Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 9
Текст из файла (страница 9)
хш(1) Х(() = хтн (с) х (с) называют фундаментальной мотрицей решений, которая, очевидно, представляет собой невырожденноез) решение матричного урав- нения Х = А(1)Х. з> Невырожаеиное — потому, что стоззбззы линейно иезависилзы. Глава 3. Линейные уравнения Можно сказать еше, что фундаментальная система решений представляет собой набор стандартных блоков, из которых можно «собрать» любое решение задачи Коши х = А(ь)х, х(0) = хр. с~х~(0) +... + с„х„(0) = хр имела решение при любом хр. Для этого линейная независимость требуется лишь в нулевой момент, — но тогда она сохраняется при любом 1, как будет показано ниже. Фундаментальную матрицу Х(() удобно выбирать так, чтобы Х(0) = 1.
В этом случае Х(с) называют матрицантач. Матрицонт позволяет записыват~ решение в = А(() х в виде х(е) = х(йх(0), т. е. Х(ь) представляет собой оператор сдвига Уьз. Сдвиг по траекториям х = А(с)х за время от в до ь при этом равен У,з = Х(()Х '(в). Отсюда очевидно, что оператор У, ~ — линеен. Матрицу Х(с)Х 1(в) называют матрицед Коши. Для уравнения (3.!) под задачей Коши понимают Ь(х) = О, х(0) = хр, х'(0) = х,, ..., х(" ')(О) = х„,, Поэтому под линейной независимостью скалярных решений х,(1) уравнения (ЗА) подразумевают линейную независимость векторов хп(ь) х„(1) х~(~) х'~И) (и — !)( ) (п — 1)( ) Соответственно, под матрицей фундаментальных решений— х1(б) хп(1) (п — 1)( ) (и — О( ) Линейная независимость столбцов (3.6) нужна, чтобы система уравнений (векторное уравнение) 3.3.
Уравнения с постоянными коэффициентами 55 Весь этот разговор становится излишним, если изначально перейти от уравнения (3.1) к системе (3.3) с матрицей (3.5). Тогда все получается автоматически. Однако унификация имеет свои изъяны — ускользает интересная специфика, да и в книгах перестаешь видеть «знакомые лица». Понятно, что вопрос о существовании фундаментальной системы (матрицы) принципиален. Всегда ли изучение линейного однородного уравнения сводится к поиску и линейно независимых решений? Проблема легко решается. 3.2.1. Теорема. Фундаментальная система решений существует всегда. Разумеется, у линейной системы х = А(1)х, о которой идет речь, элементы ан(В матрицы А подразумеваются непрерывными.
В этом случае правая часть системы х = А(1)х удовлетворяет условиям Липшица, и поэтому задача Коши х = А(Г)х, х(0) = хь, при любом хе имеет единственное решение. Отсюда следует, что лля построения фундаментальной матрицы лостаточно взять в качестве столбцов любые и решений (3.6) с линейно независимыми начальными данными х, (0),..., х„(0). Линейная независимость функций х,(г), ..., х„(г) при Г > 0 будет сохраняться автоматически. В предположении противного найдутся такие константы с„..., с„, не все равные нулю, что с, х,(1) +...
+ с„х„(Г) = 0 при некотором Г > О. Но это будет означать, что решение х(Е) = с,х,(С) +... + с„х„(Е), выходяшее из ненулевой точки х(0) = с х (0) +... + с х„(0), за конечное время приходит в нуль, что невозможно по теореме 2.3А. З.З. Уравнения с постоянными коэффициентами Идея решения однородного уравнения рассматривалась в предыдущей главе в связи с примером (2.12).
Частично повторяясь, опишем методику применительно к уравнению (3.1). В качестве решения напрашивается е~', поскольку дифференцирование экспоненты сводится к умножению на константу, (е~~) = Ле (3.8) 56 Глава 3. Линейные уравнения и, благодаря этому обстоятельству, подстановка ем в (3.1) дает (Л(") + а1Л(" 1) +... + а„1Л+а„)е~~ = О. Поэтому, если Л вЂ” корень характеристического уравнения (3.9) где Р(Л) называют характеристическим полиномом, — то е"1 удовлетворяет (3.1).
Обшим решением (3.1), в силу принципа супер- позиции, будет 4) (3.10) ш(8) = с1е ' +... + с„е ", где Л1,..., ˄— корни (3.9). В случае комплексного корня Л = а + з)з в (3.7) вместо сем войдет се ' сов)Я либо сеа' ып )зь', поскольку уравнению (3.1) удовлетворяет как действительная часть функции Е = Еа (СО8)ЗЬ'+ З ЯП )Э'Ь), так и мнимая. Возможна и другая позиция.
С самого начала можно рассматривать уравнение (ЗЛ) в области комплексных функций, что освобождает от необходимости «постоянных ревераисовж Действительные решения в этом случае получаются как действительная часть комплексных. Но надо иметь в виду, что при этом вместе с ем решением является и зе"', что, собственно, и позволяет говорить о действительном решении просто как о действительной части комплексного; х(1) = с, ем + зс, ем.
Орали теорем единственности. В теории линейных уравнении иногда раздражает элемент угадывания. Решение как бы падает с неба. Возникает вопрос, нельзя ли действовать логичнее, шаг за шагом. Можно, конечно, по проще заглянуть в таблицу производных, где уже есть готовое (3.8). Метод угадывания плах, когда пе исключена возможность, что за кадром остается «неугадапнае». В данном случае ситуация иная. Теоремы единственности гарантируют, чта если уж решение найдено, то других — быть не может. 41 Случай равных корней рассматривается лиле«.
3.4. Системы уравнений 57 Чтобы ооенить выгоды использования экспоненты ем, полезно олин раз найти решение «в лоб», например, уравнения У+2х+2х =О, в виде х(») = е" яп ))П Тьма громозлких преобразований избавляет от некоторых иллюзий.
3.4. Системы уравнений В ситуации (3.3), т. е. х = Ах, процедура решения выглядит несколько по иному, хотя суть та же. Решение ищется в виде ел!о, где о — некоторый вектор, который, как потом выясняется, обязан быть собственным вектором матрицы А. Подстановка емр в (3.3) приводит к уравнению е"гЛо = е"'Ао, т. е. что для и ~ 0 возможно лишь в случае равенства (3.11) которое, как и (3.9), называют характеристическим уравнением системы (3.3), а Р(Л) = г)ег (А — Л1) характеристическим полипомом. В итоге общее решение (3.3) имеет вид (3.1 2) х(1)=с!е е ' +...+сер е ", где Ль собственные значенияз), а рл — собственные векторы матрицы А. Понятно, что описанный метод работает, пока корни Ль различны.
При равенстве корней приходится углубляться в дебри линейной алгебры (см. далее). Но есть простой метод решения й = Ах, основанный на использовании матричной экспоненты (раздел 3.7) и работающий всегда (независимо от того, каков спектр матрицы А, т. е. различны все собственные значения Ль или нет). ! Т е. решения уравнения (3 ! !) Глава 3. Линейные уравнения 58 В силу (е"')' = Аеги решением х = Ах является х® =."х,, причем х(0) = хь. Проще, как говорится, не бывает, но вопрос может упираться в желаемую форму результата. Матричная экспо- нента универсально определяется рядом Аг Аз е" =У+А+ — + — +..
2! 3! (3.13) ТАТ = гйа8(Лн..., Л„), и тогда гп Т вЂ” ! 11 ( лй л„ь)Т (3.14) что во многом более наглядно (информативно), чем задание еА~ с помощью ряда. Представление (3.14) сохраняет силу в определенных ситуациях и при равных корнях. Для симметричных матриц, например,— что спасает механику от некоторых парадоксовь1, — а также для нормальньп матриц, характеризуемых условием АА' = А'А.
3.5. Случай равных корней Если у (3.9) какие-то корни оказываются равными, то в решении вида (3Л) перестает хватать констант (для разрешимости задачи 6) См. следующий раздел. и это вроде бы ничем не хуже задания рядом какого-нибудь синуса илн логарифма, причем компьютер легко вычисляет елн практически с любой точностью и для любых размерностей. Тем не менее решение в виде еА'ха оставляет некоторые свойства системы завуалированными.
Именно по этой причине в линейной алгебре значительные усилия прилагаются к заданию функций от матриц с помощью конечного числа операций, что обеспечивает большую прозрачность результатов в некоторых секторах. В частности, если все собственные значения Ль матрицы А различны, то существует базис, в котором А имеет диагональный вид, 59 3.5. Случай равных корней Коши с произвольными начальными данными). Другими словами, перестает хватать линейно независимых решений вида ел'.
Образовавшуюся брешь заполняют решения свел!. Точнее говоря, если Л! является х-кратным корнем (3.9), то решениями (3.1) будут функции л,с л,с л — ! л,с (3.15) чего как раз хватает для образования системы фундаментальных решений, < Доказательство этого факта не так сложно, особенно, если опираться на «стенографические» приемы. Пусть Р(Л) обозначает характеристический полином (3.9), Дифференпируя тождество Х (ем) = Р(Л) ем р раз по Л, получаем ! др с=р 2(елс) 2(Свела) ~ СсРСс>(Л)СО-Палс длр с=а откуда для Р = О, 1,..., й — ! следует Ь(СРе"н) = О тождественно по С (гдеЛ,— )с-кратный корень характеристического уравнения), поскольку в этом случае Р(Л,) = Р'(Лс) =...
= Р'л '!(Л,) = О. Это, собственно, и означает, что функпии (3.!5) являются решениями уравне- ния (3.1). Пример У характеристического полинома Л + 2лз+ 1 уравнения х' ! + 2У + х = О (3.16) есть два корня Лкз — — с и лва корня Л,л — — -с. Поэтому в обшее решение, х(С) — (с\ + сзС) сов С ! (сз ! с«С) мп С, входят, как говорят, вековые, или секулярные члены вида Ср з!пыС и Ср созыС, представляюшие собой колебания с неограниченно растушими амплитудами. Обратим внимание, что характеристический полипом близкого к (3.1б) уравнения х! ! + (2 + е)У + (1 ч- е)х = О (3.17) и С испояьзоеанием формулы р-й производной произведения: с=р (уд)О1 = ~ С,'успдо-о, с.=а 60 Глава 3. Линейные уравнения при малых е ф О имеет четыре различных корня 124 = хгьГ! +е, Д2,2 что в итоге дает только ограниченные решения х(е) = с2 соя!+ с2 япс+с! сох \П+е!-!-с4 яп 47! + ей периодические по ! или непериодические — в зависимости от того, рационально 57! + е или нет.
Таким образом, уравнение (3.!7), имеющее лишь ограниченные решения, при е — 4 О переходит в уравнение (3.гб), имеющее неограниченные решения. Совершенно иная ситуация возникает в связи с системой уравнений (3.3). Часто ссылаются на ее эквивалентность однородному уравнению, но дьявол, как всегда, прячется в деталях. Уравнение (3.1) эквивалентно системе типа (3.3) — однако с матрицей конкретного вида (3.5). В свою очередь, система (3.3) последовательным исключением переменных может быть приведена к уравнению и-го порядка, но это будет весьма специфическое уравнение, Поэтому утверждения об обязательном появлении вековых членов в решении (3.3) не имеют под собой оснований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
