Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

В результате получается временной рядy′t, меньше подверженный колебаниям. Если индивидуальный разброс значенийвременного ряда около своего среднего значения a характеризуется дисперсиейσ2, то средняя из m членов ряда ( y1  y 2  ...  y m ) / m будет иметь в m разменьшую дисперсию (σ2/m).Для вычисления сглаженных значений y′t по методу простой скользящейсредней используются следующие формулы:1) Нечетный интервал сглаживания g = 2p+1 (интервал сглаживания –количество исходных уровней ряда (yt), используемых для сглаживания):75t p yiy 't i t  py t  p  y t  p 1  ...  y t  p 1  y t  p,(5.9)2p 12p 1где у t – фактическое значение уровня исходного ряда в момент t; y′t – значениескользящей средней в момент t; 2р+1- длина интервала сглаживания.Формула (5.9) при интервалах сглаживания g = 3 и g = 5 принимает видy  y t  y t 1y  y t 1  y t  y t 1  y t  2y ' t  t 1; y't  t 2.352) Четный интервал сглаживания g = 2p:11yt  p  yt  p 1  ...  yt 1  yt  yt 1  ...

 yt  p 1  yt  p2y 't  22p(5.10)t  p 111yt  p   yi  yt  p22i t  p 1.2pФормула (5.10) при интервалах сглаживания g = 2 и g = 4 принимает вид1111y t 1  y t  y t 1y t  2  y t 1  y t  y t 1  y t  222; y 't  2.y 't  224При использовании скользящей средней с длиной активного участкаg = 2p+1 первые и последние р уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т. к.

для исследователя последние «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.Для восстановления потерянных значений временного ряда можно использовать следующий прием:а) Вычисляется средний прирост ∆у на последнем активном участке ( y n  g ,..., y n )y y n  y n gg 1,где g – длина активного участка.б) Определяются значения последних р = (g–1)/2 уровней сглаженноговременного ряда с помощью последовательного прибавления среднего абсолютного прироста ∆у к последнему сглаженному значению y′n–py ' n  p 1  y ' n  p   y , y ' n  p  2  y ' n  p 1   y , ..., y ' n  y ' n 1   y .Аналогичная процедура применяется для восстановления первых р уровней временного ряда.Отметим, что важным свойством процедуры сглаживания является полноеустранение периодических колебаний из временного ряда, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Это обстоятельство используется при выделении периодической составляющей временного ряда (п. 5.)765.3.3. Метод аналитического выравниванияАналитическим выравниванием временного ряда называют нахождениеаналитической функции ŷ = f(t), характеризующей основную тенденцию изменения уровней ряда с течением времени. Сама функция f(t) носит название кривой роста.При аналитическим выравнивании (нахождении аналитической функцииŷ = f(t)) исходят из предположения, что аддитивная модель временного рядаможет быть представлена как сумма двух компонентy(t) = f(t) + εt,(5.11)где εt – случайная компонента с нулевой средней и постоянной дисперсиейвыражает ошибку модели из-за действия случайных факторов.Чаще всего в качестве кривой роста применяются следующие функции: линейная yt  a0  a1t ;(5.12) парабола второго и более высоких порядковy t  a 0  a1t 1  a 2 t 2  ...

 a k t k ;(5.13) гиперболическая yt  a0  a1 / t ;(5.14)a a t экспонента y t  e 0 1 ;(5.15) потенциальная y  a  a t ;(5.16)t01 модифицированная экспонента y t  K  a 0  a1t ;a степенная y t  a 0  t 1 ;K логистическая кривая y t a1t ;1  a0 e(5.17)(5.18)(5.19)t кривая Гомперца y t  K  a 0 a1 .(5.20)Построение таких функций ничем не отличается от построения уравненийпарной регрессии (линейной или нелинейной) с учетом того, что в качестве зависимой переменной используются фактические уровни временного ряда yt, а вкачестве независимой переменной моменты времени t = 1,2, ..., n.

Для построения кривой роста необходимо выбрать вид аналитической зависимости и затемоценить значения ее параметров.Для определения вида тенденции (аналитической зависимости) применяются такие методы, как– качественный анализ изучаемого процесса;– построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда отвремени;– расчет и анализ показателей динамики временного ряда (абсолютныеприросты, темпы роста и др.);– анализ автокорреляционной функции исходного и преобразованноговременного ряда;77– метод перебора, при котором строятся кривые роста различного вида споследующим выбором наилучшей на основании значения скорректированногокоэффициента детерминации R 2 (3.28).5.3.4.

Выбор вида тенденцииВыбор вида тенденции на основе качественного анализа. Социальноэкономические процессы в зависимости от характера их протекания можно разделить на три класса (рис. 5.2):I) Процессы с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста (рис.

5.2, а). Эти условия справедливы для поведения многих экономическихпоказателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства. В этом случае для моделирования тенденции могут использоваться: линейная yt  a0  a1t , параболическая y t  a 0  a1t 1  a 2 t 2  ...  a k t k ,a a taэкспоненциальная y t  e 0 1 , степенная y t  a 0  t 1 функции.yyyКК(a0)ttа) I классб) II классtв) III классРис.

5.2. Схемы протекания процессовII) Процессы, которые имеют предел роста (падения) в исследуемом периоде, так называемые процессы с «насыщением» (рис. 5.2, б). Развитие процессапроисходит под влиянием некоторых ограничивающих факторов, величина воздействия которых растет вместе с ростом достигнутого уровня. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарахи услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т. д. Примерами показателей, для которых могут бытьуказаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенныхпродуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т. п.В этом случае для моделирования тенденции используются гиперболическаяaфункция y t  a 0  1 либо модифицированная экспонента y t  K  a 0  a1t с паtраметром a1, удовлетворяющим условию 0 < a1 < 1.78В случае гиперболы параметр a0 равен пределу роста, к которому значениеуровня процесса приближается (при росте t) снизу в случае a1 < 0, либо сверхупри a1 > 0 (рис.

5.2 б).В случае модифицированной экспоненты параметр K равен пределу роста,к которому значение уровня процесса приближается (при росте t) снизу в случае a0 < 0, либо сверху при a0 > 0 (рис. 5.2, б).При решении экономических задач часто можно определить значение предела роста исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1 и т. п.). Иногда значение предела роста задается экспертным путем.III) Так называемые S-образные процессы (рис. 5.2, в), представляющиекак бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависитот уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, а другой – с замедлением. С такими процессами часто сталкиваются в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научнотехнического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.К S-образным процессам можно отнести процесс развитие новой отрасли(нового производства).

Вначале производство развивается очень медленновследствие того, что технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товареще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем,благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу кмассовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется, и, наконец, почти прекращается.

Наступаетстабилизация производства на определенном уровне. Следует отметить, чтовыявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью и, причем, только для достаточно коротких периодов, так как выявленная тенденция развития производства может быть нарушена вследствиевнешних факторов, например, технического переворота в данной отрасли илисвязанных с нею.Для моделирования тенденции S-образных процессов следует использоKвать либо логистическую функцию y t a1t (с параметром a1 < 1), либо1  a0 etкривую Гомперца y t  K  a 0 a1 с параметрами, удовлетворяющими условиям0 < a0, a1 < 1.

Предел роста в обоих случаях равен параметру K.Выбор вида тенденции на основе анализа показателей динамики временного ряда. Исследуя последовательные разности уровней ряда yt первого,второго и следующих порядков∆yt = yt – yt-1– последовательные разности первого порядка,2∆ yt = ∆yt – ∆yt-1 – последовательные разности второго порядка и т. д.,можно сделать вывод о наличии тенденции, описываемой полиномиальнойфункцией от времени t.79Если исходный временной ряд содержит тенденцию, а временной ряд последовательных разностей первого порядка не содержит тенденцию, то можносделать вывод, что тенденция линейно зависит от времени yt  a0  a1t . Коэффициент a1 в данном случае численно равен среднему абсолютному приростууровня явления за единицу измерения временного параметра t (за сутки, неделю, месяц, год и т.

д.).Если исходный временной ряд и временной ряд последовательных разностейпервого порядка содержат тенденцию, а временной ряд последовательных разностей второго порядка не содержит тенденцию, то можно сделать вывод, что тенденция задается полиномом второго порядка от времени y t  a 0  a1t  a 2 t 2 . Относительно тенденции в виде полинома от t более высокой степени вывод делается аналогично.Исследуя отношения последовательных уровней ряда (цепные коэффициенты роста) kt = yt/yt-1, можно сделать вывод о наличии тенденции, задаваемойэкспоненциальной функцией от времени t.Если исходный временной ряд содержит тенденцию, а временной ряд коэффициентов роста не содержит тенденцию, то можно сделать вывод, что тенденция экспоненциально зависит от времени.

Иными словами, тенденция имеетвид экспоненциальной функции y t  a 0  a1t . Величина a1 в данном случае численно равна среднему коэффициенту роста уровня явления за единицу измерения временного параметра t (за сутки, неделю, месяц, год и т. д.).Аналогичный результат можно получить, анализируя первые последовательные разности временного ряда, составленного из логарифмов от исходныхуровней.Если наблюдается линейная зависимость между логарифмами уровней ряда ln y t и соответствующих промежутков времени ln t , то рекомендуется исaпользовать степенную функцию y t  a 0  t 1 .5.3.5. Оценка адекватности и точности модели тенденцииПосле построения модели тенденции осуществляется проверка ее качествапо характеристикам адекватности (соответствия данным наблюдения) и точности.Проверка адекватности модели основывается на анализе ряда остатковet  y t  yˆ t .(i = 1, 2, …, n)(5.21)Модель считается адекватной, если остатки: являются случайными; распределены по нормальному закону; имеют равное нулю среднее значение e = 0; независимы между собой.1) Проверка случайности остатков заключается в установлении факта отсутствия или наличия тенденции остатков.

Для этой цели может использоваться критерий серий. Предварительно определяется медиана em упорядоченногоряда остатков. Каждому элементу ряда остатков et ставится в соответствие знак80«+», если et > em, и знак «–», если et < em. Непрерывно идущую последовательность одинаковых знаков принято называть серией. Определяется максимальная длина серии Lmax и число серий V. Остатки считаются случайными на уровне значимости 0,05, если одновременно выполняются два условияLmax  3,3(lg n  1) ,5.22)1V   (n  1  1,96 n  1)  .(5.23)22) Нормальность распределения остатков считается установленной (приближенно) если одновременно выполняются следующие неравенства:6 1,5 Ý ,(5.24)n 1где А – выборочная характеристика асимметрии, Э – выборочная характеристика эксцесса, δA, δэ – среднеквадратические ошибки выборочных характеристикасимметрии и эксцесса, определяемые соотношениями1 n 31 n 3 et etn t 1n t 1(5.25); 3;AÝ1 n 21 n 2(  et )(  et )n t 1n t 1A  1,5 A ;Ý24n(n  2)(n  3)6(n  2)(5.26),; Ý (n  1)(n  3)(n  1) 2 (n  3)(n  5)Если же выполняется хотя бы одно из неравенств6A  2 A ;Э 2 Э ,(5.27)n 1то гипотеза о нормальном характере распределения остатков отвергается.

Характеристики

Список файлов лекций