Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 22
Текст из файла (страница 22)
до последнего элемента второй совокупности.Величину u* можно рассчитать через число сумму рангов элементов первой или второй совокупности R1 и R2, определяемых по общей совокупности:u* R1 n1 (n1 1),2(6.16)97u* n1 n 2 n 2 (n 2 1) R2 .2(6.17)Величина zz12,n1 n 2 (n1 n 2 1)12u * n1 n 2 (6.18)имеет стандартизированное нормальное распределение. В формуле (6.18) поправка 1/2 прибавляется, если z<0, и отнимается, если z>0. Гипотеза о стационарности процесса отвергается при уровне значимости α, если |z | > t1–α/2, гдеt1–α/2 – квантиль стандартизированного нормального распределения порядка 1–α/2.Тест Сиджела-Тьюки применяется для тестирования постоянства дисперсии временного ряда и основан на сопоставлении рангов элементов двух совокупностей из рассматриваемого интервала. Согласно тесту Сиджела-Тьюки исходный временной ряд y1 , y 2 ,..., y n центрируется относительно среднего значения ряда y (т.
е. определяются значения ~y t y t y ) и разделяется на две части (желательно равные) y11 , y 12 ,..., y 1n1 и y12 , y 22 ,..., y n22 , которые затем объединяются в один ряд длиной (n = n1+ n2) в порядке возрастания.Элементы полученного ряда ранжируются по следующему правилу. Ранг 1приписывается наименьшему отрицательному значению. Ранг 2 приписываетсянаибольшему положительному значению. Ранг 3 приписывается наименьшемузначению из еще неранжированных (значению, следующему за наименьшим).Ранг 4 приписывается наибольшему значению из еще неранжированных (значению, следующему за наибольшим), и т.
д.Величина zzn1 (n1 n 2 1) 122n1 n 2 (n1 n 2 1)12R1 (6.19)имеет стандартизированное нормальное распределение. В формуле (6.19) поправка 1/2 прибавляется, если z<0, и отнимается, если z>0. Гипотеза о стационарности процесса отвергается при уровне значимости α, если |z | > t1–α/2, гдеt1–α/2 – квантиль стандартизированного нормального распределения порядка 1-α/2.6.2. Линейные модели стационарных временных рядов.Процессы ARMA6.2.1. Модели авторегрессии (AR)Авторегрессионным процессом порядка р (обозначается AR(p)) называетсястохастический процесс Xt, определяемый соотношениемXt = α0 + α1Xt-1+ α2Xt-2 + …+ αpXt-p + εt,(6.20)98где εt – процесс типа «белый шум» с με = 0. Свободный член α 0 часто приравнивается нулю (т.
е. рассматриваются центрированные процессы, средний уровень которых равен нулю).Авторегрессионная модель временного ряда основана на предположении,что поведение какого-либо экономического явления в будущем определяетсятолько его текущим и предыдущими состояниями.AR-процесс является стационарным тогда и только тогда, когда комплексные решения (корни) его характеристического уравнения1 – α 1z – α 2z2 –…– α pzp = 0(6.21)лежат вне единичного круга, т. е.
| z | > 1 (z — комплексное число).Процессы, у которых | z | = 1, называются процессами единичного корня иявляются нестационарными.Для процесса AR(1)Xt = α0 + α1Xt-1 + εtхарактеристическое уравнение имеет вид1 – α 1z = 0.Неравенство |z| > 1 выполняется, если |α1| < 1. Следовательно, соотношение |α1| < 1 есть условие стационарности процесса AR(1).Коэффициенты αi уравнения (6.20) могут быть выражены через коэффициенты автокорреляции ri. Умножим уравнение (6.20) последовательно на Xt-k(k = 1, …, p) и применим к его правой и левой частям операцию вычисления математического ожидания.
В результате получим систему соотношенийr1 = α 1+ α 2 r1 + α 3r2 …+ α p rр-1,r2 = α 1 r1+ α 2 + α 3 r1 …+ α p rр-2,(6.22)……………………………….rp = α 1rр-1+ α 2 rр-2 + α 3rр-3…+ α p,называемых уравнениями Юла-Уокера.В частности, для p = 1 имеет место соотношение α1= r1.6.2.2. Модели скользящего среднего (MA)В моделях скользящего среднего порядка среднее текущее значение стационарного стохастического процесса представляется в виде линейной комбинации текущего и прошедших значений ошибки εt, εt-1, …, εt-p, обладающейсвойствами «белого шума».Процессом скользящего среднего порядка q (обозначается МА(q)) называется стохастический процесс Xt, определяемый соотношениемXt = εt – β1εt-1 – β2εt-2 –…– βqεt-q,где εt – процесс типа «белый шум» с με = 0, σ2ε = σ2.Процесс MA(q) обладает следующими свойствами:(6.23)99E[ X t ] 0;D[ X t ] 2q i2 ;i 0 q;0,(6.24) q t ,t 2 0,1,..., q. i i , i 0Согласно (6.24) среднее значение, дисперсия и ковариация не зависят отвремени, поэтому процесс MA стационарен в широком смысле.6.2.3.
Модели авторегрессии-скользящего среднего (ARMA)Комбинация процессов авторегрессии и скользящего среднего порядков ри q соответственно называется авторегрессионным процессом скользящегосреднего (ARMA(p,q))Xt = α0 + α1Xt-1+ α2Xt-2 +…+ αpXt-p + εt – β1εt-1– β2εt-2 –…– β qεt-q, (6.25)При очень общих условиях стационарный ARMA-процесс может бытьпредставлен как бесконечный AR-процесс или как бесконечный MA-процесс:Xt = α0 + εt – β1εt-1– β2εt-2 –…Использование ARMA-процессов позволяет строить более компактныемодели реальных временных рядов по сравнению со схожими по поведениюAR- или MA-процессами.6.3.
Автокорреляционные функции6.3.1. Автокорреляционная функцияАвтокорреляционная функция (ACF) процесса Xt, определяющая зависимость коэффициентов автокорреляции ρτ от величины лага τ, определяется спомощью соотношения (см. (6.3))1 τ ( ) τ E[( X t )( X t )] .(6.26)0 0График ρτ называется коррелограммой.Для идентификации модели стационарного временного ряда, т.
е. для определения типа и порядка процесса могут быть использованы следующие свойства автокорреляционной функции:а) Для процесса AR(p) коррелограмма представляет собой смесь экспоненциальной кривой и синусоиды.б) Для процесса MA(q) только первые q автокорреляционных коэффициентов значимо отличны от нуля.В качестве примера рассмотрим автокорреляционные функции процессовAR(1) и MA(1).Для процесса AR(1) без свободного члена и с α1 <1Xt = α1Xt-1 + εt(6.27)100автокорреляционная функция определяется соотношениями ρ1 = α1, и ρk= α1k(рис.
6.1, а, б).Для процесса MA(1)Xt = εt – β1 ·εt-1(6.28)автокорреляционная функция определяется соотношениями 1 1, ρ2= 0,(1 12 )ρ3 = 0, … (рис. 6.2, а, б).а)10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1б)Лаг k10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1Лаг kРис. 6.1 Кореллограмма процесса AR(1)а) α1 > 0; б) α1 < 0а)10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1б)Лаг k10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1Ла г kРис.
6.2 Кореллограмма процесса MA(1)а) β1 < 0; б) β 1 > 06.3.2. Частная автокорреляционная функцияВажную информацию о структуре модели стационарного стохастическогопроцесса можно получить, используя частную автокорреляционную функцию.Рассмотрим аппроксимацию AR(k) стационарного стохастического процесса XtX(k)t = α0k + α1kX(k)t-1+ α2kX(k)t-2 +…+ αkkX(k)t-k.(6.29)Коэффициент αkk называется коэффициентом частной автокорреляции Xtдля величины лага k.101с различными k называется частной автокореляционнойРяд ррагt(k) = αkkфункцией (PACF).Для процесса AR(p) значения частной автокореляционной функции ρрагt(τ)равны нулю для величины лага τ>р.а)б)10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1Лаг k10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1Лаг kРис.
6.3 Частная автокорреляционная функция процесса AR(1)а) α1 > 0; б) α1 < 0а)б)10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1Лаг k10,80,60,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1Лаг kРис. 6.4 Частная автокорреляционная функция процесса MA(1)а) β1 < 0; б) β 1 > 0Для процессов MA(q) значения частной автокореляционной функции экспоненциально убывают с величиной лага q.В качестве значения частной автокореляционной функции ρрагt(k) при заданной величине лага k может быть использована оценка коэффициента άkk модели AR(k) (6.29), полученная с помощью МНК-оценивания.6.4. Прогнозирование ARMA-процессов6.4.1. AR-процессыРассмотрим стационарную AR-модельYt = α0 + α 1Yt–1 + α 2Yt–2+…+ α pYt–p + εt.(6.30)102Предположим, что прогноз ŶТ(h) строится на h шагов вперед, начиная смомента времени Т.
Запишем уравнение (6.30) для момента времени T+hYT+h = α0 + α 1YT+h–1 + α 2YT+h–2 +…+ α pYT+h–p + εT+h.(6.31)При расчете прогнозного значения ŶТ(h) в правую часть (6.31) вместо YT+i(i > 0) следует подставлять вычисленное ранее прогнозное значение ŶТ(i). Тогда точечный прогноз будет определяться соотношениями:ŶТ(1) = α 0 + α 1YТ + α 2YТ–1 +…+ α pYТ–p+1,ŶТ(2) = α 0 + α 1ŶТ(1) + α 2YТ +…+ α pYТ–p+2,……(6.32)ŶТ(p) = α 0 + α 1ŶТ(p–1) + α 2 ŶТ(p–2) +…+ α p–1 ŶТ(1) + α pYТ ,ŶТ(h) = α 0 + α 1ŶТ(h–1) + α 2 ŶТ(h–2) +…+ α p ŶТ(h–p+1) при h > p.Доказано, что в бесконечном периоде математическое ожидание прогнозного значения ŶТ асимптотически сходится к математическому ожиданию процесса Yt, т. е. условное математическое ожидание ошибки прогноза равно нулюи оценка ŶТ(h) является несмещенной, а дисперсия прогноза сходится к дисперсии процесса Yt, т.
е. к Y2 .Для модели AR(2)Yt = α0 + α1Yt-1 + α2Yt-2+ εtформулы прогнозирования имеют вид:ŶТ(1) = α0 + α1YТ + α2Yt–1,ŶТ(2) = α0 + α1 ŶТ ŶТ(1) + α2Yt,ŶТ(h) = α0 + α1ŶТ(h–1) + α2 ŶТ(h–2)(6.33)при h ≥ 3.6.4.2. MA-процессыРассмотрим теперь стационарную MA-модельYt = εt – β1εt–1– β2εt–2 –…– βqεt–q.(6.34)С учетом того, что величина εt для прогнозируемых моментов времени неизвестна точечный прогноз согласно модели (6.34) будет определяться соотношениями:ŶТ(1) = – β 1·εТ – β 2·εТ–1 – … – β q·εТ–q+1,ŶТ(2) = – β 2·εТ – … – β q·εТ-q+2,……ŶТ(q) =ŶТ(h) = 0(6.35)– β q·εТ,при h > q.Дисперсия ошибки прогноза определяется соотношениямиvar(eT(1)) = σ2ε;103σ2εβ 21);var(eT(2)) =(1+……var(eT(q-1)) = σ2ε(1+ β 21+…+ β 2q-1);var(eT(q)) = σ2ε(1+ β 21+…+ β 2q) = σ2YДля процесса MA(2)Yt = εt – β1εt–1 – β2εt–2формулы для прогнозирования имеют вид(6.36)для h > q.ŶТ(1) = – β 1·εТ – β 2·εТ–1ŶТ(2) = – β 2·εТŶТ(h) = 0 при h ≥ 3,а дисперсии ошибки прогноза:var(eT(1)) = σ2ε; var(eT(2)) = σ2ε(1+ β 21);var(eT(h))= σ2ε(1+ β 21+ β 22) =σ2Yдля h ≥ 3.(6.37)6.4.3.
ARMA-процессыФормулы прогнозирования для процессов ARMA(p,q) получаются объединением формул (6.32) и (6.35).Для модели ARMA (1,1)Yt = α0 + α1Yt-1 – β1 ·εt-1формулы для прогнозирования имеют вид:ŶТ(+1) = α0 + α1YТ - β1 ·εTŶТ(+h) = α0 + α1ŶТ(+h-1)при h ≥ 2.(6.38)При прогнозировании на практике реальные параметры ARMA-процесса k и j заменяются их оценками ˆ k è ˆ j , а случайные воздействия εt заменяются на остатки ˆt , полученные при оценивании модели, или на ошибки eT+h-–iпредыдущих прогнозов.Отметим, что ошибка прогноза данных ARMA-моделей ограничена набесконечности дисперсией процесса σх.6.5. Нестационарные интегрируемые процессы6.5.1. Нестационарные стохастические процессы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
