Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 4
Текст из файла (страница 4)
И Правые части которой, ио определению, ие зависят от времени. Глава 2. Общая картина и опорные точки 22 ством. Чаще фазовые переменные имеют вспомогательный характер. Скажем, движение маятника х+ ы'х = 0 обычно переписывается в переменных (х, у = х) в виде системы х=у, у=-ых. В итоге маятник движется «туда-сюда», но в переменных (х, у) — «положение- скорость» — траектории (х(Е), у(1)) вы- глядят как на рис, 2.2. Рис. 2.2.
Траектории маятника в фазовом пространстве Заметим, наконец, что неавтономная система, х = у(х,г), всегда может быть переведена в автономную добавлением к фазовым переменным времени с и, соответственно, добавлением к х = т(х, ь) еше одного уравнения 1 = 1. Такой фокус дает возможность построить геометрическую картинку, но, разумеется, никак не устраняет принципиальную разницу между автономным и неавтономным движением. Например, весомую часть теории автономных систем, х = Д(х), составляет изучение динамики в окрестности точек равновесия, характеризуемых обнулением скорости, 2".(х) = О. Понятно, что у искусственной автономной системы, < х = у(х,!), (=1 точки равновесия отсутствуют.
х ее У(Х,$), х(д) = хо, называется задачей Коши, решением которой, по сушеству, явля- ется х(Е) = х(ь; в, хо). Отображение стас (эквивалентное обозначе- ние (т, г), переводяшее точку х(в) = хо в х((), айаг(хо) = х(г'д хо) Задача Коши. Уравнение х = т(х, ь) всегда имеет множество (се- мейство) решений х(1).
Конкретная траектория х(!) может быть выделена каким-либо дополнительным условием — например, фиксацией значения х(с) в момент ь' = в. Такая задача, 2.2. Простейшие уравнения и примеры 23 называют епе)вате)золя сдвига по траекториям системы б). Автоном- ные системы характеризуются свойством Полугрупповое свойство оператора сдвига, стяги»я — ыгг означает, что движение из любой точки хя не зависит от того, КаК СИСтЕМа ДВИГаЛаСЬ ДО ЭТОГО.
ДРУГИМИ СЛОВаМИ, ЕСЛИ ХС = У»СХг и «по дороге» в момент я система пришла в точку х„то о предыс- тОРИИ МОЖНО ЗабЫтЬ И ОПРЕДЕЛИТЬ ХС КаК ХС = гз»СХ». В автономном случае полугрупповое свойство приобретает вид (2.5) ~а ь'т с'в+я В качестве иллюстрации рассмотрим уравнение х+ х = О, решением которого служит х(С) = с~ згпС+ сз соя!. Определение констант с„сз при начальных данных х(0) = О, х (0) = ! дает х(С) = я!пС, при атом х'(С) = соя С. Решением х(я) с начальнымн данными х(0) = япС, х'(О) = созС будет х(я) = соз С яп в + яп С соз я. Из (2 5) теперь следует известная тригонометрическая формула яп (С + в) = соз С яп я + яп С соя з, 2.2.
Простейшие уравнения и примеры Для дифференциального уравнения х = /(С) 6! В неавтономном случае, вообше говоря, через любую точку хе проходит пучок траекторий, параметрнческн завиеяшнй от я в (2.4). 24 Глава 2. Общая картина и опорные точки решение сводится к обыкновенному интегрированию: х(С) = У У(С) «+, где с — произвольная константа. Еше одно простое уравнение, х = т(х), т.е.
в(х — = 1(х), оС эквивалентно уравнению з вСх — = вп С'(х) интегрирование которого дает что неявно определяет функцию х(С). Например, лля ( ф = Лх 1 легко получаем: — = у ЛвСС ~ !их =ЛС+сопвг ~ х(С) =се 1 =Г' лв х Уравнение (2.6) х = т(х,С) в обшем случае улке не решается ни в элементарных функциях, ни в квадратурахя. При этом «нерешаемыми» оказываются самые простые с виду уравнения. Например, х = х' + С'. Тот факт, что дифур не решается аналитически, никаких фатальных последствий не имеет.
Как правило, достаточно, и даже предпочтительно, располагать численными решениями, изображаемыми на экранах мониторов. Тем не менее до сих пор большое внимание уделяется различным ухишрениям, позволяюшим определенные уравнения решать аналитически. При этом нельзя сказать, что такой вид деятельности себя изживает в связи с компьютеризацией. Дело в том, что, з) Благодаря тому, что с дифференциалами можно обрашаться как с обыкновенными дробями, см. [7).
в> то есть решение не удается записать даже с участием интегралов. 2.2. Простейшие уравнения и примеры 25 как это часто бывает, главная польза заключается в «побочных эффектах». Поиск решения вроде бы служит основным мотивом, но соответствующие манипуляции попутно дают нечто более существенное — умение преобразовывать уравнения, упрощать и выявлять их свойства. Вот один из комфортно интегрируемых вариантов уравнения (2.б), называемый уравнением с разделяюагииася переменными, х = р(х)г)гф. В эквивалентной записи дх — = гГг(ь) Ф, р(х) что ведет к решению в квадратурах неявно определяющему х(С).
К разделению переменных могут приводить дополнительные ухищрения (замены переменных). Рассмотрим два характерных примера. Уравнение ~ — = 2х — у ду (2.7) дх не меняется под действием преобразований х=х' — и, у=у' — 2и, которые не меняют также функции « = 2х — у.
Поэтому замена « = 2х — у сразу упрощает (2.7), приводя к уравнению с разделяющимися переменными д« вЂ” = дх. 2 †« Вот более сложный пример. Уравнение Абеля второго рода ду 2 3 (2.8) как легко убедиться, инвариантно относительно преобразований ! у= ~,у х=йх, «' — 3«+ 2 »г Обозначение переменных здесь подчеркивает, что аргументом может быть ие обязательно время. Эти же преобразования не влияют на функцию « = ху. Поэтому переход от переменных (х, у) к (х, «) упрощает (2.8) и дает интегрируемое уравнение Глава 2. Общая картина и опорные точки 26 (!) Посзедние два примера не имеют бслыиого самостоятельного значения, а вот использованный инструмент заслуживает пристального внимания. Речь идет о выявлении инвариантности изучаемых уравнений к тем или иным преобразованиям.
Это, как правило, дает полезную информацию о свойствах решений, наличии законов сохранения и т, и. В качестве примеров обычно предпочитают что-нибудь взятое с потолка, но стерильное, нежели уравнения движения, скажем, механической системы. Необходимость вникать еще и в физику иногда раздражает. Тем не менее подключение физики чаще всего плодотворно. Более того, практически это едва ли не единственная путеводная нить, способная удержать от бессмысленных блужданий по лабиринту выдуманного знания.
Примеры с потолка тоже полезны, но в меру. Колебания. Если положение материальной точки массы т харак- теризуется координатой х, то второй закон Ньютона приводит к уравнению тпх = Г(х), когда сила Р зависит только от х, либо к уравнению тпх = Р(х, х,с) в более общем случае. а) г) ~пмво Рис.
2.3. Маятники В частности, маятник на пружине — рис. 2.3 а — движется в соответствии с уравнением гпя + йв = О, где й — коэффипиент упругости пружины, пав масса грузика. Движение подвекченного маятника, изображенного на рис. 2.3 б, описывается так ф + 51п зз = О, б ( что для малых колебаний, в силу )о = Нп ~р, переходит в ф+-р=о.
8 (2Э) (2.10) 2.2. Простейшие уравнения и примеры Крутильные колебания — рис. 2.3 в — описывает такое же уравнение 1(3+бр = О (1 — момент инерции диска, 1р — крутяший момент стержня). В компанию механических маятников не случайно попадает и колебательный контур, — рис.2.3г — представляющий собой электрический маятник. Уравнение колебаний снова имеет тот же вид, би)+ — = О, Я С названия коэффициентов другие: 1( — электрический заряд, Ь вЂ” индуктивность, С вЂ” емкость, Место «возвращающей силы» занимает электрическое напряжение д/С.
Таким образом, малые колебания всех маятников единообразно описываются уравнением (2.11) Х+О2Хс О В конкретных задачах меняется лишь интерпретация переменных. Обгцим решением (2,11) служит х(1) = А з)п (ы1 + б), где А — амплитуда, д — сдвиг по фазе, цз — круговая частота '0). Задание начальных условий определяет выбор констант А, д.
Вместо Аз!л(и!+ б) в качестве х(!) с тем же успехом используется А сох(и!+ б) либо а(!) = С( 51вю1+ сз сизы!, где выбором значений констант с,, сз можно удовлетворить любым начальным условиям н1: х(0) = а„ф(0) = е,. Все эти варианты равносильны (сводятся один к другому полбором констант). Тот факт, что они удовлетворяют (2.!1), лепсо проверяется. Отсутствие иных решений вытекает из теорем единственности (см, далее).
~а1 Величину ы называют также просто частотой, хотя ы = 2хи, где и — обыкновенная частота. 1 Конечно, а реальных мдачах уравнение (2.11) служит лишь хорошей моделью малых колебаний. Но само по себе оно оиисыааст колебания любой амллитулы. Глава 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
