Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 15
Текст из файла (страница 15)
b2 n , A a 21 a 22 ... a 2 m ,bn1 bn 2 ... 1a n1 an 2 ... a nm y1 x1 1 Y y 2 , X x2 , 2 y n yxm n (4.12)Система (4.10) называется системой взаимозависимых, одновременныхуравнений, а также структурной формой модели, так как она показывает взаимное влияние между всеми переменными модели.Частными случаями системы (4.10) являются система независимых уравнений, в которой каждая зависимая переменная yi является функцией толькопредопределенных переменных хiy1 a11 x1 ... a1m xm 1 ;y 2 a 21 x1 ...
a 2 m x m 2 ;.........................................................(4.13)y n a n1 x1 ... a nm xm ;и система рекурсивных уравненийy1 a11 x1 ... a1m x m 1 ;y 2 b21 y1 a 21 x1 ... a 2 m x m 2 ;y 3 b31 y1 b32 y 2 a 31 x1 ... a 3m x m 3 ;(4.14)......................................................................y n bn1 y1 bn 2 y 2 ...
bnn 1 y n 1 a n1 x1 ... a nm x m n ,когда каждая зависимая переменная yi является функцией только предопределенных переменных хi и зависимых переменных yi, определенных в предыдущих уравнениях системы.В системах независимых и рекурсивных уравнений отсутствует взаимноевлияние зависимых переменных, предпосылки регрессионного анализа не нарушаются и поэтому для нахождения параметров аij и bij, называемых структурными коэффициентами, можно применять обычный МНК.В моделях 4.10, 4.13, 4.14 отсутствуют свободные члены в каждом уравнении системы, так как предполагается, что значения переменных предварительно центрированы (выражены в отклонениях от среднего уровня).Следует отметить, что структурная форма модели может включать не толькоуравнения, содержащие параметры (константы, подлежащие определению) и называемые поведенческими уравнениями, но и тождества, т.
е. уравнения, не со-64держащие параметров и определяющие фиксированные отношения между переменными, например, соотношения (4.4) – (4.9).Наличие взаимозависимости между эндогенными переменными в системеодновременных уравнений (4.10) приводит к нарушению предпосылки о независимости объясняющих переменных и случайных членов, в результате чегообычный метод наименьших квадратов будет давать несостоятельные и смещенные оценки параметров.Если с помощью преобразований исключить зависимые переменные изправых частей уравнений (4.10), то полученная система уравнений называетсяприведенной формой модели (ПФМ)yˆ1 11 x1 12 x 2 ... 1m x m ;yˆ 2 21 x1 22 x 2 ...
2 m x m ;(4.15).........................................................yˆ n n1 x1 n 2 x 2 ... nm x m ,параметры которой ij являются алгебраическими функциями от структурныхпараметров и называются приведенными коэффициентами.Например, для конъюнктурной модели, определяемой соотношениями:Ct a1 b11 Yt b12 Ct 1 u1(функция потребления);I t a2 b21 rt b22 I t 1 u 2(функция инвестиций);rt a3 b31 Yt b32 M t u3(функция денежного рынка);Yt Ct I t Gt(4.16)( тождество дохода),где С – расходы на потребление, Y – ВВП, I – инвестиции, r – процентная ставка, М – денежная масса, G – государственные расходы, t и t–1 обозначают текущий и предыдущий периоды, u1, u2, u3 – случайные ошибки, приведеннаяформа модели будет иметь следующий вид:Ct 11 M t 12 Gt 13 Ct 1 14 I t 1 1I t 21 M t 22 Gt 23 Ct 1 24 I t 1 2rt 31 M t 32 Gt 33 Ct 1 34 I t 1 3(4.17)Yt 41 M t 42 Gt 43 Ct 1 44 I t 1 4По своей структуре приведенная форма модели представляет собой систему независимых уравнений, поэтому ее параметры ij можно оценивать с помощью обычного метода наименьших квадратов.
Полученные численные значения параметров ij позволяют вычислять модельные значения эндогенных переменных через предопределенные переменные. На этом процесс построениямодели не заканчивается, так как для исследователя наибольший интерес представляют значения именно структурных коэффициентов аij и bij, характеризующих внутренние взаимосвязи в системе и допускающих экономическую интерпретацию.654.2. Оценка параметров структурной формы моделиПолучение оценок параметров приведенной формы модели, как уже отмечалось, затруднений не представляет. Следующим этапом должно быть определение оценок параметров структурной формы модели по оценкам приведенной формы модели.
Здесь возникает проблема идентифицируемости, заключающаяся в том, что не всегда возможно по приведенным коэффициентам модели однозначно определить ее структурные коэффициенты.Это связано с тем, что в общем случае структурная и приведенная формымодели содержат разное число параметров п·(п–1) + n·т и n·т.
Чтобы уравнятьчисло параметров, необходимо предположить равенство нулю некоторыхструктурных коэффициентов модели либо наличие между ними определенныхсоотношений, например, а11 + b12 = 0.С позиции идентифицируемости можно выделить три вида структурныхмоделей:– идентифицируемые системы, в которых число параметров структурнойи приведенной форм модели совпадает, и структурные коэффициенты моделиоднозначно оцениваются через параметры приведенной формы модели;– неидентифицируемые системы, в которых число структурных параметров превышает число приведенных, и структурные коэффициенты не могутбыть получены из коэффициентов приведенной формы модели;– сверхидентифицируемые системы с числом приведенных параметровпревышающих число структурных.
В этом случае возможно неоднозначное определение значений структурных коэффициентов при полученных значенияхприведенных коэффициентах.При исследовании структурной модели на идентифицируемость необходимо проверять каждое уравнение. Модель считается идентифицируемой, есликаждое уравнение системы идентифицируемо, и неидентифицируемой, если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо. Сверхидентифицируемая модель содержит только идентифицируемые и сверхидентифицируемыеуравнения.Необходимое условие идентифицируемости. Обозначим через H числоэндогенных переменных в уравнении, а через D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Необходимое условие идентифицируемости формулируется следующим образом:– уравнение идентифицируемо, если D+1 = H;– уравнение неидентифицируемо, если D+1 < H;– уравнение сверхидентифицируемо, если D+1 > Н.Иными словами, для того, чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных модели, отсутствующих вданном уравнении, было на единицу меньше, чем число эндогенных переменных, входящих в данное уравнение.Например, для первого уравнения системы (4.16) выполняются соотношения Н = 2, D = 3. Следовательно, D+1 > Н, и первое уравнение системы (4.16)сверхидентифицируемо.66Достаточное условие идентифицируемости. Уравнение, соответствующее переменной yi, идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных модели, отсутствующих в исследуемом уравнении, но входящих в остальные уравнения системы, равен числу эндогенных переменных системы без единицыRank (B Ai ) n 1 ,где B A – блочная матрица коэффициентов, составленная из матриц B и A;B Ai – матрица, полученная из матрицы B A в результате удаленияi-строки и столбцов, соответствующих объясняющим переменным входящим вi-уравнение.Проверим достаточное условие для первого уравнения системы (4.16) .Эндогенные переменные модели: Сt, It , rt , Yt.Предопределенные переменные модели: Мt , Gt , Ct–1, It–1.Общая матрица B A коэффициентов уравнений системы (4.16), столбцыкоторой соответствуют переменным Сt, It , rt , Yt, Мt , Gt , Ct–1, It–1 имеет видB A =–1b12b11–11b21–11b22b31–1b321Первое уравнение содержит переменные Сt, Yt, Ct–1.
Запишем матрицуB A1 , полученную вычеркиванием из матрицы B A первой строки и столбцов, соответствующих переменным Сt, Yt, Ct–1B A1 =–11b21–1b22b321Ранг матрицы равен трем, т. к. 1 0 b22 Det b32 0 0 b22 b32 0 0 1 0 Следовательно, достаточное условие идентифицируемости для первогоуравнения системы (4.16) выполняется.4.3. Косвенный метод наименьших квадратовНаиболее часто для оценки параметров системы одновременных уравненийприменяются косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов (КМНК, ДМНК и ТМНК). Первый из них используется только в случаеидентифицируемых уравнений. Реже применяется универсальный, но оченьсложный в вычислительном отношении метод максимального правдоподобия.67Косвенный МНК используется в случае идентифицируемой системы уравнений и заключается в следующем:1) исходная система уравнений преобразуется в приведенную форму модели и определяются численные значения параметров ij для каждого ее уравнения в отдельности с помощью традиционного МНК;2) путем алгебраических преобразований осуществляется переход от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, что автоматическидает численные оценки структурных параметров.Например, требуется найти структурные параметры моделиy1 b12 y 2 a11 x1 1 ;y 2 b21 y1 a 22 x2 2 ,(4.18)при условии, что полученная приведенная форма модели описывается уравнениямиy1 2 x1 4 x2 ;y 2 x1 x2 .Проверим идентифицируемость уравнений.
В модели имеется две эндогенные переменные у1, у2 и две экзогенные переменные x1, x2. В первое уравнение входят две эндогенные переменные у1, у2 и одна экзогенная переменная x2.Следовательно, H = 2, D = 1 и H = D + 1, и первое уравнение – идентифицируемо. Идентифицируемость второго уравнения доказывается аналогично. Для нахождения структурных коэффициентов можно применить косвенный МНК, т. е.получить их с помощью преобразования приведенных уравнений.Для этого из 2-го уравнения приведенной формы выразим переменную x 2 x1 y 2 и подставим в 1-е уравнение приведенной формы моделиy1 2 x1 4 ( x1 y 2 )или y1 4 y 2 6 x1 .Сравнивая это уравнение с 1-м уравнением структурной формы (4.18)y1 b12 y2 a11 x1 , определим значения структурных параметровb12 4; a11 6 .Далее из первого уравнения приведенной формы выразим переменнуюx1 1y1 2 x2 и подставим во 2-е уравнение приведенной формы модели211y 2 ( y1 2 x 2 ) x 2 или y 2 y1 3 x 2 .22Сравнивая последнее уравнение с 2-м структурной формы (4.16)y2 b21 y1 a22 x2 , получим1b21 ; a 22 3 .2Таким образом, структурная форма модели определяется уравнениямиy1 4 y 2 6 x1 1(4.19)1y 2 y1 3 x2 22684.4.
Двухшаговый метод наименьших квадратовДвухшаговый МНК основан на использовании, так называемых, «инструментальных» переменных и является универсальным методом. Как уже отмечалось, в системе одновременных уравнений нарушаются предпосылки о независимости факторов (выражаемых эндогенными переменными) и ошибок уравнений. Для преодоления этой трудности можно использовать замену эндогенныхпеременных уi в правых частях уравнений модели на вспомогательные «инструментальные» переменные ŷi, которые были бы близки к исходным эндогеннымпеременным и при этом не зависели бы от ошибок уравнений.
В качестве такихпеременных предлагается использовать переменные, определяемые уравнениямиприведенной формы модели (4.15).Согласно двухшаговому МНК, численные значения структурных параметров определяются в следующей последовательности:1) Исходная система уравнений преобразуется в приведенную форму модели и определяются численные значения параметров ij для каждого ее уравнения в отдельности с помощью традиционного МНК;2) По полученным уравнениям приведенной формы находятся расчетныезначения инструментальных переменных ŷi, соответствующих эндогенным переменным уi для каждого наблюдения;3) С помощью обычного МНК определяются параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве факторов фактическиезначения предопределенных переменных и полученные расчетные значенияинструментальных переменных ŷi.Рассмотрим в качестве примера модифицированную модель Кейнса [5]C t a1 b11 Yt 1 ;I t a 2 b21 Yt b22 Yt 1 2 ;(4.20)Yt C t I t G t ,где Y – валовой национальный доход; С – личное потребление; I – инвестиции;G – государственные расходы; t и t–1 обозначают текущий и предыдущий периоды; 1 и 2 – случайные ошибки.Информация об уровнях всех показателей за двенадцать лет дана в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
