Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Могут появиться, а могут и не появиться. Общий рецепт решения (3.3) иногда формулируют так. Если )г! — собственное значение матрицы А кратности й, то ему соответствует решение вида я — ! сця 01 +... +с!!1+с!о Рв 2(1)е ' (3.18) я-! ся(в — !)1 + ° ° + с 21+ спв что в результате суммирования по всем собственным значениям дает общее решение.
Понятно, что констант набирается слишком много (пз вместо и), и в результате решения задачи Коши х=Ах, х(0)=хв их значения окажутся взаимозависимыми. Поэтому рецепт включает в себя большой объем черновой работы. Решение вида (3.18) с избыточным количеством неопределенных констант надо под- 61 3.5. Случай равных корней ставить в х = Ах — и задача в итоге сведется к решению алгебраической системы линейных уравнений а).
Таким образом, рецепт эффективен, но не вполне удовпетворителен. Это довольно распространенная ситуация. Задача в принципе решается — однако туман не рассеивается. Константы определяются, но причины, по которым какие-то из них, скажем, равны нулю, остаются скрытыми — тогда как именно это во многих случаях представляет главный интерес.
другая ситуапия возникает, например, в случае < х) —— Лх), х)(0) = вн хг = х> + Лхг, хг(0) = иг, ГЛ гле матрипа А = ~ векюров. 01 не имеет двух линейно независимых собственных Интегрирование первого уравнения дает х, = е и,, что сводит определение М хг к интегрированию уравнения хг —— е иг -)- Лхг л) -м )г -г) перехоляшего после умножения на е в — (х,е ) = ио Окончательно, ог л) л) хг = ийе Ч- и,е что наглядно демонстрирует механизм появления секулярного члена. 8) В которой неизвестных намного больше уравнений. 9) ) Не будь зтаа ошибки Лагранжа.
ее бы, как говорится, нада было выдумать, чтобы привлечь внимание к проблеме. Классический пример дает известная ошибка в механике Лагрлнлса~), который в своей знаменитой книге обмолвился, что в консервативной системе со многими степенями свободы при равных частотах будут возникать секулярные члены — хотя заведомо ясно, что при отсутствии внешнего источника энергии— колебаний с бесконечно возрастающими амплитудами не может быть.
Физические соображения здесь никак не противоречат математической стороне дела, поскольку такие системы описываются линейными уравнениями с нормальными матрицами, симметрия коэФФипиентов которых вытекает из законов механики. У нормальных же и н и матрип всегда (независимо от того, есть равные собственные значения или нет) сушествуют и линейно независимых собственных )мкторов — и поэтому секулярные члены появиться не могут, поскольку х = Ах в Вл не может иметь более и линейно независимых решений. Глава 3. Линейные уравнения 62 3.6.
Неоднородные уравнения В силу принципа суперпозиции, общим решением неоднородного уравнения является х(8) = с,х, Я+... +с„х„(1) + хо(1), Пусть Х(1) — фундаментальная матрица решений уравнения х = А(1)х. Поиск решения неоднородного уравнения х = А(1)х+ Я) в виде х(1) = Х(с)с(с) при подстановке х = Хс в (3.19) дает (3.19) Хс+ Хс = АХс+ Я), откуда следует, с учетом Хс = АХс, что в результате интегрирования дает с(1) = с(0) + Х (з)у(з) дз. о В итоге х(1) = Х(1)с(0) + Х(1)Х (з)у(з) дз.
о где х1(1),..., х„(1) — фундаментальная система решений однородной системы, а хо(1) — какое-нибудь, как говорят, частное решение уравнения (3.2) либо (ЗА) — в зависимости от того, о чем идет речь. Таким образом, чтобы решить неоднородное уравнение, надо найти хотя бы одно его частное решение и прибавить к нему общее решение соответствующего однородного решения. Частное решение можно найти регулярным образом, если известна фундаментальная система решений.
В эшом смысле решение однородного уравнения исчернываев задачу. 3.7. Матричная экспонента Выбор с(0) позволяет удовлетворить начальным условиям. Если Х(0) = 1 (см. раздел 3.2), то (3.20) 3.7. Матричная экспонента Функция е~' является решением задачи Х = АХ, Х(0) = Х = Лаем!,..., !) (3.21) и может быть определена не как ряд (3. 22) 2! 3! а, наоборот, как решение (3.2!). Другое дело, что поиск этого решения в виде ряда с неопределенными матричными коэффициентами Ск — после подстановки в (3.21) дает Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при равных степенях 1, получаем йСь = АСь ы что в итоге опять приводит к (3.22). И обратно, почленное дифференцирование ряда (3.22) показывает, что его сумма удовлетворяет уравнению (3.21).
Обсуждение матричной экспоненты традиционно задерживается на следующем факте. Глава 3. Линейные уравнения 3.7.1. Для справедливости е = е е необходимо и достаточ- А+В А В но, чтобы матрииы А и В коммутировали, т. е. АВ = ВА. При перемножении рядов е" и еВ результат становится очевидным. Из позитивных следствий отметим групповое свойство экспоненты С психологической точки зрения более важна «негативная» часть утверждения 3.7.1, ибо много ошибок совершается в связи с незаконным использованием равенства ел+В = е"ев. В теории возмущений, например, решение Х(1) = е14+«В1! задачи Х = (А + еВ)Х, Х(0) = Т иногда разлагают по степеням е, опираясь на е!"+'В1! = е"'сев', чего нельзя делать в некоммутативном случае. Там приходится группировать по степеням е члены ряда 1 !А+«В1! з + (А + В)п»п и! ! что оказывается нелегким и обременительным делом.
Поэтому теория возмущений предпочитает окольные пути. Упражнение [ ! 01 [ Б!пЕ ео»ез А= О О ! ~ е Замена переменных. На ситуацию х=Ах, х(0)=хп 3.7. Матричная экспонента полезно посмотреть с другой точки зрения. Осуществим заме- ну переменных х = Ту с помощью некоторой невырожденной матрицы Т. Исходная задача перейдет в у =Т АТу, у(0) = Т хб. Если Т приводит А к диагональному виду'б) л ... о 0 Т АТ= то система у = Т 'АТу представляет собой совокупность незави- симых друг от друга скалярных уравнений уь = Льуь, интегриро- вание которых по отдельности дает уь(~) = ел"суу(О).
В векторном виде это можно записать как е' . 0 д(о). 0 лье Возврат в исходное пространство с помощью обратного преобра- зования у = Т 'х приводит к е л,с Т х(0), 0 лпс х(г) =Т В данном контексте полезно обратить внимание на следующее. В пространстве переменных у матрица Т 'АТ имеет полный набор собственных векторов (1,О,...), (0,1,0,...), ..., (0,...,0,1), юс Напомним, что это возможно, когда все Ль различны, либо матрица А нормальна (А'А = АА'). При этом столбцы матрицы Т лолжиы быть собственными векторами матрицы А. Элементы Т, разумеетсл, могут быть комплексными.
усто и определяет матричную экспоненту, если по определению Считать х(1) = елсх(0). 66 Глава 3. Линейные уравнения переходяших в собственные вектора матрицы А при переходе к переменным х с помощью х = Тр. Поэтому можно сказать так: если у А есть и линейно независимых собственных векторов, то их надо принять за единичные орты новой системы координат, и тогда в новой системе А приобретет диагональную форму. Идея предельного перехода. Простую и ясную картину нарушает «случай равных корней». Естественно, возникает желание рассмотреть его как предельный случай разных корней, поскольку равные корни всегда можно разнести, «слегка пошевеливв матрицу.
Тогда можно отталкиваться от ситуации, когда А(б) имеет различные собственные значения при любом б > О, и А(б) — + А при б — ~ О. Однако надежда перенести выводы относительно А(б) на А не всегда оправдывается. Беда заключается в том, что линейно независимые собственные векторы матрицы А(б) при е -+ О могут переходить — и в подавляюшем числе случаев переходят — в линейно зависимые.
Пар уходит в гудок — результат не достигается. На волне отрицательных эмоций идея меркнет. Тем не менее она плодотворна в ситуациях, где наличие полного набора собственных векторов не обязательно. Например, формула лег еА егг А (3.23) больше известная своей красотой, нежели прикладной значимостью п2, — в случае диагонально представимой матрицы А очевидна, поскольку при линейном преобразовании Т 'АТ ни детерминант, ни след ГГА = а22+... + апп не меняются 22~, а в диагональном случае (3.23) означает не более чем е ...е =е л, л„л, ч-...-ьл„ В то же время, если матрица А(е) диагонально представима при любом б и А(е) у А при е — у О, то соотношение вида (3.23) лля А(б) в результате предельного перехода переходит непосредственно в (3.23).
Дополнительные предположения здесь не требуются. Равенстгю инертной и гравитационной массы «до Эйнштейна было просто красивым фактом. 12) Поскольку детерминант равен произаелению, а след — сумме собственных значений матрицы. 3.8. Теорема Лиувилля 67 3.8. Теорема Лиуеилли Определитель Вронского. Детерминант матрицы фундаментальных решений, Иг(е) = г)е( Х((), называют вронскианом. В случае Х(() = еле, в силу (3.23), имеем Иг = (г А ° Иг, откуда (3.24) В неавтономном случае Х = А(ь)Х отрезок (О, ь] можно разбить точками ьн 13,... на промежутки малой длины Ын Ыз,... и считать матрицу А(ь) на каждом Аььз — приблизительно постоянной (с точностью до о(сььз)). Тогда '3) приближенно Иг(( ) н~(й)~0Иг(0) Иг(( ) — згА(гз)гзезИг(( ) Окончательно Иг(ь) = е~." А(й)д' И'(О), а после перехода к пределу при тзг; — у 0 (3.25) Когда источником слузкит дифференциальное уравнение и-го порядка (3.!), то после перехода к эквивалентной линейной системе х = А(()х на диагональ матрицы (Зд) попадает лишь один элемент аз(().
По этой причине поведеНие вронскиана уравнения пно порядка определяется одним коэффициентом уравнения, поскольку оказывается зг А(г) = а,((). Изменение фазового объема. Вектор-столбцы фундаментальной матрицы автономной системы х = Ах образуют параллелепипед, объем которого (детерминант) меняется с течением времени по установленному выше закону Иг = (г А И'. Такова же динамика объема любого другого параллелепипеда, неважно большого или (1маленького, имеюшего вершину в начале координат или не имеющего '4). Но тогда очевидно, что и объем У(с) любой области (2(ь) фазового пространства меняется по тому же закону Ъ' = (гА У, пз наряду с (Зде), очевидно, УУ(е) = ен ~ ни'(4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
