1'= 27Г!< v21тz-+i(77.5),= 1.Рис..z- i1l'хполучаем :.((z - 1)2(z + i)(z - i)оПри меняя)2( 2) = 27Г~ Res(f( z );~) + Res(f(z) ; 1))z +1(z - 1)2(z + i)окружностьУи полюс второго порядка Z2формулыf1- ilf (z _ 1)1(z2 + 1)' где L Lil = V2.Решение: Функция I(z)в кругеZI77.3.+~lim1! н1301=((z _1)2-:--_-:-;;-1:-;;-_-,-)'](z - 1)2(z2 + 1)-2Z) = "(1-4 - -21) = --7Гi2 .+ нl1т(z2 + 1)257027Г!•2".Определенный интеграл видаJ R(sin х; cos х)dxс помощью заме-оны z = e ix в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл поIzl = 1 от функции комплексного переменного, кзамкнутому контурукоторому уже применима основная теорема о вычетах.Прu.мер77.4.Вычислить с помощью вычетов интегралdx2".J1=О(3+ 2 cos х )2·Решение: Произведем замену переменного, положив zQ.ixdz -- ietxdx -- iz dx , cos х -- ех от О ДО 27Т точка z опишет вIzl = 1.
Следовательно,2".dxJ (3 + 2 cos х)2ов кругеRes ( j(z);- -1- 1!Z-3+ 1.~dzfiIzl=1Z+ 1 . При изменении2zfzdz(z2Izl=1~ У5. По формуле-3 +У5)22z -- _2_-положительном направлении окружность+ {z + 1)2(.77.5)- 1+ 3z + 1)2-.имеет полюс второгонаходим=.(( z - -----:с--3 + У5) 2-з+15211тO~-ix1 функция j(z) = (z2Izl <порядка z1 ==+2 е= e ix . Тогда2Z(z--з+15)2.2) I(z- -3-15)2235У5·Следовательно , 1 = ~.2ni·2_3_5У5=Ш1Г •25•ГлаваXVIII.ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГОИСЧИСЛЕНИЯI Лекции 69-71IОперационное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.Операционное исчисление-один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотр е нию более простых алгебраических задач.Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.1.ямОт искомых функций переходят к некоторым другим функциих изображениям .2.Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями .З.
Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.В качестве преобразования, позволяющего п е р ейт и от функции ких изображениям, будем применять так назыв ае мое nреобразова'Нuе Лапласа.§ 78.ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЛАПЛАСА78.1.Оригиналы и их изображенияОсновными п еР Dоначальными понятиям и операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения .ПустьногоI§]t(подf(t) tФункциядействительная функция действительного пере менбудем понимать время или координату).f(t)называется оригина,л,ом, если она удовлетворяетследующим условиям:1. f(t) == о при t < О .2.
f(t) -- кусочно-непрерывная при t ~ О, т. е. она непрерывна илиимеет точки разрыва1 рода ,причем на каждом конечном промежуткеосиt~З. Существуют такие числа N! > О и 50 ~ О, что для всех t выполняется неравенство If(t) ~ м ·e sot , т. е. при возрастании t функцияможет возрастать не быстрее некоторой показательной функции .таких точек лишь конечное число .If(t)Число 80 называется nо'/Сазате,л,ем ростаf(t).Условия1-3выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в моментt =О.
Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить= О),80степенные t n (n > О) и другие (для функций вида f(t)условие3не выполняется). Не является оригиналом, например, функ-=tция f(t)= ae t2(не удовлетворяет второму условию),Заме'Ч,а1iuе. Функцияf(t)может быть и комплексной функциейдействительно переменного, т. е. иметь видf(t) = fl (t) +if2(t); она счиfl (t) И f2(t) являтается оригиналом, если действительные функцииются оригиналами.~Изобра-;нсен.uе,м орuгuн.алаплексного переменного рназывается функция Р(р) комf(t)= 8 + i(!,J f(t)·определяемая интегралом00Р(р)=e-pt.(78.1}dt.о~Операцию перехода от оригиналаf(t)к изображению Р(р) назы-вают nреобразован.uе,м Лапласа. Соответствие между оригиналомf(t)Р(р) ~и изображением Р(р) записывается в видеf(x)изображенияf(x)~ Р(р) или(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их-соответствующими большими буквами).Теорема78.1налаизображение Р(р) существует (определено) в полуплоскостиRepf(t)= 8 > 80,(существование изображения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
