Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 80
Текст из файла (страница 80)
+ (~ -ТогдаПро интегрируем это равенство по контуру... + (z - zo) n ~2ПlfL2L2:zo)n+l+ ...fт. е. 2~i!~Чdf, == n~o cn(z -zo)n,гдеL2спf~271'zf(O n+l df.(f. - zo)L2(n == 0,1,2, ... )f(n) (z )1 о, так как функция /( z ), возможно, не аналитичнаn.(здесь cn :j:.в точке==zo).На окружности L 1 имеем If. - zol < Iz - zol, т. e·1 {Zo I < 1. Тогдаz - Zo11==f.-z11(z - i o) - (f.
- zo)(z - zo)(I- ~:::::~)------------==z - f.+ f. - Zo 2 + ... + (f. -== _ ( __1__z .- Zo(z - zo)==ZOl:l + ... ) .(z - zo)Значит,_~f(f.) =~~+~ f.-zo fЮ+ .. .+~ (f.-zo)n /(0+ ...271'2f.-z271'2 (z-zo)271'z (Z-ZO)2271'2 (z-zo)n+l .Проинтегрируем это равенство почленно по контуруf- _1271'ifЮ df, ==f. - zL,== (z -ZO)-l~271'2ff(f.) df, + (z - zO)-2 ~271'2L,f... + (z - zo)-(n+l) 2~i== f(z - zo)-nfff(f.)(f.
- zo) df.+ ...L,f(f.)(f. - zo)n df, + ... =f2~in=!т. е. -2~iL1:f(f.)(f. - zo)n-ldf"(76.15)L,!~Чdf, = n~1 c-n(z -zo)-n , гдеL,с-n = -21.71'2f (f. - f(~~n+ldf.ZoПодставив разложения(76.14)00/(z) =L cn(z n=О(n= 1, 2, З, .. .).L,и(76.15)в равенство00Zo)n+ L C-n(z - zo)-nn=!(76.13),+00=Ln=-оо560получимCn(z - zo)n.Формулы для коэффициентов с.n И С- n можно объединить, взявL 1 и L 2 любую окружность L с центром в точке Zo,вместо контуралежащую в кольце междуL1и(следует из теоремы Коши для мно-L2госвязной области): сп = 2~i f (~!~~~n+l df.(n= О, ±1, ±2, ... ).•LМожно доказать, что функцияце< Iz - zol < R,rf( z ),аналитическая в данном кольразлагается в ряд Лорана(76.11)единственнымобразом.Ряд Лорана для функции+ 00l(z) =n~oo cn(z -0000zo)n = ;cn(z - zo)n+~(z~-;o)nсостоит из двух частей.
Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд0011(Z) = 2=:Cn(z - zo)n,n=о~называется nравu..л:ьноi1. -частью ряда Лоранаj этот ряд сходится К ана.питическоЙ функции11 (z)внутри кругаIz - zol < R.Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд0012(Z) =L ( с-n=1Z -n)n,Zoназывается г.лавноi1. -частью ряда Лорана; этот ряд сходится каналитической функцииВнутри кольцаrf2(Z)вне круга< Iz - zol < RIz - zol > т.+00Lрядcn(z - zo)n сходится Кn=-ооаналитической функцииf(z)= fl(z) + f2(Z).В частности, если функциягаIz - zol < R,f(z)не имеет особых точек внутри круто ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.За.ме'Ч,шнuе. На практике при разложении функции в ряд Лоранаиспользуют известные разложения основных элементарных функций;дробь вида _1_ разлагается в ряд, являющийся рядом геометричеz -Zoской прогрессии; дробь вида(1 )k'z - Zoгдеk>1-целое, разлагаетсяв ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии после-довательным дифференцированием(k -1)разj сложная дробь представляется в виде суммы простеtlших дробеtl.Прu..мер76·4.окрестности точки ZoРазложить в ряд Лорана функцию= О.f(z)QРешение: Воспользуемся известным разложениемеиu2un= 1 + , + , + .
. . + , + ... ,1.2.n.исправедливым на всей комплексной плоскости. Положив и = 1, полуzчим1111 'e Z = 1 + -,- + - - 2 + ... + ---тn + ... , z =J. о.•l .zПрu.м.ер2!zn.z76,5, Разложить в ряд Лорана функцию1j(z)Zo =в окрестности точкиQ= z2 _z - 6О.Решение : Функция имеет две особые точки:zl = -2 и Z2 = 3,.Izl < 2; б) 2 < Izl < 3; в) Izl > 3.j(z) в виде j( z) = С ~ 3 - z l2) 'аналитична в областях: а) О ~Представим функциюа) В кругеIzl < 2(рис.!297)имеем:_1_ =_~~ =_~ (1+:' ++ ...
)z-331 - з33 3z:-Она(здесь 1:'з1 < 1, т. е.Iz l <3)'Z~2=-~1~1 =-~(1-~+;:- .. ) (здесь 1-~I<I,т.е.lzl<2).Следовательно,j(z) = z2 _l _ 6 =z+ (_1)nn-оряд Лорана функцииб) В кольце 2-~ ~ Cn~l<:j(z)211~l )zn =11763627·8= - - + - z - _ _ z2 + ...обращается в ряд Тейлора.Izl < 3 (рис. 298) имеем:(Izl < 3),_1_ = ~ . _1_.
= ~ (1 _ ~z +2z 1 + ~Zzz1= +-z Следовательно,2'2z22+ 3'z- ...+ 22_ ... )z2(Izl > 2).'....... . ........ . .ууРис.Рис .297в) В области_1_z- 3Z :у.Izl > 3(рис.Рис.298имеем:299)= ~ . _1_ = ~ (1 + ~ + з2 + ... )'z2=1 - 1z299zzz2~ 1 ~ ~ = ~ (1 - ~ + ~: -.. .)(lzl > 3),(Izl > 2).Следовател ьно,•76.6. Классификация особых точек.Связь между нулем и полюсом функцииКак уже знаем , особоi1 то'Ч,х;оi1 функцииl(z)называется точка, вкоторой функция не является аналитической.Е§]Особая точкаz = zoфункцииl(z)называется 'Uзо.л:uрова-н-ноi1.,если в н екоторой окрестности ее функцияl(z)не имеет другихособых точек.Еслиzo -изолированная особая точка функцииствует такое чи слоI( z )R >О, что в кольце Оl(z),то суще< Iz - zol < Rфункциябудет аналитической и, следовательно, разлагается в-ряд Лора-на (76.11) : I(z) =002:=n=о00cn(z - zo)n+ 2:= (n=]СП )n.Z -ZoПри этом возможны следующие случаи:l§I1) Ряд Лорана не содержит главной части, т.
е. в ряде нет членов сотрицательными показателями . В этом случае точка Zo называетсяycmpaH'UMoi1. особоi1. mо'Ч'lCОi1. функции563l(z) .~Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное2)числочленов,т. е .вряде естьконечноечисло членов с отрицательными показателями. Б этом случае точка Zo называется Тюлюсо.мфункции~3)j(z).Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов, т. е. в ряде ес,ТЬ бесконечно много членовс отрицательными показателями. Б этом случае точкасущественно особоu. то'Ч,'lCОu. функцииZo называетсяj(z) .Укажем особенности поведения аналитической функцииj(z)вокрестности особой точки каждого типа .Устранимые особые точкиЕслиустранимая особая точка, то в окрестности точкиZo -Zoсоразложениеимеет вид(76.11)f(z) =справедливо во всех точках кругаЕсли положитьциюj(ZO)= Со,где со2:Cn(Z - zo)n.n=оIz - zol=< R,Это разложениекроме точки z= Zo.(т. е.
определить функ-lim f(z)z---tzQzo), то функция j(z) станет аналитической во всемкруге Iz - zol < R (включая его центр z = zo); особенность точки Zoустраняется, точка Zo становится правильной точкой функции f(z)).Из равенства lim j(z) = со (Со i- 00) следует, что в достаточно маj(z)В точкеz-tzQлой окрестности устраняемой особой точкифункцияZoj(z)являетсяограниченной.~Справедливо и обратное утверждение :то'Ч,'ICaz = zoне'Ч,ныu. пределизолированная особаяявляется устрани.мои, если существует 'lCO-lim j(z)z---tZQ= А.ПолюсыЕсли Zo -полюс, то в окрестности точки_имеет вид j(z) где с-тi- О .функциисоn2:С-lzo разложение (76.11)С-2С-тcn(z - zo) + - - + ()2 + ... + ()т,Z - zoz - zoz - Zoслучае полюс Zo называется полюсом т-го nор.я.д1>ат = 1, то полюс Zo называется простым.n=ОБ этомj(z) ; еслиЗапишем последнее равенство в видеjCz)= (z _lz0 )m (Cz- zo)ffifcn(z - zo)n+ Cl(Z -zо)ш-l+n=О+ C-2(Z-zO)m-2+ ...
+ с-т)илиj (z) = -,--o:.g..:...(z-,-:-)=(z - zо)Ш ,(76.16)гдеg(zo) = С- т -:j:. О. ОтсюдаJ(z) -+ 00 при z -+ zo, т. е. в достаточно малой окрестностифункция j(z) бесконечно велика.аналитическая функция, причемg(z) -следует, чтополюса~Справедливо и обратное утверждение:то'ч:х:аz = ZoИз равенстваизолированна.я особа.яявляется полюсом, если(76.16)имеемlim j(z) =z-tzo00 .(z - zo)ffi j(z) = g(z). ОтсюдаZo: еслиполучаемудобный способ определения порядка полюсаlim (z - zo)ffi J(z)Z~20~ZoтЬ точка= С- т(С-тf=О, С- т -:j:.00),(76.17)есть полюс т-го порядка.Имеется связь между нулем и полюсом функции.ТеоремаZo - нуль т-го порядка функции J(z).
тоZo является полюсом т-го порядка функции J(l ); если точка Zo zполюс т-го порядка функции j(Z). то Zo является нулем т-го порядка76.6.Если точка1функции j(Z)'а Докажемт-гопервуюпорядка= (z Тогда (z j(z)длячастьтеоремы.функцииj(z).zo)7n<p(z),гдеzo)nl j(z)= <p(z) и }.т;о ((z -<p(z)ПустьТогдаzZoимеетаналитична в точкеzo,zo)m J(z))естьнульместоравенствопричем<p(zo) -:j:.= <P(~o) f= оЭто означает (см. (76.17)), что для функции j(z) точка z=О.(-:j:. 00),Zo являетсяполюсом т-го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывается аналогично.•Существенно особая точкаЕслисущественно особая точка, то, как доказывается (теоZo -рема Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точкиZoфункцияj( z ) становитсянеопределенноЙ.
В такой точке аналитическая функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.Выбирая различные последовательности точекщественно особой точкеzo.{zn},сходящихся К суможно получать различные последовательности соответствующих значений функций, сходящиеся к различнымпределам .Прuмерточкеz= О.76.6. Определить тип особенности функции j(z)I= е;ва Решение: Функция] (z)1=еzв окрестности точки1ющее лорановское разложение: e Zz00= n=оL 4пn. z= О является существенно особой точкой.тельной части действительной оси, то lim е z,--+оz --+= О имеет следу-(см . при мер 76.4). Точкаz --+Если1z=О вдоль положи1lim е Хх --+о+о= +00;О вдоль отрицательноi1 части действительной оси , тоlimх--+о-о1еХесли1limz--+oеz=•= О.За.ме-ч,шнuе.
Классификацию изолированных особых точек можнораспространить на случай , когда особой точкой функциибесконечно удаленная точка,Окрестностью точкига с центром в точкебольшеR,zz == 00.z= 00 называют внешность какого-либо круО и достаточно большим радиусомтем меньше окрестность точкиТочкуz =j( z) являетсяz =R(чем00).00 называют изолированной особой точкой , если' в некоторой окрестности ее нет дру гих особых точек функции](z) .Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказаться устранимой особой точкой, полюсом порядкаmили существенноособой точкой .
В первом случае лорановское разложени е функциив окрестности точкителями, во втором-z= 00](z)не имеет членов с по л ожительными показа-имеет их лишь конечное число , в тр е тьем с лучаев разложении имеется бесконечно много членов с положительными показателями.E§IИзучение функции](z)путем подстановкиzсти точки z=в окрестности точкиz= 6 к изучению функции= 00j (6) в окрестноО.Прu.мер 76.7. Найти особые точки функции j(z)а Решение: Особой точкой функциидел функции при z --+ О: lim ~z--+oточкаможно свестиz==~.zj(z) является z = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
