Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Нестационарныевременные рядыПризнаком нестационарного стохастического процесса является нарушение одного из условий стационарности (6.4). Конкретная реализация нестационарного стохастического процесса представляет собой нестационарный временной ряд. Признаками нестационарности временного ряда могут служить наличие тенденции, систематических изменений дисперсии, периодической составляющей, систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.Заметим, что, как правило, значения, характеризующие изменение экономических показателей во времени, образуют нестационарные временные ряды.104Рассмотрим авторегрессионный процесс первого порядка, определяемыймодельюYt = α0 + α1·Yt–1 + εt,(6.39)где εt – процесс типа «белый шум» с με = 0.
При | α1| < 1 случайный процесс Ytбудет стационарным. Процесс, определяемый соотношением (6.39) при α1 = 1Yt = Yt–1 + εt.(6.40)является нестационарным и называется «случайным блужданием». Такие нестационарные процессы называют процессами единичного корня.Среднее процесса Yt постоянно E(Yt) = Е(Yt–1)+ E(εt) = μ = const, а дисперсия var(Yt) = tσ2 неограниченно возрастает с течением времени. Первые разности Yt являются «белым шумом» εt и стационарны:∆Y t = Y t – Y t–1 = εt.Как показывает практика, рассматриваемые в эконометрических исследованиях нестационарные временные ряды чаще всего относятся именно к этомутипу и проблема выявления нестационарности временного ряда сводится к проверке α1 = 1 в модели (6.39). Соответствующие тесты называются «тестами единичного корня».6.5.2.
Тесты Дики-ФуллераТест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller test, DF-тест) основан на оценке параметра λ = α1 – 1 уравненияΔYt = λ ·Yt–1 + εt,(6.41)эквивалентного уравнению авторегрессии (6.39). Его называют также тестомна единичный корень.Нулевая H0 и ей альтернативная H1 гипотезы определяются соотношениями: H0: λ = 0; H1: λ < 0.Если значение t-статистики Стьюдента для параметра λ меньше нижнегопорогового значения DF-статистики, то нулевую гипотезу λ =0 (о наличии единичного корня α1=1) следует отклонить и принять альтернативную о стационарности процесса Yt.Таблицы теста Дики-Фуллера (DF-теста) рассчитаны для уровней значимости в 1, 5, 10 %.
Указанные в таблице значения DF-теста – отрицательные.DF-тест применим также для тестирования на единичный корень случайных процессов со смещением и со смещением и линейным детерминистическимтрендом определяемых уравнениями:∆Yt = α0 + α1·Yt–1 + ε t,(6.42)∆Yt = α0 + α1·Yt–1 + α2·t + ε t,(6.43)где α0 – константа, называемая смещением.
При этом используются соответствующие таблицы критических значений DF-теста.Отметим, что на практике трудно различить ситуации, когда следует применять DF-тест, а когда – DF-тест со смещением.6.5.3. Модификации теста Дики-Фуллера для случая автокорреляцииПри наличии автокорреляции в остатках εt используется обобщенный тестДики-Фуллера (ADF-mecm), согласно которому в правую часть уравнения рег-105рессии в качестве дополнительных факторов включаются лаговые значения переменной из левой части ∆yt-iky t a1 y t 1 a i 1 y t i t .(6.44)i 1Процедура тестирования, как и ранее, сводится к оценке значения t-критерияСтьюдента для параметра a1 и сравнении его с критическими значениями дляADF-теста, которые совпадают с критическими значениями обычного DF-теста.Такой же подход, может быть применен и в случаях тестирования на единичный корень случайного процесса со смещением и случайного процесса сосмещением и линейным детерминистическим трендом:ky t a 0 a1 y t 1 a i 1 y t i t ;(6.45)i 1ky t a 0 a1 y t 1 a i 1 y t i a k 2 t t .(6.46)i 1Как и ранее, критические значения для ADF-теста те же самые, что и дляобычного DF-теста.6.5.4.
Метод разностей и интегрируемостьДля практики большой интерес представляют, так называемые, интегрируемые нестационарные процессы. Это процессы, для которых с помощью последовательного применения операции взятия последовательных разностей изнестационарных временных рядов можно получить стационарные ряды.Последовательные разности стохастического процесса определяются соотношениями:∆Yt = Yt – Yt–1– первые последовательные разности2∆ Yt = ∆Yt – ∆Yt–1 – вторые последовательные разности и т.
д.Если первые разности нестационарного ряда Yt стационарны, то ряд Yt называется интегрируемым первого порядка. Стационарный временной ряд называется интегрируемым нулевого порядка.Если первые разности нестационарного ряда нестационарны, а вторые разности стационарны, то ряд Yt называется интегрируемым второго порядка. Еслипервый стационарный ряд получается после k-кратного взятия разностей, то рядYt называется интегрируемым k-го порядка.6.6.
Модели ARIMA6.6.1. Определение и идентификация моделиРассмотрим интегрируемый порядка d нестационарный процесс Xt. Еслипри этом процесс Yt = ∆dXt, составленный из первых разностей d-порядка исходного процесса, является процессом АRМА(р,q), т. е.Yt = α0 + α1Yt–1+ α2Yt–2 +…+ αpYt–p + εt – β1εt–1– β2εt–2 –…– β qεt–q, (6.47)106тогда Xt называется процессом ARIMA(p,d,q). На практике свободный член α0часто опускается (приравнивается к нулю).Можно считать, что большинство эмпирических временных рядов является реализациями процессов ARIMA.Основная проблема в анализе временных рядов заключается в определениипорядка модели ARIMA(p,d,q).Необходимо оценить три основных параметра: d – порядок интегрируемости, порядок р компоненты AR и порядок q компоненты MA.
Для экономических временных рядов параметр d обычно равен 1, возможны также значения 0или 2. При определении параметров р и q используются характеристики автокорреляционной функции (ACF) и частной автокорреляционной функции(PACF). При этом предпочтение отдается моделям с наименьшим числом параметров.6.6.2.
Прогнозирование ARIMA-процессовДля прогнозирования ARIMA-процессов Хt могут быть применены дваподхода:1) Получение прогнозных значений YˆT ( h ) ARMA-процесса Yt d X t пометодике прогнозирования ARMA-процессов (см. разд. 6.4) с последующимпоследовательным вычислением прогнозных значений d 1 Xˆ T (h) , d 2 Xˆ T (h)и т. д., пока не будут получены Xˆ T (h) .2) Построение прогнозной формулы с помощью модификации уравнения(6.47) путем подстановки разностей d X t вместо Yt и последующего разрешения полученного уравнения относительно Xt.
В результате, будет полученаARMA-модель нестационарного процесса, которая может быть преобразована вформулу для прогнозирования на h шагов вперед величин Xˆ T (h) с началом отсчета в момент времени Т по методике, описанной в разделе 6.4.Рассмотрим ARIMA(0,1,0)–модель случайного блуждания Yt = ΔXt = εt илив преобразованном виде Xt = Xt–1 + εt.Формула экстраполяции имеет видXT+h = XT+h–1 + εt,(6.48)а формула прогноза дается соотношениемXˆ T (h) X T ,для h ≥ 1.(6.49)2Дисперсия ошибки прогноза var(eT(h))= h·σ ε. увеличивается с ростом h.Ширина доверительного интервала прогноза возрастает пропорционально h .Если Xt – случайное блуждание со сдвигомXt = Xt–1 + α0 + εt,(6.50)тогда формула для прогнозирования имеет видXˆ T ( h ) X T h 0 ,(6.51)что соответствует простому линейному тренду. Дисперсия ошибки прогнозатакая же, как и в предыдущем случае с α0 = 0.Рассмотрим ARIMA(1,1,1)-модель107∆Xt – α1 ∆Xt–1 = Xt – Xt–1 - α 1·(Xt–1 - Xt–2) = α 0 + εt – β1 ·εt–1,которая после преобразования принимает видXt = α0 + (1+ α1 )Xt–1 – α1 Xt–2 + εt – β 1 ·εt–1.(6.52)Формулы для прогнозирования в момент t = Т + h определяются соотношениямиXˆ T (1) 0 (1 1 ) X T 1 X T 1 1 T ,Xˆ T (2) 0 (1 1 ) Xˆ T (1) 1 X T ,(6.53)Xˆ T (h) 0 (1 1 ) Xˆ T (h 1) 1 X T (h 2) для h ≥ 3.Контрольные вопросы1.
Дайте определение стохастического процесса.2. Дайте определение стационарного стохастического процесса в слабом(широком) смысле.3. Какой стохастический процесс называется нормальным?4. Какой стохастический процесс называется «белый шумом»?5. Какими параметрами характеризуется стационарный процесс?6. Дайте определение автоковариационной функции.7. Какие методы применяются для распознавания стационарности временных рядов?8. Приведите примеры параметрических тестов проверки временных рядов на стационарность?9.
Приведите примеры непараметрических тестов проверки временныхрядов на стационарность?10. Охарактеризуйте процессы AR.11. В каких случаях процессы AR являются стационарными?12. Охарактеризуйте процессы MA.13. Охарактеризуйте процессы ARMA.14.
Опишите модель ARMA(3,2).15. Как используется автокорреляционная функция для идентификациимодели стационарного стохастического процесса?16. Как используется частная автокорреляционная функция для идентификации модели стационарного стохастического процесса?17. Как осуществляется прогнозирование ARMA-процессов?18. Что может служить признаком нестационарности временного ряда?19. Для чего применяются Тесты Дики-Фуллера?20. Охарактеризуйте процессы ARIMA.21.
Как осуществляется прогнозирование ARMA-процессов?1087. Динамические эконометрические модели7.1. Общая характеристика динамических моделейПри изучении поведения экономических процессов на достаточно длительном промежутке времени есть все основания предполагать о наличии определенных взаимосвязей между их последовательными состояниями. Т. е. состояние экономического явления в данный момент или период времени определяется, в том числе, и его состояниями, а также состояниями окружающей среды в предшествующие моменты или периоды времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
