Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 19
Текст из файла (страница 19)
5.3);2) оценка параметров выбранных кривых;3) оценка точности и проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;4) расчет точечного (по формуле (5.38)) и интервального прогнозов.Чтобы по имеющемуся временному ряду y1 , y 2 ,..., y n осуществить прогнозна L шагов вперед, необходимо в построенную модель тенденции (кривую роста) ŷ = f(t) подставить значение аргумента, соответствующее интервалу прогнозаŷn(+L) = f(tn+L).(5.38)Полученное значение ŷn(+L) называется точечным прогнозом.Следующим этапом является определение доверительного интервала прогноза, т.
е. пределов, в которых лежит точное значение уровня явления с заданной вероятностью (степенью уверенности). Эта процедура называется вычисле-85нием интервального прогноза. Интервальный прогноз задает границы возможного изменения прогнозируемого показателя.Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученнымпутем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;2) погрешностью оценивания параметров кривых;3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений оттренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый моментвремени.Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза.Доверительный интервал для линейной тенденции по аналогии с парнойрегрессией вычисляется по формулеyˆ n ( L ) t1 ,n 2 s yˆ1 (t n L t ) 2,1 nn2 (t t )(5.39)t 1где n – длина временного ряда; L – период упреждения; ŷn(+L) – точечный прогноз на момент n+L; t1 ,n 2 – значение t-статистики Стьюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы n–2; s yˆ – средняя квадратическая ошибкаоценки прогнозируемого показателя1 ns yˆ ( yˆ t yt ) 2 ;n m t 1(5.40)m – число параметров модели кривой роста (для линейной модели m = 2).Для линейной модели формулу (5.39) можно записать следующим образом1 3(n 2 L 1) 2yˆ n ( L ) t1 ,n 2 s yˆ 1 .(5.41)nn(n 1)Доверительный интервал для кривой роста в виде полинома второго илитретьего порядка вычисляется по формулеyˆ n ( L ) t1 ,n m s yˆt n2 L11 nn2tnnt 1t 1 t 4 2t n2 L t 2 nt n4 L2,(5.42)n t 4 t 2 t 1 t 1 t 1где m – число параметров модели кривой роста.
Для полинома второго порядкаm = 3, для полинома третьего порядка m = 4.Ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периодаупреждения, среднего квадратического отклонения временного ряда от трендаи степени полинома (рис. 5.4).nn86ytyt=a0 + a1· ttα·Stα·StПериод наблюдения tРис. 5.4. Доверительные интервалы прогноза для линейного трендаЧем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sy, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется каквзвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения.Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом.
Отличие состоит в том,что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении среднейквадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.5.6. Адаптивные модели прогнозирования5.6.1. Понятие адаптивных методов прогнозированияПри анализе временных рядов часто более важной бывает текущая тенденция (тенденция в данный момент времени, определяемая несколькими последними наблюдениями), а не тенденция, сложившая на длительном интервалевремени. Соответственно, наиболее ценной является информация последнегопериода.
Исходя из этого в последнее время важное значение получили, так называемые, адаптивные методы прогнозирования.Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строитьсамокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путемучета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различнойинформационной ценности уровней ряда.Особенностями адаптивных методов прогнозирования является:– способность учитывать информационную ценность уровней временногоряда (с помощью системы весов, придаваемых этим уровням);– использование рекуррентных процедур уточнения параметров модели помере поступления новых данных наблюдений и тем самым адаптация моделиприменительно к новым условиям развития явления.Скорость (быстроту) реакции модели на изменения в динамике процессахарактеризует, так называемый, параметр адаптации.
Параметр адаптации должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображе-87ние тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть определено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе метода проб.В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптацииобычно принимают минимум среднего квадрата ошибок прогнозирования.Благодаря указанным свойствам адаптивные методы особенно удачно используются при краткосрочном прогнозировании (при прогнозировании наодин или несколько шагов вперед).Адаптивные методы, как правило, основаны на использовании процедурыэкспоненциального сглаживания.5.6.2. Экспоненциальное сглаживаниеДля экспоненциального сглаживания временного ряда уt используется рекуррентная формулаS t y t S t 1 ,(5.43)где St – значение экспоненциальной средней в момент t; уt – значение временного ряда в момент t; α – параметр сглаживания, α = const, 0< α < l; β = 1 – α .Совокупность значений St образует сглаженный временной ряд.Соотношение (5.43) позволяет выразить экспоненциальную среднюю St через предшествующие значения уровней временного ряда уt.
При n → ∞nS t i y t i .(5.44)i 0Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членовряда. Причем веса отдельных уровней ряда i убывают по мере их удаления впрошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений).Например, при α = 0,4 вес текущего наблюдения уt будет равен α = 0,4, веспредыдущего уровня уt–1 будет соответствовать α ·β = 0,4·0,6 = 0,24; для уровняуt–2 вес составит α ·β2 = 0,144; для yt–3 – α ·β3 = 0,0864 и т. д.Доказано, что математические ожидания исходного ряда и экспоненциальной средней совпадают.
В то же время дисперсия экспоненциальной среднейD(St) меньше дисперсии временного ряда σ2. Чем меньше α, тем это отличиебольше.Таким образом, с одной стороны, желательно увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением α (согласно (5.43)), сдругой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину α нужноуменьшить. Выбор параметра сглаживания α с учетом этих двух противоречивых требований составляет задачу оптимизации модели.В качестве начального значения S0 используется среднее арифметическоезначение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Из выражения (5.44) следует, что вес, приписываемый этому значению,уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первогоуровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора S0погашается.885.6.3. Использование экспоненциальной среднейдля краткосрочного прогнозированияПри использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид(5.45)yt = 1,t + et,где 1,t – варьирующий во времени средний уровень ряда, et – случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ2.Прогнозная модель определяется соотношениемyˆ τ (t ) ˆ1,t ,(5.46)где ŷτ(t) – прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени (шагов) вперед;̂ 1,t – оценка 1,t .Величина параметра модели ̂ 1,t принимается равной экспоненциальнойсредней St в момент t:aˆ1,t S t ;(5.47)aˆ1,0 S 0 .Прогнозирование предполагает следующую последовательность действий:– на основании исходного временного ряда y1, y2, …, yn вычисление поформуле (5.43) сглаженных уровней ряда S1, S2, …, Sn;– вычисление ̂ 1,n = Sn;– осуществление прогноза на τ шагов вперед yˆ τ (n) ˆ1,n .Перегруппировав члены выражение (5.43) можно записать по-другому:S t S t 1 ( y t S t 1 ) .Если величину ( y t S t 1 ) рассматривать как погрешность прогноза, то новый прогноз St получается как результат корректировки предыдущего прогнозас учетом его ошибки.
В этом и состоит адаптация модели.Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления выполняются итеративно, причем вся прошлаяинформация заключена в единственном значении St–1.5.6.4. Адаптивные полиномиальные моделиЕсли для прогнозирования временного ряда, имеющего ярко выраженнуюлинейную тенденцию, использовать подход (5.46) опирающийся на модель экспоненциального сглаживания, то модель, как правило, будет давать смещенныепрогнозы, т. е. иметь систематическую ошибку. Для таких временных рядов целесообразно использовать модели линейного роста, в которых процедуре экспоненциального сглаживания подвергаются оценки коэффициентов адаптивноймодели.В этих моделях прогноз может быть получен с помощью следующего выражения:yˆ τ (t ) ˆ1,t ˆ 2,t ,(5.48)89где ̂ 1,t и ̂ 2,t – текущие оценки коэффициентов; τ – время упреждения прогноза.Наиболее часто применяются три модели данного типа, отличающиеся рекуррентными выражениями для пересчета текущих оценок коэффициентов (параметрыадаптации или параметры экспоненциального сглаживания 0 < α1, α2, α3, β < 1):– двухпараметрическая модель Ч.
Хольтаˆ 1,t 1 y t (1 1 )(ˆ 1,t 1 ˆ 2,t 1 ),(5.49)ˆ 2,t 2 (ˆ 1,t ˆ 1,t 1 ) (1 2 )ˆ 2,t 1 ;– однопараметрическая модель Р. Браунаˆ 1,t ˆ 1,t 1 ˆ 2,t 1 (1 2 )et ,ˆ 2,t ˆ 2,t 1 (1 2 )et ;– трехпараметрическая модель Дж. Бокса и Г. Дженкинсаˆ 1,t 1 y t (1 1 )(ˆ 1,t 1 ˆ 2,t 1 ) 3 (et et 1 ),(5.50)(5.51)ˆ 2,t 2 (ˆ 1,t ˆ 1,t 1 ) (1 2 )ˆ 2,t 1 .Начальные значения коэффициентов ̂ 1,t и ̂ 2,t принимаются равными ко-эффициентам уравнения регрессии, построенного по начальным уровням ряда.В эконометрических пакетах чаще представлена модель Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
