Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Иными словами, если каждому значению аргумента t Ť  R поставлена в соответствие случайная величина Xt = X(t), то совокупность случайных величин {Xt}представляет собой стохастический процесс.Если множество определения Ť случайной функции X(t) дискретно, т. е.Ť = {ti}, то стохастический процесс называется дискретным.Дискретный стохастический процесс представляет собой последовательностьслучайных величин Xt, соответствующих моментам времени t1, t2, ..., tT, ....Характеристики случайного процесса X(t) в общем случае являются функциями от времени t:математическое ожиданиеμt = E[Xt] = μ(t);(6.1)дисперсияσ2t = D[Xt] = E[(Xt - μt)2] = σ2(t),(6.2)а автоковариация t1t2  cov( X t1 , X t2 )  E[( X t1   t1 )( X t2   t2 )]   (t1 , t 2 )(6.3)зависит от t1 и t2 .Стохастический процесс называется стационарным процессом в узком(сильном) смысле, если совместное распределение вероятностей случайных величин X t1 , X t2 ,..., X tn такое же, как и у случайных величин X t1 , X t2 ,..., X tn при любых n, t и τ.Стохастический процесс называется стационарным процессом в широком(слабом) смысле, если математическое ожидание μt и дисперсия σ2t не зависятот времени (одинаковы для всех Xt), а автоковариация  t1t 2 зависит только от величины лага τ = t2–t1, т.

е.μt = μ =const;(6.4)σ2t = σ2 = const; t1t2  cov( X t1 , X t2 )  E[( X t1   )( X t1    )]   ( ) .Процесс называется нормальным, если совместное распределение случайных величин X, , Xt,..., Xt является n-мерным нормальным распределением.«Белым шумом» называется последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин at. Из определения «белого шума» следует, чтоμt = const = μ; Dt = σ2t = const = σ2;  t1t 2  0 , если t1 ≠ t2 .(6.5)94«Белый шум» является стационарным стохастическим процессом и играетважную роль при моделировании остатков стохастического процесса в уравнениях регрессии.Зависимость автоковариации γτ = γ(τ) от длины лага τ называется автоковариационной функцией.

При τ = 0 ее значение равно дисперсии, т. е. γ0 = γ(τ) = σ2.Отношение автоковариации γτ = γ(τ) к дисперсии σ2 = γ0 называется автокорреляционной функций стационарного стохастического процесса:τ  τ ,(6.6)0причем  1   τ  1 .Стационарному стохастическому процессу Хt соответствует стационарныйвременной ряд xl, х2, ..., хn.Признаками стационарности временного ряда являются отсутствие тенденции и периодической составляющей, а также систематических измененийразмаха колебаний и систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.Для распознавания стационарности временных рядов могут использоваться следующие подходы: визуальный анализ графического представления временного ряда на наличие тенденции и периодической составляющей, на постоянство дисперсии и т.

п.; анализ временного ряда на наличие автокорреляции; тесты на присутствие детерминистического тренда; тесты на постоянство статистических характеристик; тесты на наличие стохастического тренда, например, тесты на единичный корень.6.1.2. Параметрические тесты стационарностиПараметрические тесты применяются при относительно строгих предположениях относительно законов распределения временного ряда, его параметров. Они, как правило, оценивают меру близости между эмпирическими характеристиками распределения временного ряда и их теоретическими аналогами,на основании чего делается вывод о целесообразности принятия или отвержения гипотезы о соответствии свойств рассматриваемого ряда стационарномупроцессу.Для проверки гипотез о постоянстве математического ожидания и дисперсии на рассматриваемом интервале t=1, 2, ..., n могут быть использованы критерии Стьюдента и Фишера.

Эти критерии применяются в предположении о нормальном законе распределения как значений временного ряда, так и его выборочных параметров, что является достаточно справедливым для многих реальных процессов.Тестирование математического ожидания. Интервал времени (1,n)(и, соответственно, временной ряд уt, t=1, 2, ..., n) разбивается на две части, необязательно одинаковые по количеству содержащихся в них значений уt с количеством наблюдений n1 (n=1,2,..., n1) и n2 (n=n1+1,...,n), n2 =n–n1.95Для каждой из частей определяются оценки y1 и s12, y2 и s22 – выборочныхматематического ожидания и дисперсии переменной уt соответственно.

Далеерассчитывается значение критерия Стьюдента по формулеy1  y 22122ssn1n2,(6.7)если предполагается, что значения дисперсий на этих участках не равны междусобой, т. е. σ21 ≠ σ22, и по формулеy1  y 2s2n1 n 2,n1  n 2(6.8)если σ21 = σ22 = σ2.Если оказывается справедливым неравенство   кр ( , k ) ,(6.9)где α – заданный уровень значимости (α=0,05; 0,01); k = n1+n2–2 – число степеней свободы;  кр ( , ) – критическое значение критерия Стьюдента, соответствующее значениям α и k, то нулевая гипотеза о постоянстве математическогоожидания процесса уt принимается.

Вероятность ошибки такого решения приэтом составляет α. В противном случае, эта гипотеза отвергается.Можно интервал наблюдений разделить на несколько частей и проверятьгипотезу о равенстве оценок средних значений ряда, рассчитанных на этих частях. Для этих целей используется критерий Фишера. Его расчетное значение вданном тесте определяется как отношение взвешенной суммы квадратов отклонений этих оценок от средней временного ряда в целом к средней дисперсиивременного ряда:Fk1  n j ( y j  y)k  1 j 1s 2 (k ),(6.10)где k – число частей разбиения интервала (1,n); nj – число измерений переменной на j-й части (j=1, 2, ..., k); y – среднее значение временного ряда вцелом; s 2 (k ) – средняя дисперсия, значение которой рассчитывается на основании следующей формулыk1s 2 (k )   (n j  1)  s j2 ,t  k j 1где s j2 – дисперсия, рассчитанная на j-й части интервала (1,n).Если оказывается справедливым соотношениеF<F(α, ν1, ν2),(6.11)где F(α, ν1, ν2) – табличное значение критерия Фишера для уровня значимости αи при числе степеней свободы ν1 = k–1, ν2 = n1+n2+…+nk–k, то гипотеза о постоянстве математического ожидания временного ряда на всем интервале (1,n)принимается с вероятностью 1– α.

В противном случае она отвергается.96Тестирование дисперсии. Проверка гипотезы о постоянстве дисперсиивременного ряда уt, t = 1, 2, ..., n в случае разбиения исходного интервала на двечасти обычно осуществляется с использованием двухстороннего критерия Фишера. Обязательным условием при этом также является нормальный закон распределения значений уn.Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:Fs12,s22(6.12)где s12 и s22 – оценки дисперсии ряда на первой и второй частях соответственнос числом измерений n1 и n2.Если для заданного уровня доверительной значимости α оказывается, чтозначение F удовлетворяет неравенствуF(α/2, ν1, ν2) ≤ F ≤ F(1–α/2, ν1, ν2),(6.13)то гипотеза о постоянстве дисперсии временного ряда может быть принята, т.

е.предположение о том, что s12 = s22 = σ2 является обоснованным с вероятностью 1– α.В выражении (6.13) значения F(α/2, ν1, ν2) и F(1-α/2, ν1, ν2) являются табличными (левосторонним и правосторонним) значениями критерия Фишера,соответствующими вероятности ошибки α/2 с числом степеней свободы ν1 = n1–1и ν2 = n2–1 Заметим, что эти значения удовлетворяют соотношениюF(α/2, ν1, ν2) = 1/ F(1–α/2, ν1, ν2).(6.14)Поэтому на практике обычно проверяют только соотношениеF ≤ F(1-α/2, ν1, ν2),(6.15)при условии, что s1 > s2.6.1.3.

Непараметрические тесты стационарностиНепараметрические тесты не выдвигают заранее каких-либо предположений о законе распределения тестируемого временного ряда, его параметрах.Они исследуют взаимосвязи между порядком следования образующих его значений, выявляют наличие или отсутствие закономерностей в продолжительности и (или) чередовании их серий, образованных, например, последовательностями единиц совокупности с одинаковыми знаками, сменой знаков у этих единиц и т. п. [10].Тест Манна-Уитни применяется для тестирования постоянства математического ожидания. Рассмотрим две совокупности значений одного и того жевременного ряда y11 , y 12 ,..., y 1n1 и y12 , y 22 ,..., y n22 и объединим их в один ряд длиной(n = n1+ n2) в порядке возрастания. Обозначим через u* число элементов первойсовокупности (y1), предшествующих первому элементу из второй совокупности, плюс число элементов y1 первой совокупности, предшествующих второмуэлементу из второй совокупности, включая уже учтенные, плюс и т. д.

Характеристики

Список файлов лекций