Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 13
Текст из файла (страница 13)
хЯ Ф (1р — А) 'х(0). Теперь сравнение с известным фактом х(1) = едгх(0) дает В скалярном случае, когла А сводится к скалярной величине Л, последняя формула переходит в е ге (/(р — Л) и, Уирюкнение~г~ Пусть (1р — А) ' = , где Л(р) = бег(1р — А). Тогда Л/(р) Л(р) ' Л() гг е Л(р) ~ См. Банник Уои // Я!АМ Кеч Ч 40, Х 3. Р 706 — 709. Глава 4 Устойчивость 4.1.
Основные понятия Точки х', в которых система х =- З(х, г) перестает двигаться, З'(х', х) = О, называются равновесными. Нижнее и верхнее положение равновесия маятника, например. Первое от второго, очевилно, сильно отличается. Нижнее — устойчиво, верхнее — неустойчиво. для бытового понятия устойчивости сушествует строгий математический аналог.
4.1.1. Определение. Положение равновесия системы х = у(х, 1) называется устойчивым по Ляпунову, если по любой его окрестности $' можно указать такую его окрестность И', что любое движение, начинающееся в Иг не выходит за пределы $' (рис. 4.1). Рмс. 4.1 На рис.4.2 изображены два фазовых портрета. Очевидно, равновесие слева неустойчиво (седло), справа — устойчиво (устойчивый (йокус, переходящий — при замене направления движения на обратное — в неустойчивый). На рис.4.3 изображены усгпойчивые узлы, которые становятся неустойчивыми при обращении времени, 1 — ~ — оо. 82 Глава 4.
Устойчивость Рис. 4.2 Рне. 4.3. Устойчивые узлы Еще одна стандартная категория классификации точек равновесия — центр, имеющий замкнутые траектории в окрестности равновесия. Понятно, что ситуация «скользкая» — малейшее изменение правой части х = т(х) может превратить замкнутые траектории в раскручиваюшиеся или скручивающиеся спирали. В этой связке часто фигурирует понятие сенаратрисы.
В варианте седла так называют решения, проходящие через равновесие. Вообще, термин «сепаратриса» несколько размыт. Первоначально имелись в виду траектории, входящие или выходящие из равновесия, когда близлежащие решения в равновесие не входят и не выходят. Потом это стали понимать шире, как решения в некотором смысле разделяющие траектории с разным поведением. Потом еще шире (при п > 2) — как «разделяющие многообразия». 4.1.2. Определение. Положение равновесия х' системы 83 4.1.
Основные понятия называется асимптатически устойчивым, если она устойчиво па Ляпунову и любое решение х(1), начинающееся в достаточно малой окрестности х*, стремится к х' при 1 — т со. Иногда асимптотическую устойчивость называют локальной, а в том случае, когда х(1) -+ х' из любого начального положения, — говорят о глобальной асимптотической устойчивости, или асимптотической устойчивости в целом.
Равновесие считают вполне неустойчивым (полностью неустойчивым), если при обращении времени (направления движения) оно превращается в асимптотически устойчивое. Рис. 4.4. Неустойчивое равновесие, хотя все х(1) ч х* Может показаться, что в определении 4.!.2 требование устойчивости равновесия по Ляпунову излишне, ибо оно, мол, автоматически вытекает из условия х(1) + х'.
Не вытекает. Все траектории могут сходиться к равновесию, но устойчивости не будет— на рис.4.4 изображен пример. В автономном случае, х = у(х), множество точек х(0), из которых траектории х(1) сходятся к равновесию х', называется областью притяжения х*. Область притяжения действительно является областью, в том смысле, что вместе с каждой точкой содержит некоторую ее окрестность. Это вытекает из непрерывной зависимости решений от начальных данных, 4.1.3. В случае б!ч1'(х) = +... + ( 0 (4.!) дх дх„ равновесие х' системы х = у(х) не может иметь ограниченную область притяжения. Глава 4.
Устойчивость < На границе бй области притяжения й поле у(х) направлено по касательной к поверхности бй, иначе траектория либо попадет в й, либо разойдется с близкими траекториями, начинающимися в й, что вступит в противоречие с непрерывной зависимостью решений от начальных данных. Поэтому скалярное произведение Г(х) на элемент поверхности г!е, направленный по нормали к б!1, тождественно равен нулю на бй.
Но тогда гйу у(х) Их = ~ у(х) г!и = О, ю что вступает в противоречие с (4.!), ° . Упражнение Утверждение 4.!.3 сохраняет силу при замене строгого неравенства (4.!) нестрогим. 4.2. Второй метод Ляпунова Устойчивость равновесия. Начнем с ситуации нулевого положения равновесия автономной системы ') х = У(х), например, Х! = — $1П Х2, Хз = Х1 — Х!. Предположим, в окрестности х' = О существует такая скалярная функция У(х), что В этом случае говорят, что У(х) положительно определена. Допустим, что $'(х) непрерывно лифференцируема н (4.2) Предполагая выполненными условия единственной разрешимости задачи Коши при любом начальном положении. 85 4.2.
Второй метод Ляпунова при любом х ~ О. Это означает, чта функция т' на траекториях х = ('(х) строго убывает з1, поскольку (4.2) — не что иное, как отрицательность производной функции ут(г) = у[х(г)] по времени, $' =агади(х) х < О. Поэтому любое движение х = 2(х), начавшись в окрестности У(х) < е, — в этой окрестности и остается, что обеспечивает устойчивость равновесия х' = О.
Более того, имеет место также асимптотическая устойчивость равновесия, поскольку У(ь) строго убывает, что приводит к х(с) — у 0 при 1 — у оо. Если вместо (4.2) выполняется нестрогое неравенство, то асимптотической устойчивости может не быть, но устойчивость— сохраняется. В этом месте имеет смысл остановиться и представить ситуацию визуально.
Функция быстрее всего убывает — в направлении минус градиента. Движение под острым углом к минус градиенту з~з, т. е. з7ут(х) ° х < 0 — будет приводить к убыванию К На рис. 4.5 пунктиром изображена касательная к по- Рис. 4.5 верхности у"(х) = е, ограничивающей область зт(х) < е. Движение х = 2'(х) в силу (4.2) направлено внутрь заштрихованной области, из которой не может выйти в дальнейшем — иначе в точке выхода пришлось бы двигаться под тупым углом к — ягае( ут(х).
Если особо не вникать, то все выглядит достаточно убедительно. Но «присматриваясь», легко обнаружить вопросы, требующие ответа. Почему, например, не может случиться так, что ат(ь), строго убывая, не будет стремиться к нулю при 1 — у оо? В принципе, это возможно, но не в данном случае. 2~ Положительно определенные функции, убываюшие на траекториях рассматриваемых уравнений, называют функциями Ляпунова. я далее у(п(л) = йгай у(ар 86 Глава 4. Устойчивость Предположим противное, У(т) -г б > О. Тогда в заштрихованном на рис, е.б кольце, б < У(х) < У(х(О)), в котором У(х(т)] обязана все время оставаться, функция Р = ттУ(х) У(х) Рис.4.6 не просто меньше нуля, а меньше некоторого отрицательного т < О, в силу непрерывности. Но при У < т < О функция У(г) не может оставаться ограниченной снизу.
В случае неавтономной системы х = т(х, г) и функции Ляпунова Ъ'(х), не зависящей явно от б, — все остается ночнти без изменений. В отношении устойчивости ничего не меняется. Что касается асимптотической устойчивости, — необходимо уточнение. Теперь функция гт, несмотря на тт < О, может не добраться до нуля. Например, в скалярном случае х = — хе функция Ляпунова тт(х) = хз строго убывает, Ъ'=2хх= — 2х е <О при х,-ЕО, но система «быстро устает» (БУ-система), и решения х(б) = се' останавливаются по дороге к равновесию, не достигая в пределе х'=О.
Таких ситуаций в скалярном случае (х — скаляр) можно избежать, запретив возможность ~(х,г) -ь О, х ~ О при б — ь оо, но рецепт перестает работать уже на плоскости. Например, система (в полярных координатах) г = — ге 87 4.2. Второй метод Пяпунова все время совершает оборот в секунду, но радиус-вектор г не убывает до нуля, хотя производная У(т) = тз по времени строго отрицательна на любой траектории (г(г), уз(1)). Поэтому в многомерном случае выход из положения заключается в исключении ситуации 57У(х).7(х,1) — ь О, х ф 0 при ~-+ оо, что сводится к анализу скалярного уравнения T = з7T(х) Дх, 1) с параметром х. Отмеченный фактор «быстрого уставания» системы лежит на поверхности, но довольно часто остается незамеченным, что приводит к неточным формулировкам теорем.
Интересно, что особого вреда это не наносит4). Математика, оказывается, устойчива к малым ошибкам. Неустойчивость. Когда убывающую функцию Ляпунова не удается подобрать, причины может быть две. Для выяснения второй— пригодился бы инструмент, позволяющий гарантировать неустойчивость. Идеологическая основа годится прежняя. Если в окрестности равновесия х* =0 системы х=у(х) у непрерывно дифференцируемой функции гт(х) (к'(0) =О) область положительности гт(х) >О пересекается с любой сколь угодно малой окрестностью нуля и в этом пере- сечении У>0, в силу х=у(х), то равновесие х*=0 неустой- Рис.4 г. Неустойчивое чиво 5) равновесие От функции Ляпунова у И(х) здесь осталось лишь обозначение.
Положительной определенности не требуется. Просто через нуль проходит функция, у которой сектор )т(х) > О примыкает к нулю. На рис. 4.7 это сектор АОВ. Если допустить устойчивость, то по окрестности ))х)) < е — пусть на рисунке это будет н Ибо о неточностях всвомииают, когда сни дают о себе знать.
з) Это автономный вариант теоремы Четаева. Глава 4. Устойчивость внутренность большего эллипса — можно указать такую окрестность [[х[[ < б,— внутренность меньшего эллипса, — что траектория, начинаясь во второй,— не выходит из первой. С другой стороны, если рассмотреть заштрихованную на рис. 4.7 область У(х) > а > О, касающуюся окрестности [[х[[ < б, то в силу > О траектория х(г) не сможет оставаться в [[х[[ < е, ибо производная У в пересечении кольца б<[[х[[<с с заштрихованной «территорией» вЂ” не просто положительна, а 1 = тгУ ' 1(х) > 7 > О благодаря непрерывности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
