Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Возникаюшего при взятии интеграла по частям. Глава 3. Линейные уравнения 74 Действительно, для любой функции р б Р 0'(х)оо(х) бх = — ~ 0(х) р'(х) г)х = — ~ уг'(х) бх = р(0), о т, е, производная Е'(х) действует на р так же, как б(х). Отметим в заключение формулы, получающиеся простой заменой переменной при интегрировании х х 1 б(х — а)р(х) о)х = р(а), / б(ах)1р(х) бх = -)о(0).
а 3.11. Функция Грина и краевые задачи Идее обращения дифференциального оператора с опрелеленной точки зрения была посвящена вся глава. Например, формулу (3.20) можно рассматривать как обращение дифференциального оператора Ьх = х — А(Ц х в задаче Ьх = у(1), х(0) = хо. Понятно, что говорить о чистом обращении Ь ' не совсем корректно, поскольку дифференцирование не взаимно однозначно. Поэтому в множестве допустимых решений должен быть организован отсев.
Задача Коши обеспечивает необходимый отсев фиксацией начальных данных. Возможна и другая постановка. В некоторые моменты времени задаются значения части переменных. Такого сорта задачи называют краевыми, в частности двухгпочечяыми, когда для фиксации переменных используются два момента, например, 1 = 0 и 1 = 1. Обращение Ь в задаче Ьх = б" (С) обычно имеет вид (при определенных начальных или краевых условиях) (3.30) Функцию С((, а) в (3.30) называют функцией Грина ~о). Происхождение формулы (З.ЗО) довольно прозрачно.
Пусть х,(1) обозначает решение уравнения Ьх,(1) = б(С вЂ” а), где Ьх = х1"1+ а,(С)хы 1+... + а„,(Цх'+ а„(1)х — некоторый дифференциальный оператор, а б(1 — а) — единичный импульс. ю1 О 6(1, з) еще говорят как о ядре иптегролопою оператора. 75 3.11. Функция Грина и краевые задачи Поскольку х з(1) = / з(в)в(т — в)дв, ьз(в)х,(т) =1(в)в(1 — в) и система удовлетворяет принципу суперпозиции, то решением уравнения Ьх = /(1) будет О х(С) = / х,(г)у(в) дв, -х что и представляет собой (3.30), если положить х,(1) = 0(й в).
В теории автоматического регулирования С((,а) называют импульсной переходной функцией, и на систему а х = Я) смотрят как на преобразование входа Я) в выходной сигнал х(() (рис. 3.2). Рис. 3.2. Преобразование вход-выход» Интересно, что в стационарном случае б((, з) является функцией лишь одного параметра т = ( — з (~). Это приводит к зависимости (3.31) удивительной в следующем отношении. Уравнение Ьеб(( — з) = б(( — в), зг'г г Опора на принцип суперпозицнн учитывает, что интегрирование представляет собой предельный вариант суммирования.
Глава 3. Линейные уравнения 76 определяюшее функцию С, после замены т = С вЂ” в переходит в22) Х«С(т) = д(т), что определяет С(т) как реакцию системы на единственное импульсное воздействие д(т), — которую достаточно зафиксировать один раз — и этого достаточно, чтобы вычислять впоследствии реакцию системы на любое внешнее (входное) воздействие г'(С) по формуле (3.31). Другими словами, чтобы идентифицировать систему — «вскрыть» черный ящик — достаточно одной дельта-функции. Надо лишь знать, что система линейна и стационарна. Тогда на вход подается один импульс — и объект «расшифрованы В данной теме важны определенные уточнения, которые часто ускользают незамеченными. Для обострения вопроса рассмотрим простейшую двухвачечную задачу У = 7"(С), х(О) = х(1) = О. (3.32) Решением (3.32) служит ! и где С(в — 1), С < я < 1; 6(С, в) = в(С вЂ” 1), О<я<С.
Па фоне сказанного прежде — возникает (вроде бы) парадокс. Система йх = В явно стационарно, но 0(С, я) определяется отнюдь не разностью аргументов, как утверждалось выше. Причина заключается в том, чта понятие стационарности относится не к дифференциальному оператору, а к задаче целиком. Поэтому ситуация (3.32) не стационарно, ибо краевые условия записаны в «абсолютной» шкале времени, и при переходе от С к т = С вЂ” в трансформируются в х(-в) = х(1 — я) = О. Такая же проблема возникает в залаче х = 7(х), х~, = хь, котоРУю обычно считают стационарной, но это не совсем так, дипломатично говоря.
Задача переходит в разряд стационарных, если договориться, что при сдвиге 3.11. Функция Грина и краевые задачи 77 шкалы времени т = 1 — в начальное условие заменяется другим, х(,, = х,. Такая условность в автономном случае для задачи Коши естественна, и она всегда подразумевается. В двухточечной задаче ситуания иная.
В задачах автоматического регулорования (глава ь) считается, что состема (рис. 3.2) реагирует на импульс б(1 — в) только с момента 1 = в прихода омпульсо — до этого «спит«, т. е. вы~одной согнал х(1) вместе со всеми производными равен нулю для 1 < в. Иными словами, С(й в) является решением уравнения Тпб(й в) = О со сквиьзящими иачальньоии условиями. и тогда, кстати, 0(й в) = О для 1 < в, что называют условием физической реализуемости — система не мозкет реагировать на будущие сигналы. х + Ла(1)х = О, х(О) = х(1) = О, (3.33) возникающая в результате применения метода неопределенных множителей Лагранжа к минимизации функционала ! Г ° 2 (1) О при ограничении | Ч(Е)х'(1) д( = 1, ж(0) = х(1) = О.
О Б (3.33) требуется найти ненулевые решения х(1) и значения Л, при которых такие решения сугцествуют. Уравнение (3.33) долгое время служило простым и удобным эталоном, на котором отрабатывались методы изучения вариационных задач. Другой источник задачи Штурма — Лиувилля — колебания распределенных систем. Например, ин+ Ли = О, и(а) = и(Ь) = 0 (3.34) Широкую популярность в свое время приобрела задача Штурма — Лаувилля; 78 Глава 3. Линейные уравнения описывает колебание струнызз), закрепленной в точках х = а и х = Ь. Решением задачи являются собственные функции и собственные значения Ьэг з' Ьгг 'з' ид(х) =яп х, Лй= 1 ), Й=),2, Ь вЂ” а ~,Ь вЂ” аз) В квантовой механике (3.34) называется уравнением Шредингера. Собственные значения связаны с возможными частотами огй колебаний системы24), Лй = огиз. Совокупность Лй обычно называют спекгпром собсгпвенных значений.
С ростом Ь вЂ” а спектр становится все плотнее и в пределе, при Ь вЂ” а — з со, заполняет всю область (О, оо). 3.12. Операционное исчисление Решение задач, в основе которых лежит дифференциальное уравнение Ья = Я), в разных вариантах опирается на идею представления /(() в виде взвешенной суммы (интеграла) неких стандартных функций (сигналов) — с последуюшим использованием принципа суперпозиции. В предыаушем разделе это была сумма взвешенных импульсов, Я) = / З(э)6(( — в) г(э.
Преобразование Фурье, 2я,/ основывается на разложении З(() в сумму гармонических сигналов. Преобразование Лапласа (3.35) (уравнение (З.З4) получается из уравнения распространения волн в частных производных при поиске стационарных решений а(э, Г): — а(х). Идет ли речь о струне гитары или о возможных значениях энергии электрона г4г в потенциальной яме. 79 3.12. Операционное исчисление где р = гг+ аш, — усовершенствует этот метод. Функцию Я) при этом называют оригиналом, а ) (р) — изобразкениелг, что записывают обычно так 7" (ь) ге 7" (р) Выгоды преобразовании Лапласа по сравнению со стандартным преобразованием Фурье заключаются в том, что при больших йер = сг метод (3.35) справляется с быстрорастущими функпиями, тогда как преобразование Фурье упирается в расходящиеся интегралы" ). Успех преобразования Лапласа при изучении линейных систем определяется двумя обстоятельствами.
Во-первых, линейностью: ))У(() + рд(() .= )гУ(р) + рд(р). Во-вторых, заменой дифференцирования умножением. Точнее го- воря, Я) ее е Р")2(ь) г(' ь= рЯ>) — у (0), О где при взятии интеграла по частям действительная часть р выбирается настолько большой, чтобы е РгЯ)~ = О. Естественно, что предпочтение отдается задачам, в которых 7(0) = О, и тогда )(ь') зы ру(р) Есть и другие удобные свойства, но они вторичны. Например, простое описание запаздывания /(г — а) ы е в'з'(р) (а > 0). К первичным свойствам относится, конечно, формула обращения и) В-~-5Х У(Г) зпз. ( "У'(Р) 4» 25) В зтсм, собственно, и заключается роль действительной части а, которую можно выбирать и фиксировать по своему усмотрению, исходя из потребностей задачи.
В частности, при е = О получается преобразование Фурье функпии Я), если г (г) = О при г < О. И сам факт взаимной однозначности преобразования Лапласа. Во Глава 3. Линейные уравнения где интегрирование идет вдоль вертикальной прямой Кер = и. Но этой формулой на практике уже никто не пользуется — имеются подробные таблицы изображений и оригиналов, введенные, к тому же, во многие компьютерные программы математического толка. Преобразование Лапласа хорошо работает и в применении к многомерным системам. Например, преобразуя матричное уравнение х = Ах в соответствии с (3.35), получаем рх(р) — х(0) = Ах(р), откуда х(р) = (1р — А) 'х(0), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
